Метод узловых потенциалов. Метод двух узлов

Ток в любой ветви схемы можно найти по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать потенциалы узлов схемы. Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов.

Допустим, что в схеме n узлов. Так как любая (одна) точка схемы может быть заземлена (потенциал этой точки принят равным нулю) без изменения токораспределения в ней, один из узлов схемы можно мысленно заземлить, т.е. принять его потенциал равным нулю. При этом число неизвестных уменьшается с n до n - 1.

Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по первому закону Кирхгофа. В том случае, когда число узлов без единицы меньше числа независимых контуров в схеме, данный метод является более экономичным, чем метод контурных токов.

Для выяснения сущности этого метода рассмотрим, например, электрическую схему, показанную на рис. 1.16. Пусть потенциал одного из узлов, например узла З, принят равным нулю, т.е. φ₃ = 0.

На основании первого закона Кирхгофа для узлов 1 и 2 этой схемы при выбранных положительных направлениях тока получаем

Рис. 1.16

Токи в ветвях на основании закона Ома будут:

(1.28)

где φ₁ и φ₂- потенциалы узлов 1 и 2.

После подстановки (1.28) в (1.27) и группировки членов получим:

(1.29)

или

(1.30)

В этих уравнениях g₁₁ =g₁ + g₄ + g₅ + g₆; g₂₂ = g₂ + g₃ + g₅ + g₆ - суммы проводимостей ветвей, присоединенных соответственно к узлам 1 и 2; g₁₂ = g₂₁ = =(g₅ + g₆) - сумма проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы, взятая со знаком минус. Правая часть каждого из уравнений (1.30), равная алгебраической сумме произведений ЭДС источника на проводимость каждой из ветвей, присоединенных к рассматриваемому узлу, носит название узлового тока.

Так как ток течет от более высокого потенциала к более низкому, в обеих схемах потенциал точки а выше потенциала точки b на величину падения напряжения на сопротивлении R: φ_а=φ_b+IR.

Так как ток течет от более высокого потенциала к более низкому, в обеих схемах потенциал точки а выше потенциала точки b на величину падения напряжения на сопротивлении R: φ_а=φ_b+IR:

(1.31)

В общем случае g_kk - сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле k, называется собственной узловой проводимостью этого узла; проводимость g_km - сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узлы k и m, взятая со знаком минус, называется общей узловой проводимостью этих узлов. Если между какими-либо двумя узлами ветвь отсутствует, то соответствующая проводимость равна нулю. В формировании узлового тока k-узла J_kk участвуют те ветви, подходящие к этому узлу, которые содержат источники ЭДС и (или) тока. Если ЭДС E_p p-ветви направлена к k-узлу, то ее вклад в формирование J_kk составляет Е_pg_p, а если эта ЭДС направлена от k-узла, то ее вклад составляет - Е_pg_p, т.е. произведение Eg записывается со знаком плюс в том случае, когда ЭДС направлена к рассматриваемому узлу, и со знаком минус, когда ЭДС направлена от узла.

Если к k-узлу подтекает ток от источника тока, то он должен быть введен в J_kk со знаком плюс, если этот ток от источника тока утекает, то он должен входить в J_kk со знаком минус.

После решения системы (1.31) относительно потенциалов с помощью определителя получим:

, (1.32)

где ∆ - главный определитель системы уравнений (1.31); ∆_km- алгебраическое дополнение, полученное из определителя ∆ путем вычеркивания k-гo столбца и m-строки и умножения полученного определителя на (-1)^k+m.

Рассмотрим применение уравнений (1.31) для частного случая схемы с двумя узлами и произвольным числом активных ветвей, когда требуется определить напряжение между этими узлами.

Рис. 1.17

Пусть между узлами 1 и 2 включено m ветвей (рис.1.17). Найдем напряжение U₁₂ = φ₁ – φ₂ = φ₁ (узел 2 заземлен и φ₂ = 0), записав уравнение (1.31) для первого узла:

,

где ,

откуда

. (1.33)

После определения напряжения U₁₂ находят ток в любой ветви по закону Ома.