матем_лекции
.doc
Тогда
общее решение однородного уравнения 
.
Ищем теперь частное решение неоднородного
уравнения. Так как один корень
характеристического уравнения совпадает
с числом m=–1, то
.
Найдем 
и 
и
подставим в данное уравнение 
и 
Имеем
.
Тогда 
.
Отсюда 
и 
.
Общее
решение неоднородного уравнения составим
по формуле 
.
Имеем 
.
Случай II. Пусть
правая часть уравнения (18) представляет
собой произведение показательной
функции на многочлен, то есть имеет
вид 
где 
–многочлен n–й
степени, то есть 
.
Тогда возможны следующие частные случаи.
1)Число m не
является корнем характеристического
уравнения 
.
В этом случае частное решение нужно
искать в виде
.
Действительно,
найдем 
и 
.
.
Подставим 
и 
в
уравнение с правой частью 
.
Тогда имеем после сокращения на 
:
|
|
(22) |
Здесь 
–многочлен n–й
степени, 
–многочлен
степени
n–1, 
–многочлен
степени n–2. Таким образом, слева и
справа от знака равенства стоят
многочлены n–й степени. Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях x,
получим систему для определения
коэффициентов 
2)Число m является
корнем характеристического уравнения,
то есть 
.
Тогда в уравнении (22) справа стоит
многочлен степени n, а слева
коэффициент 
при 
равен
нулю, что означает, что в этой части
уравнения стоит многочлен степени ниже,
чем n. Тогда уравнение (22) ни при каких
значениях 
не
может быть тождеством. Таким образом
частное решение 
не
может быть найдено в виде 
.
В
этом случае а)если один корень
характеристического уравнения равен m,
а другой отличен от m, то частное
решение ищут в виде 
и
б)если оба корня 
,
то частное решение ищут в виде 
.
Действительно,
если решение ищут в виде 
,
то мы имеем здесь многочлен степени 
.
Тогда в уравнении (22) в левой части стоит
многочлен степени n, так как 
,
а производная многочлена степени 
будет
многочленом степени n. Аналогично
рассуждаем и в том случае, когда 
.
Пример
14. Решить уравнение 
.
Решение. Находим
общее решение уравнения 
.
Корни характеристического
уравнения 
равны 
.
Тогда 
.
Число 
и
не совпадает ни с одним из корней
характеристического уравнения. Тогда
частное решение неоднородного уравнения
ищем в виде 
,
где 
–многочлен
первой степени с неопределенными
коэффициентами. Найдем первую и вторую
производные от 
Подставим 
и 
в
исходное уравнение, сократим его на 
и
получим уравнение 
.
Отсюда 
.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых
степенях x в левой и правой частях
последнего уравнения:
|
x |
2A=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
3A+2B=0 |
|
|
|
|
Таким
образом, 
,
а общее решение исходного уравнения
имеет вид: 
.
Замечание. Если
правая часть линейного неоднородного
уравнения имеет вид 
,
то это является частным случаем 
при 
.
Тогда все рассмотренное для случая II
остается справедливым и при 
.
Так, если 1) среди корней характеристического
уравнения нет равных 0, то частное решение
ищут в виде 
;
2) если 
,
то 
;
3) если 
,
то 
.
Случай III. Пусть правая часть неоднородного уравнения (18) представлена в виде тригонометрического полинома
.
Ищем частное решение уравнения также в форме тригонометрического полинома
|
|
(23) |
где A и B–неопределенные
коэффициенты. Найдем 
и 
:
Подставим 
и 
в
уравнение
.
Имеем
Так
как последнее равенство представляет
собой тождество, то коэффициенты
при 
и 
в
левой и правой его частях должны быть
равны друг другу:
|
|
|
|
|
|
Мы получили систему для определения коэффициентов A и B:
|
|
(24) |
Эта система совместна, если ее определитель
|
|
|
|
|
|
∆= |
|
|
|
|
|
|
|
|
Но
так как 
,
то очевидно, что 
лишь
при 
.
А это соответствует тому, что
характеристическое уравнение 
,
корни которого равны 
в
этом случае имеет корни 
Таким образом
1)если 
,
то 
;
2)если 
,
то система (24) несовместна и тогда
коэффициенты A и B из нее найти
нельзя, значит, решение 
придется
искать не в виде (23), а иначе: 
.
