Семинар сабағы 3. Сигналдардың спектралды талдауы Фурье қатары. Фурье түрлендіруі

Фурье қатары - [а,b] кесіндісінде ортонормаланған φ1(х), φ2(х),...,φn(х),... функциялар жүйесі бойынша f(x) функциясының Фурье қатары деп қатарын айтады. Мұндағы сk Фурье коэффициенттері:

1, cosnx, sinnx, n=1,2,..., тригонометриялық жүйесіндегі Фурье қатары:

мұндағы a0, ak, bk - Фурье коэффициенттері.

Фурье қатары. Фурье қатары функционалдық қатардың дербес түрі. Функционалдық қатар деп

түріндегі өрнекті айтады. Мұндағы - бір немесе бірнешетәуелсіз айнымаларға байланысты функциялар. Ілгеріде біз екі және үш тәуелсіз айнымалыға байланысты функцияларды жиі қолданамыз. Әзірше бір айнымалы функциялардан тұратын қатарларға байланысты негізгі ұғымдарды қарастырамыз. Функционалдық қатартәуелсіз айнымалысының әрбір бекітіп алынғанмәнінде

түріндегі сандық қатарға айналады. Сандық қатар жинақталуы да, жинақталмауы да мүмкін. Сандық қатар жинақталса, онда нүктесін функционалдық қатардыңжинақталу нүктесі деп атайды. Функционалдық қатардың жинақталу нүктелерінен тұратын жиынды қатардың жинақталу облысы деп атайды. Математикалық анализ курсында функционалдық қатардың дербес түрі ретінде

дәрежелік қатары қарастырылады. Оның жинақталу облысы бір нүктесінен, немесе центрінүктесінде орналасқан радиусы– ақырлы санына тең интервалдан, немесеаралығындағы барлық нүктелерден тұруы мүмкін. Жалпы жағдайда функционалдық қатардың жинақталу облысын табу қиын есептердің бірі.

Фурье түрлендіру - f(x) функциясының фурье түрлендіру деп f(x)-пен төмендегі формула арқылы байланысатын F(z) функциясын айтады:

Осымен қатар Фурье формуласы:

• аралығындағы барлық (мүмкін, саны ақырлы нүктелерінен басқа) х нүктелерінде орындалады деп есептеледі.

Дискретті Фурье түрлендіруі. Жылдам Фурье түрлендіруінің алгоритмі

Біркелкі уақыттық торда, яғни бірдей ∆ уақыт аралығында берілген дискретизация интервалында (1)

функцияның спектрлік талдау есебін қарастырайық. Интерполяция процедурасын қолданып, кез келген дискретті функцияны біркелкі уақыттық торға әкелуге болады. Біркелкі шекті [0, T] уақыттық интервалда N сандық мәндері сәйкес уақыт мезеттерінде алынған дискретті функция берілген болсын. Сандық мәндердің толық саны . Бастапқы үздіксіз s(t) функцияға оның дискретті бейнесін сәйкес келтірейік:

(2)

мұндағы - Дирактың дельта-функциясы.

өрнегін Фурье-қатарымен жазайық:

(3)

мұнда . (4)

(2)-ні (4)-ке қойып, өлшемсіз шаманы енгізіп және дельта-функцияның қасиетін қолданып:

(5)

нәтижесін аламыз. Осы формула дискретті Фурье түрлендіруін (ДФТ) құрайтын коэффициенттер тізбегін анықтайды. ДФТ келесі қасиеттер бар:

1. ДФТ сызықтық түрлендіргіш.

2. (5)-пен анықталатын коэффициенттер саны дискреттік тізбектің санау санына тең.

3. C₀ коэффициенті (тұрақты құраушысы) - дискретті тізбектің орташа мәні.

4. Егер N - жұп сан болса, онда

5. Нақты дискреттік тізбек үшін ДФТ коэффициенттері, номерлері N/2 сәйкесті симметриялы орналасқан, бір-бірімен тізбекті жұпты құрайды:

сондықтан C_N/2+1, ... , C_N-1 коэффициенттері теріс жиіліктерге сәйкес келеді деп санауға болады.

ДФТ-ң бір коэффициентін (5)-формуламен есептеу үшін N комплексті көбейту мен қосуды орындау қажет. Сондықтан, N коэффициенті барлық ДФТ-дің есептеуі N² "көбейту-қосу" операциялар жұбынан тұрады. Операциялардың саны ДФТ-ң өлшемінің квадратына пропорционал өседі. Бірақ, егер N қарапайым сан болмаса және көбейткіштерге жіктелсе, талқыланатын санаулар жиынтығын бөлшектерге бөліп, олардың ДФТ-н есептеп және нәтижелерін біріктіріп, есептеу процесін тездетуге болады. Мұндай есептеу тәсілдерін тез Фурье түрлендіру деп аталады. Матлаб жүйесінде тез Фурье түрлендіруі келесі функциялармен іске асырылады: fft/ifft.

fft функциясының кері векторның элементтері мына формуламен есептеледі:

.

ifft функциясының вектор элементтері мына формуламен есептеледі: