матем_лекции

₍₁₎

(2)

§3. Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется выражение вида , где ,–многочлены степеней n и m соответственно.

Если , рациональная дробь называется правильной, в противном случае –неправильной.

Если дробь неправильная, из нее можно выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель.

Например, –неправильная рациональная дробь. Выполним деление:

Таким образом, неправильную дробь можно представить в виде суммы целой рациональной функции (многочлена) и правильной дроби:

.

Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональные дроби следующих четырех типов:

где A, B, C, a, p, q–числа, 

Покажем на примерах, как интегрируются дроби каждого типа.

Дробь 1–го типа:

Дробь 2–го типа:

Дробь 3–го типа:=[выделим в знаменателе полный квадрат и введем новую переменную:;   ]==[разобьем интеграл на сумму двух интегралов, первый из которых вычислим подведением под знак дифференциала, второй–табличный]= 

Дроби 4–го типа интегрируются с помощью специальной рекуррентной формулы, которую мы рассматривать не будем.

Если правильная дробь не является простейшей, ее представляют в виде суммы простейших дробей.(См Гл.I, §2, 30)

Пример. .

Подынтегральная функция–правильная рациональная дробь. Представим ее в виде суммы простейших дробей, учитывая, что 

приведем к общему знаменателю сумму дробей, стоящих в правой части:

приравняем числители дробей:

при  получим:

при  получим: 

приравняем коэффициенты при 

приравняем свободные члены:

Тогда 

Вычислим последний интеграл, введя новую переменную:   

Следовательно,

§4. Интегрирование тригонометрических функций

1.Интегралы вида    вычисляются преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму по формулам:

Например, 

2.Интегралы вида, где m или n– нечетное положительное число, вычисляются подведением под знак дифференциала.

Например,

3.Интегралы вида , где m и n–четные положительные числа, вычисляются с помощью формул понижения степени:

Например,

4.Интегралы  где вычисляются заменой переменной:или

Например,

5.Интегралы вида  сводятся к интегралам от рациональных дробей с помощью универсальной тригонометрической подстановки тогда 

 (т.к.=[после деления числителя и знаменателя на ]=;

Например, 

Следует заметить, что использование универсальной подстановки нередко приводит к громоздким выкладкам.

§5. Интегрирование простейших иррациональностей

Рассмотрим методы интегрирования простейших видов иррациональностей.

1.Функции такого вида интегрируются так же, как простейшие рациональные дроби 3–го типа: в знаменателе из квадратного трехчлена выделяется полный квадрат и вводится новая переменная.

Пример.

2.(под знаком интеграла–рациональная функция аргументов ). Интегралы такого вида вычисляются с помощью замены . В частности, в интегралах вида  обозначают . Если подынтегральная функция содержит корни разных степеней: , то обозначают, где n– наименьшее общее кратное чиселm,k.

Пример 1.

Пример 2.

–неправильная рациональная дробь, выделим целую часть:

Получим

3.Интегралы вида   вычисляются с помощью тригонометрических подстановок:

Пример 1.

Пример 2.

Страница: 10 из 37;   <<назад ^ вперед>>

Глава 3 Определенный интеграл

§1. Задача о площади криволинейной трапеции

Пусть  – непрерывная положительная функция, заданная на отрезке . Фигура, ограниченная кривой  прямыми x=a и x=b и осью ОХ, называется криволинейной трапецией (рис.1).

Поставим перед собой задачу вычислить площадь криволинейной трапеции. Для этого разобьем отрезок  произвольным образом на n частей. Абсциссы точек деления обозначим . Получим n малых отрезков  Обозначим их длины соответственно  

Проведя через точки деления прямые, параллельные оси OY, мы разобьем криволинейную трапецию на n малых криволинейных трапеций. Площадь всей криволинейной трапеции S равна сумме площадей всех малых криволинейных трапеций (рис.2):

 или 

Но вычислить площади малых криволинейных трапеций не проще, чем площадь большой. Поэтому поступим следующим образом. В каждом из отрезков  выберем произвольную точку  и каждую малую криволинейную трапецию заменим прямоугольником с тем же основанием  и высотой, равной . Получим  – площадь каждой малой криволинейной трапеции приближенно равна площади прямоугольника, а площадь всей криволинейной трапеции приближенно равна площади получившейся ступенчатой фигуры: 

Очевидно, чем меньше длины отрезков , тем меньше погрешность этого приближенного равенства, поэтому естественно за точное значение площади криволинейной трапеции принять предел площадей ступенчатых фигур при условии, что наибольшая из длин отрезков разбиения стремится к нулю (следовательно, число отрезков разбиения n стремится к бесконечности):

§2. Определение определенного интеграла

К нахождению предела сумм, аналогичных сумме (1), приводит целый ряд задач естествознания. Поэтому вполне естественно изучить этот процесс независимо от конкретного содержания задачи.

Пусть на отрезке  задана функция . Выполним следующие действия.

1.С помощью точек деления  разобьем отрезок  на n “малых” отрезков  где .

2.В каждом из малых отрезков   выберем произвольную точку   и умножим значение функции  в точке  на длину  соответствующего отрезка: 

3.Составим сумму  всех таких произведений:  или

Сумма вида (2) называется интегральной суммой для функции  на отрезке .