Пример
15. Решить уравнение 
.
Решение. Характеристическое
уравнение соответствующего однородного
уравнения 
имеет
корни 
.
Тогда общее решение однородного уравнения
имеет вид: 
.
Найдем
теперь частное решение неоднородного
уравнения. По виду правой части уравнения
определяем число 
.
Оно здесь равно 1, а так как 
,
то 
и,
следовательно, частное решение уравнения
с правой частью cosx будет иметь
вид 
Подставляя
в уравнение 
и 
,
получим:
Приравнивая
коэффициенты при cosx и sinx в
левой и правой частях последнего
соотношения, получаем 
и 
,
откуда имеем 
и 
.
Тогда 
Замечание. Если
правая часть линейного неоднородного
уравнения (18) имеет вид 
,
где 
и 
–многочлены
от x, то форма частного решения
определяется так:
а)если
число 
не
является корнем характеристического
уравнения, то частное решение неоднородного
уравнения следует искать в виде 
,
где 
и 
–многочлены,
степень которых равна наивысшей степени
многочленов 
и 
;
б)если
число 
является
корнем характеристического уравнения,
то 
.
При этом надо отметить, что указанные
формы частных решений сохраняются и в
том случае если в правой части уравнения
отсутствует одно из слагаемых 
или 
,
то есть если один из многочленов 
или 
тождественно
равен нулю.
Подытожим
все вышесказанное о виде частного
решения уравнения 
,
составив в заключение таблицу.
|
№ |
|
№ |
|
|
Примечание |
|
I |
|
1 2 3 |
|
|
A–неопределенный коэффициент |
|
II |
|
1 2 3 |
|
|
|
|
III |
|
1 2 3 |
|
|
Частные случаи:
|
|
IV |
|
1 2 |
|
|
|
|
V |
|
1 2 |
|
|
Степень
многочленов |
,
где 
,
где
–
неопределенные коэффициенты
где
степени многочленов 
и 
могут
быть разными, и один из многочленов
может быть тождественно равен нулю.
и 
равна
максимальной из степеней многочленов 
и 
.
Принцип
наложения решений. Решение 
уравнения 
,
где правая часть есть сумма функций 
и 
,
можно представить в виде суммы 
,
где 
и 
являются
соответственно решениями уравнений 
и 
|
3. Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Нахождение
суммы ряда
Будем
сначала рассматривать числовые ряды
с положительными членами:
Возможны два случая:
последовательность
частичных сумм неограничена; в этом
случае
последовательность
частичных сумм ограничена, то есть
существует такое число Теорема: (признак сравнения) Даны два знакоположительных числовых ряда
причем Тогда: 1)если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1); 2)если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).
Доказательство:
Обозначим n–е
частичные суммы рядов (1) и (2): Замечания:
В
силу теоремы 3 признак сравнения
справедлив и в случае, если
Чтобы
пользоваться признаком сравнения,
нужно иметь для сравнения ряды, про
которые заранее известно, сходятся
они или расходятся. В качестве таких
рядов можно использовать сходящуюся
бесконечно убывающую геометрическую
прогрессию, а также обобщенные
гармонические ряды Пример: Исследовать на сходимость ряд
Рассмотрим
расходящийся ряд Теорема: (предельный признак сравнения) Даны два знакоположительных числовых ряда
Если
существует конечный предел
Доказательство:
По условию теоремы существует
Пусть Аналогично доказывается, что из расходимости одного из рядов следует расходимость другого ряда. Рекомендуем эту часть доказать самостоятельно. Замечание: Предельный признак сравнения рекомендуется применять в тех случаях, когда общий член ряда представляет собой отношение степенных функций. Для сравнения выбирается обобщенный гармонический ряд, общий член которого равен отношению старших степеней числителя и знаменателя общего члена данного ряда. Пример: Исследовать на сходимость ряд
Возьмем
для сравнения ряд с общим членом
Теорема: (признак Даламбера) Пусть дан знакоположительный числовой ряд
и
пусть существует
Доказательство:
По условию существует
Пусть
сначала
Рассмотрим ряды:
Ряд
(5) сходится, так это бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия. Тогда ряд
(4) сходится по признаку сравнения
(следует из (3)). Ряд (1) сходится по
теореме 3. Пусть теперь >1.
