матем_лекции

ГЛАВА I НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЛАХ И МНОГОЧЛЕНАХ

§1. Комплексные числа

1. Понятие комплексного числа

Комплексным числом z называется число вида , где , а x и y–вещественные числа. Число x называется действительной частью, y–мнимой частью комплексного числа z. Это записывают следующим образом: .

Если x=0, то число z называют чисто мнимым; если , то получается вещественное число . Два комплексных числа  и  называются сопряженными.

Два комплексных числа  и  равны друг другу, если  и ; комплексное число z считается равным нулю, если .

Всякое комплексное число можно изобразить на плоскости, т.к. каждому z соответствует упорядоченная пара вещественных чисел:

Число z=0 ставится в соответствие началу координатной плоскости. Такую плоскость мы в дальнейшем будем называть комплексной плоскостью, ось абсцисс–действительной, а ось ординат–мнимой осью комплексной плоскости.

Число  называется модулем комплексного числа  и обозначается  или .

Отметим, что  называют алгебраической формой записи комплексного числа.

2. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Для определения положения точки на плоскости можно пользоваться полярными координатами , где r–расстояние точки от начала координат, а φ–угол, который составляет радиус–вектор этой точки с положительным направлением оси Ox. Положительным направлением изменения угла φ считается направление против часовой стрелки. Воспользовавшись связью декартовых и полярных координат: ,, получим тригонометрическую форму записи комплексного числа

где , φ–аргумент комплексного числа, который находят из формул ,  или в силу того, что , . Заметим, что при выборе значений φ из последнего уравнения необходимо учитывать знаки x и y.

Пример1. Записать в тригонометрической форме комплексное число .

Решение. Найдем модуль и аргумент комплексного числа: . Угол φ найдем из соотношений , . Тогда получим . Очевидно точка  находится во второй четверти: .

Подставляя в формулу (1) найденные r и φ, имеем .

Замечание. Аргумент комплексного числа определен неоднозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2π. Тогда через  обозначают значение аргумента, заключенное в пределах . Тогда .

Используя известную формулу Эйлера , получаем показательную форму записи комплексного числа. Имеем

3. Действия над комплексными числами

1.Сумма двух комплексных чисел  и  определяется согласно формуле .

2.Операция вычитания комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению. Комплексное число , если , является разностью комплексных чисел z1 и z2. Тогда .

3.Произведение двух комплексных чисел  и  определяется по формуле  .В частности =. Можно получить формулы умножения комплексных чисел в показательной и тригонометрической формах. Имеем .

4.Деление комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению, то есть число  называется частным от деления z1 на z2, если . Тогда 

 Окончательно .

B показательной и тригонометрической формах:

.

5.Возведение в целую положительную степень комплексного числа лучше производить, если число записано в показательной или тригонометрической формах.

Действительно, если то 

Формула  называется формулой Муавра.

6.Извлечение корня n–й степени из комплексного числа определяется как операция, обратная возведению в степень n,  то есть комплексное число  называется корнем n–й степени из комплексного числа z, если . Из этого определения следует, что , a .  a , что следует из формулы Муавра, записанной для числа .

Как было отмечено выше, аргумент комплексного числа определен неоднозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2π. Поэтому , а аргумент числа z1, зависящий от k, обозначим φk и будем вычислять по формуле . Ясно, что существует n комплексных чисел, n–я степень которых равна числу z. Эти числа имеют один и тот же модуль, равный , а аргументы этих чисел получаются при . Таким образом, в тригонометрической форме корень n–й степени вычисляют по формуле:

 , , а в показательной–по формуле .      

Пример 2. Возвести число  в пятую степень.

Решение. Получим тригонометрическую форму записи числа z. . Отсюда , а . Тогда по формуле Муавра получим: 

.

Пример 3. Найти все значения .

Решение. r=2, а φ найдем из уравнений . Эта точка  находится в четвертой четверти, то есть . Тогда , значения корня находим из выражения .

При  имеем

.

При  имеем еще одно значение корня

Можно найти значения корня из числа z, представив число в показательной форме. Т.к. r=2, a , то , a . Тогда при k=0 имеем . Приk=1 имеем  

§2. Некоторые сведения о многочленах

1. Разложение многочлена на множители

Функция , где n–целое число, называется многочленом или рациональной целой функцией от x. Число n называют степенью многочлена. Коэффициенты –это действительные или комплексные числа. Независимая переменная x также может быть как действительным, так и комплексным числом.

Корнем многочлена называется такое значение переменной x, которое обращает многочлен в нуль.

Теорема Безу. Число a является корнем многочлена  тогда и только тогда, когда многочлен делится на x–a без остатка.

Доказательство. Если многочлен степени n разделить на x–a, то очевидно в частном получится многочлен степени , а в остатке от деления число, то есть

Тогда если x=a–корень многочлена , то  и, подставляя x=a, в обе части равенства (2), получим r=0.

Обратно, если r=0, то при x=a правая часть (2) обращается в нуль, тогда и , то есть x=a–корень .

 Из теоремы Безу следует, что если x=a–корень многочлена, то

Например, многочлен  при x=1 обращается в нуль, тогда он делится на x–1. Разделим многочлен на x–1:

Таким образом, .

Теорема (доказывается в курсе алгебры). Всякий многочлен  степени  имеет по крайней мере один корень.

Теорема. Всякий многочлен степени n разлагается на n линейных множителей вида  и множитель, равный коэффициенту при .

Доказательство. Пусть . Он имеет по крайней мере один корень. Пусть это будет a1. Тогда на основании теоремы Безу , где –многочлен степени . Он тоже имеет по крайней мере один корень. Обозначим его . Тогда , где –многочлен степени . Продолжая этот процесс выделения линейных множителей, дойдем до соотношения , где –многочлен нулевой степени, то есть некоторое фиксированное число. Это число, очевидно, равно коэффициенту A0 при  многочлена .

Подставляя в формулу (3) выражения для , получим

Замечание. Числа –корни многочлена , т.к. при подстановке этих чисел в формулу (4) получаем в правой части формулы нуль, это и означает, что .

Никакое значение , отличное от  не может быть корнем многочлена , т.к. ни один из множителей в правой части (4) не обращается в нуль. Отсюда вытекает, что многочлен n–й степени не может иметь больше чем n различных корней.

1. Свойства неопределенного интеграла

1.; –производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал–подынтегральному выражению.

Доказательство. Из определения первообразной:

2.– неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого.

Доказательство. Из определения первообразной следует, что функция  является первообразной для функции  следовательно, является неопределенным интегралом от .

Например, 

3.–неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций.

Доказательство. Достаточно показать, что совпадают производные левой и правой частей равенства.

–по свойству 1;

.

4., где k=const–постоянный множитель можно вынести за знак неопределенного интеграла.

Доказывается аналогично свойству 3.

Из свойств 1 и 2 следует, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными действиями.

2. Таблица основных неопределенных интегралов

Справедливость этих формул проверяется непосредственно: дифференцированием убеждаемся, что правые части равенств являются первообразными для соответствующих подынтегральных функций.

Например, для формулы 3: при x>0  и

при x<0  и .