4.Наибольшую из длин малых отрезков обозначим λ  и назовем ее шагом разбиения. Пусть число отрезков разбиения неограниченно растет  и . Если при этом интегральная сумма  имеет конечный предел, который не зависит ни от способа разбиения отрезка  на малые отрезки, ни от выбора точек  в каждом из них, то этот предел называется определенным интегралом от функции  на отрезке  и обозначается 

Таким образом, 

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования,  – подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования,  – отрезком интегрирования (илиобластью интегрирования).

Функция для которой на отрезке  существует определен- ный интеграл  называется интегрируемой на этом отрезке.

Имеет место теорема существования определенного интеграла.

Всякая непрерывная на отрезке  функция интегрируема на этом отрезке.

Возвращаясь к §1, отметим факт, выражающий геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой  прямыми  и  и осью OX.                               

Замечания.

1.Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:  и т.д.

2.Будем полагать по определению:  

3.При введении понятия определенного интеграла мы полагали . В случае  примем по определению: 

§3. Свойства определенного интеграла

1.

2.

где k=const.

3.Если отрезок интегрирования  разбит на две части  и  то  – свойство аддитивности.

Геометрически это значит, что площадь криволинейной трапеции с основанием  равна сумме площадей криволинейных трапеций с основаниями  и  (рис.3).

4.Если на отрезке   то  

5.Если на отрезке   то

Геометрически это значит, что криволинейная трапеция, ограниченная кривой  имеет большую площадь, чем криволинейная трапеция, ограниченная кривой (рис.4).

6.Теорема о среднем значении.

Если  непрерывна на  то существует такая точка что

Геометрически: криволинейная трапеция равновелика прямоугольнику с тем же основанием  и высотой, равной  (рис.5).

Значение функции в точке ξ, определяемое равенством (3), называется средним значением функции  на отрезке : .

Страница: 13 из 37;   <<назад ^ вперед>>

§4. Производная интеграла с переменным верхним пределом

Если в определенном интеграле  изменять верхний предел b, то будет меняться и значение интеграла, то есть интеграл будет функцией верхнего предела.

Обозначим верхний предел x, а переменную интегрирования, чтобы не смешивать ее с верхним пределом, обозначим t. Таким образом, интеграл с переменным верхним пределом является функцией от x: .

Имеет место теорема: производная интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхним пределом: 

Доказательство. По определению производной

 где  [первый интеграл представим в виде суммы двух интегралов, пользуясь свойством аддитивности]= [по теореме о среднем]= где  

Тогдаследует из определения непрерывной функции, т.к. при  . Таким образом, 

Это значит, что интеграл с переменным верхним пределом  является первообразной для функции .

§5. Формула Ньютона–Лейбница

Теорема. Если  – какая–либо первообразная для непрерывной функции , то

Доказательство. Пусть –некоторая первообразная функции . Но  – также первообразная для, а любые две первообразные данной функции отличаются на постоянную, то есть можно записать:

Это равенство справедливо для любых . Положим :  Но , поэтому ,. Полагая в (4) x=b и подставляя значение C, получим  Переобозначив переменную интегрирования , получим формулу Ньютона – Лейбница: 

При вычислении определенных интегралов будем записывать:

Пример1. (геометрически это площадь фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды и отрезком  оси Ox).

Пример2. 

§6. Замена переменной в определенном интеграле

Теорема. Пусть дан интеграл , где  непрерывна на . Введем новую переменную , связанную с  равенством . Если

1) 

2)  и  непрерывны на ,

3) при изменении z от α до β значения  не выходят за пределы отрезка  то

Доказательство. Пусть –первообразная для функции, то есть . Тогда по формуле Ньютона–Лейбница

Покажем, что функция  является первообразной для функции : =[по правилу дифференцирования сложной функции] = Тогда по формуле Ньютона–Лейбница

Сравнивая равенства (I) и (II), убеждаемся в справедливости формулы (5).

Пример.

при x=0  при x=ln2 

=

§7. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле выводится так же, как и для неопределенного интеграла, и имеет вид 

Пример.

§8. Приложения определенного интеграла

Приведем без вывода основные формулы и примеры геометрических приложений определенного интеграла.

1.Вычисление площади в декартовых координатах.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой  ( непрерывна), прямыми x=a, x=b и осью Ox (рис.6) равна

Площадь фигуры, ограниченной кривой  ( непрерывна), прямыми x=a, x=b и осью Ox (рис.7) равна

Площадь фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми  и   и прямыми x=a и x=b  (рис.8) равна

Площадь фигуры, ограниченной кривыми  и  ( и  неотрицательны и непрерывны), пересекающимися в точке с абсциссой x=b, прямыми x=a, x=c и осью Ox (Рис.9), равна

В случае параметрического задания кривой  площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и осью Ox (рис.6) равна

где  и  определяются из уравнений на отрезке 

Пример1. Найти площадь, ограниченную линиями и .

Решение. Одна из линий–парабола, другая–прямая (рис.10). Найдем их точки пересечения. 

Тогда по формуле (8)

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды ,  и отрезком оси Ox (рис. 11).

Решение. Точкам O и A соответствуют значения параметра и , поэтому

2.Вычисление площади в полярных координатах.