Выберем так,
что Замечания.
Если
расходимость ряда установлена с
помощью признака Даламбера, то При =1 признак Даламбера не дает ответа о сходимости ряда. В таких случаях нужно применять другие признаки сходимости. Признак Даламбера рекомендуем применять при наличии в выражении общего члена ряда показательной функции или факториала.
Пример:
Исследовать на сходимость ряд Применим признак Даламбера
следовательно, ряд сходится. Теорема: (признак Коши) Пусть дан знакоположительный числовой ряд
и
пусть существует При <1 ряд сходится, при >1 ряд расходится.
Доказательство:
По условию существует
Пусть <1. Выберем таким, чтобы выполнялось +=q<1.
Тогда
из (2) получаем Рассмотрим ряды:
Ряд
(4) сходится, так как это бесконечно
убывающая геометрическая прогрессия;
ряд (3) сходится по признаку
сравнения
Пусть
теперь >1.
Выберем так,
чтобы выполнялось условие: Теорема: (интегральный признак Коши) Пусть члены знакоположительного числового ряда
не
возрастают: U1U2…Un…
и пусть
Доказательство:
Построим
график функции Sn=U1+U2+…+Un–1+Un, Sвпис=U2·1+U3·1+…+Un·1=U2+U3+…+Un=Sn–U1, Sопис=U1+U2+…+Un–1=Sn–Un
Площадь
криволинейной трапеции
Отсюда
Пусть
Пусть
Пример.
Исследуем с помощью интегрального
признака обобщенный гармонический
ряд
При k=1
имеем Таким образом, обобщенный гармонический ряд сходится при k>1 и расходится при k1.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
часто
связано с большими техническими
трудностями. В таких случаях сумму
находят приближенно: 
.
Последнее равенство тем точнее, чем
больше n,
при условии, что ряд сходится. Сходимость
или расходимость ряда во многих случаях
можно установить с помощью достаточных
признаков сходимости числовых рядов.
, n=1,2,3,
…. Для таких рядов частичные суммы 
, 
,
…, 
,
… образуют возрастающую числовую
последовательность
.
и
ряд расходится;
,
что 
при 
.В
этом случае существует конечный 
,
следовательно, ряд сходится. Таким
образом для доказательства того, что
знакоположительный числовой ряд
сходится, достаточно доказать
ограниченность последовательности
его частичных сумм.
при
всех 
.
.
Пусть ряд (2) сходится. Это означает,
что существует конечный 
.
По условию 
,
поэтому 
при
всех 
,
то есть последовательность {
}
ограничена, следовательно, ряд (1)
сходится. Пусть теперь ряд (1) расходится,
то есть 
.
Тогда из неравенства 
следует,
что 
,
следовательно, ряд (2) расходится.
начиная
с некоторого номера k,
то есть при 
.
,
где k–действительное
число. Несколько позже мы докажем, что
при 
такие
ряды расходятся, а при 
–
сходятся. При 
получаем
расходящийся ряд 
,
который называется гармоническим
рядом.
Он
получен из гармонического ряда
отбрасыванием 
.
Так как 
при
любом 
,
то 
поэтому
данный ряд расходится по признаку
сравнения.
,
то ряды (1) и (2) сходятся или расходятся
одновременно.
.
Это означает, что для любого положительного
числа существует
такой номер N,
что для всех номеров 
выполняется
условие 
Последнее
неравенство равносильно двойному
неравенству
или 
или
(ведь
неравенство (3) верно при любом 
и
любом 
).
Если ряд (2) сходится, то сходится и
ряд 
по
теореме 1. Учитывая (3), по признаку
сравнения сходится ряд (1).Если по
условию ряд (1) сходится, то по признаку
сравнения, учитывая (3), сходится ряд 
,
тогда по теореме 1 сходится ряд (2).
.
то
есть расходящийся гармонический
ряд 
. 
,
применим предельный признак сравнения.
,
следовательно, данный ряд расходится
по предельному признаку сравнения.
.
При <1
ряд сходится, при >1
ряд расходится.
.
Это означает, что для любого положительного
числа существует
такой номер N,
что для всех номеров 
выполняется
условие
или
.
Выберем так,
что 
.
Для всех nN имеем:
, 
, 
,
… или
, 
, 
,… или
, 
, 
Тогда
из левой часть неравенства (2) следует,
что при nN
или 
,
то есть члены ряда возрастают с
возрастанием номера n.
Поэтому 
,
следовательно, ряд расходится по
следствию из необходимого признака
сходимости. Теорема доказана.
.
.
.
Это означает, что для любого положительного
числа существует
такой номер N,
что для всех nN выполняется
условие: 
или
или 
для
всех nN.
следовательно,
по теореме (3) сходится ряд (1).
.Тогда
из (2) получаем 
или Un>1,
значит 
и
ряд (1) расходится по следствию из
необходимого признака сходимости.
Теорема доказана.
такая
положительная, непрерывная, невозрастающая
на промежутке [1;)
функция, что
Тогда
ряд (1) сходится или расходится
одновременно с несобственным
интегралом 
.
на
отрезке 
и
построим прямоугольники с основаниями 
и
высотами U1, U2,
… Un–1,
а также с высотами U2, U3,
… Un.
Получаем
.
сходится.
Это означает, что существует конечный
предел 
.
Соотношение (2) принимает вид: 
при
любом n.
Это означает, что последовательность
частичных сумм 
ряда
(1) ограничена, следовательно, ряд (1)
сходится.
расходится.
Это означает, что 
и
тогда из (3) следует, что последовательность
частичных сумм 
ряда
(1) неограничена, следовательно, ряд
(1) расходится.
.
.
При 
имеем
.
,
где 
–
модуль члена ряда, называется
знакочередующимся числовым рядом.
…>
…
,
то ряд (1) сходится, причем его сумма
положительна и не превосходит первого
члена ряда.
.
При этом 0<SU1,
так как S2n<U1.
,
то есть данный ряд сходится. Теорема
доказана.
сходится,
как разность двух сходящихся рядов 
,
хотя условие
и
по признаку сравнения сходится ряд
(4). Ряд (2) представляет собой разность
двух сходящихся рядов (3) и (4), поэтому
он тоже сходится. Теорема доказана.
сходится
по признаку Лейбница, а ряд 
–расходится
(гармонический ряд)
обычно
технически очень сложно. Поэтому в
качестве S берут Sn:SSn.
Точность последнего равенства
возрастает с увеличением n.
.
сходится
по признаку Лейбница. Тогда n–й
остаток ряда Rn=(Un+1–Un+2+Un+3–…)
сам является суммой знакочередующегося
числового ряда и по теореме Лейбница
|Rn||Un+1|.
Теорема доказана.
.
.
Поэтому S1–0,1660,84.
ряд
(1) сходится, то 
называется
точкой сходимости ряда (1).
,
при которых функциональный ряд
сходится, называется областью
сходимости этого ряда.
.
Будем ее обозначать 
.
–
некоторые числа, называемые
коэффициентами степенного ряда.
,
к которому в зависимости от
конкретных случаев могут быть
присоединены точки 
и 
,
где 
(если
этот предел существует). В каждой
точке интервала 
ряд
сходится абсолютно.
или 
,
или 
,
то ряд (3) сходится. Но тогда по
достаточному признаку сходимости
знакопеременного ряда сходится и
ряд (2), причем абсолютно.
,
то ряд (3) расходится.
,
то есть при достаточно больших 
,
значит 
и 
,
следовательно, ряд (2) расходится
по следствию из необходимого
признака сходимости. Теорема
доказана.
называется
интервалом сходимости степенного
ряда, а половина его длины 
называется
радиусом сходимости степенного
ряда.
.
Если других точек сходимости у
ряда (2) нет, то считают, что 
.
Если степенной ряд сходится во
всех точках числовой прямой, то
считают, что
.
и
применим к нему признак
Даламбера: 
, 
, 
.
Ряд
сходится, если 
или 
–это
и есть интервал сходимости. Исследуем
концы этого интервала. При 
получаем
знакоположительный числовой ряд 
.
Этот ряд расходится как обобщенный
гармонический ряд с 
.
При 
получаем
знакочередующийся числовой ряд 
.
Применим к нему признак Лейбница.
>
,
,
следовательно ряд сходится. Областью
сходимости данного ряда является
промежуток 
; 
.
.
и
применим к нему признак
Даламбера. 
, 
, 
,
следовательно, областью сходимости
данного ряда является одна
точка 
; 
.
.
и
применим к нему признак
Даламбера. 
, 
, 
при
всех 
,
следовательно, областью сходимости
данного ряда является промежуток 
; 
.
степенного
ряда
.
,
.
Сумма ряда (4) 
.
,
и так далее. Таким образом,
сумма 
ряда
(2) является бесконечно
дифференцируемой функцией в
интервале сходимости 
.
Сумма ряда полученного из ряда
(2) 
–
кратным дифференцированием,
равна 
.
Область сходимости степенного
ряда при дифференцировании не
изменится.
и 
принадлежат
интервалу сходимости 
ряда
(2). Тогда имеет место равенство
бесконечно
дифференцируема в 
и
является суммой степенного
ряда:
–интервал
сходимости ряда (1). В этом случае
говорят, что функция 
разлагается
в степенной ряд в окрестности
точки 
или
по степеням 
.
Определим коэффициенты 
этого
ряда, для чего продифференцируем 
раз
ряд (1).
.
При 
из
полученных тождеств
получаем: 
, 
, 
, 
,
…, 
,
… Отсюда находим коэффициенты
степенного ряда (1): 
, 
, 
, 
,
…, 
,
… Подставляем полученные
значения коэффициентов в ряд
(1), получаем
в
точке 
.
В частном случае при 
ряд
(2) принимает вид:
является
суммой степенного ряда, то этот
ряд называется рядом Тейлора
для функции 
.
функция 
.
Составим для нее формально ряд
Тейлора: 
.
,
для которой он составлен?
Оказывается, не всегда. При
каких условиях сумма ряда
Тейлора совпадает с функцией,
для которой он составлен?
–ю
частичную сумму ряда Тейлора:
называется
остаточным членом ряда Тейлора.
функция 
являлась
суммой составленного для нее
ряда Тейлора, необходимо и
достаточно, чтобы 
.
,
где 
–некоторое
число из интервала 
.
Таким образом
называется
формулой Маклорена:
,
где 
.
в
ряд Маклорена.
.
.
формально
ряд Маклорена:
.
при
любых x,
.
Заметим, что так как ряд сходится
абсолютно, то 
при
любых x и
тем более 
при
любых x.
,
,
тогда 
Таким
образом, имеет место разложение при 
:
в
ряд Маклорена.
и
производных в точке 0: 
, 
, 
, 
, 
,
…, 
, 
.
,
так как
.
,
следовательно, 
и 
.
.
Таким образом имеет место разложение
при 
:
(2)
ряд
Маклорена.
:
(3)
,
где 
–любое
действительное число. Для этого вычислим
производные.
,
,
,
,
получаем: 
, 
, 
, 
,…,
,….
(на
концах интервала ряд сходится или
расходится в зависимости от конкретного
значения 
)
и что 
.
Таким образом, при 
имеет
место разложение 
(4)
в
ряд Тейлора.
функция 
не
определена, поэтому ее нельзя разложить
в ряд Маклорена. Разложим ее в ряд
Тейлора, например, по степеням 
.
Для этого вычислим приводные.
, 
, 
, 
,
…, 
,
….
получаем: 
, 
, 
, 
, 
,
…, 
,
….
и
что 
.
Таким образом, при 
имеет
место разложение:
. (5)
.
,
получим 
при 
на 
,
получим нужное разложение:
.
.
Обозначим 
и
воспользуемся биномиальным рядом при 
.
, 
. (6)
,
получаем при 
:
(7)
.
при 
:
или
(8)
.
.
при 
:
или
(9)
.
с
точностью до 0,001.
.
с
точностью до 0,001.
.
Используем биномиальный ряд: 
, 
.
с
точностью до 0,001.
формула
Тейлора имеет вид:
,
где 
, 
.
получаем
знакоположительный числовой ряд; 
. 
,
поэтому 
и 
.
Тогда 
.
Необходимо взять столько членов ряда,
чтобы выполнялось условие 
или 
.
получаем:
.
, 
методом
последовательного дифференцирования.
.
, 
, 
, 
, 
, 
при 
.
получаем: 
, 
, 
, 
при 
.
Окончательно получаем
.
являются 
и 
.
Легко показать, что функции 
и 
имеют
период 
.
(1)
–коэффициентами
тригонометрического ряда.
,
то функция 
является
периодической с периодом 
.
Поэтому будем рассматривать сумму
ряда 
в
любом интервале длины 
,
например, 
.
Будем считать, что функция 
есть
сумма ряда (1):
(2)
до 
,
сделаем это.
.
и 
,
поэтому 
,
откуда
. (3)
и
проинтегрируем получено равенство от
–
до 
.
,
.
Отсюда 
.
на 
,
получаем
. (4)
и
интегрируя от –
до 
,
получим
. (5)
,
коэффициенты которого вычисляются по
формулам (3), (4), (5), называется рядом
Фурье, соответствующим функции 
,
а числа 
,
называются коэффициентами Фурье.
является
суммой тригонометрического ряда, который
можно почленно интегрировать от –
до 
.
Какова область сходимости построенного
ряда Фурье? Сходится ли он к функции 
?
Ответы на эти вопросы даёт следующая
теорема.
с
периодом 
на
любом отрезке [
]
удовлетворяет условиям:
]
или имеет на нём конечное число точек
разрыва I рода;
].
Тогда ряд Фурье, соответствующий этой
функции, сходится во всех точках числовой
оси. При этом в каждой точке непрерывности
функции 
сумма
ряда Фурье 
совпадает
с 
.
В каждой точке 
разрыва
I рода функции 
имеем: 
.
на
(–
;
]
с периодом 
.
.
имеет
период 
,
то
,
где –любое
число. Этот факт можно использовать при
вычислении коэффициентов Фурье.
и 
одновременно
обе чётные или обе нечётные, то их
произведение 
являются
чётной функцией.
и 
чётная,
а другая нечётная, то их произведение 
являются
нечётной функцией
–нечётная
на [–a;a]
функция, то 
.
–чётная
на 
функция,
то 
.
–чётная
и удовлетворяет теореме Дирихле. Тогда
функции 
–чётны,
а 
–нечётные
при любых n=1,2,...
Поэтому
, 
, 
.
нечётная
и удовлетворяет теореме Дирихле. Тогда
функции 
–нечётные,
а
–четные
при любых n=1,2,...
Поэтому
, 
, 
.
.
при 
с
периодом 
.
Данная функция четная, поэтому 
.
, 
Заметим,
что 
.
имеет
период 
,
где 
–любое
число. Сделаем замену переменной: 
,
тогда функция 
имеет
период 
.
Действительно, 
.
Разложим функцию 
в
ряд Фурье, считая что она удовлетворяет
теореме Дирихле. Получим
,
, 
, 
.
, 
, 
–изменяется
от 
до 
,
если 
изменяется от 
до 
.
Ряд Фурье имеет вид:
,
, 
, 
.
–чётная
с периодом 
,
то 
, 
, 
.
Ряд Фурье для четной функции имеет вид:
.
–нечётная
с периодом 
,
то 
, 
, 
.
Ряд Фурье для нечётной функции имеет
вид: 
.
при 
с
периодом 
.
.
.
задана
на всей числовой оси и непериодическая,
то её нельзя разложить в ряд Фурье, так
как сумма тригонометрического ряда
является периодической функцией.
на
промежутке 
и
построим ряд Фурье, который имел бы её
своей суммой в этом интервале. Для этого
рассмотрим вспомогательную функцию 
с
периодом 
такую,
что 
при 
.
Разложив в ряд Фурье функцию 
,
мы получили тем самым разложение 
на 
.
,
то для разложения её в ряд Фурье на этом
промежутке, нужно сначала продолжить
её каким–то образом на промежуток
,
а затем продолжить периодически с
периодом 
на
всю числовую ось. Чаще всего на
промежуток 
функцию
продолжают чётным или нечётным образом.
,
заданную на [0;1] в ряд по синусам. Продолжим
данную функцию в интервал 
нечётным
образом, а затем продолжим периодически
с периодом 
на
всю числовую ось. Тогда 
. 
.
.