Algebra_10kl_RU

РАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции

При k = 1 получаем, что T = 2π — это период функций sin x и cos x. Докажем, что эти функции не могут иметь меньший положительный пе риод. Чтобы доказать, что T = 2π — наименьший положительный период косинуса, допустим, что T > 0 — период функции cos x. Тогда для любого значения x выполняется равенство cos (x + T) = cos x. Взяв x = 0, получаем cos T = 1. Но это означает, что на единичной окружности при повороте на угол T точка P0 снова попадает в точку P0, то есть T = 2πk, где k Z. Таким образом, любой период косинуса должен быть кратным 2π, а значит,

2π — наименьший положительный период косинуса. )

(Чтобы обосновать, что T = 2π — наименьший положительный период

функции sin x, достаточно в равенстве sin (x + T) = sin x, которое выполня ется для любых значений x, взять x = π2 . Получаем sin(T + 2π )=1. Но это

(рис. 43), то есть T + π = π + 2πk, таким образом, T = 2πk. Следовательно,

22

любой период синуса должен быть кратным 2π, а значит , 2π — наименьший положительный период синуса. )

(Если учесть, что на единичной окружности точки Pα и Pα + π являются диа метрально противоположными, то этим точкам соответствует одна и та же

точка на линии тангенсов (рис. 44) или на линии котангенсов (рис. 45). Тогда tg (α + π) = tg α, ctg (α + π) = ctg α, также tg (α + πk) = tg α, ctg (α + πk) = = ctg α. То есть периодом функций tg x и ctg x является πk (k ≠ 0, k Z).

Наименьшим положительным периодом для функций tg x и ctg x явля ется T = π.

Чтобы доказать это, достаточно в равенстве tg (x + T) = tg x взять x = 0. Тогда получим tg T = 0. Таким образом, T = πk, где k Z. Итак, любой период тангенса должен быть кратным π, а значит, π — наименьший поло

жительный период тангенса. Аналогично в соответствующем равенстве

для ctg x достаточно взять x = π. )

2

(Чтобы иметь представление о поведении графика периодической функции y = f (x), напомним, что по определению график функции y = f (x) состоит

52

§ 4. Свойства тригонометрических функций

Рис. 46

из всех точек M координатной плоскости, которые имеют координаты (x; y) = (x; f (x)). Первая координата для точек графика выбирается произ вольно из области определения функции. Выберем как первую координату значение x + T (или в обобщенном виде — значение x + kT при целом значе нии k) и учтем, что для периодической функции f (x + T) = f (x – T) = f (x) (в общем случае f (x + kT) = f (x)). Тогда графику функции y = f (x) будет принадлежать также точка M1 координатной плоскости с координатами:

(x + T; y) = (x + T; f (x + T)) = (x + T; f (x)).

Точку M1 (x + T; f (x)) можно получить из точки M (x; f (x)) параллельным переносом вдоль оси Ox на T единиц (рис. 46). В общем случае точку M2 (x + kT; f (x)) можно получить из точки M (x; f (x)) параллельным пере носом вдоль оси Ox на kT единиц. Таким образом, через промежуток T вид графика периодической функции будет повторяться. Поэтому для постро

ения графика периодической функции с периодом T достаточно постро ить график на любом промежутке длиной T (например, на промежутке [0; T]), а потом полученную линию параллельно перенести вправо и вле во вдоль оси Ox на расстояние kT, где k — любое натуральное число. )

Примеры решения задач

Задача 1 Пользуясь периодичностью, четностью и нечетностью триго нометрических функций, найдите:

53

РАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции

Используем утверждение, доказанное в задаче 2, для нахождения перио дов функций.

Например,

1) X если функция sin x имеет период T = 2π, то функция sin 4x имеет период

T1 = 2π = π ; Y

4 2

2) X если функция tg x имеет период T = π, то функция tg x имеет период

54

§ 4. Свойства тригонометрических функций

Вопросы для контроля

1. а) Назовите знаки тригонометрических функций в каждой из координат ных четвертей.

б*) Обоснуйте знаки тригонометрических функций в каждой из координат ных четвертей.

2. а) Какие из тригонометрических функций являются четными, а какие нечетными? Приведите примеры использования четности и нечетности для вычисления значений тригонометрических функций.

б*) Обоснуйте четность или нечетность соответствующих тригонометри ческих функций.

3.а) Какая функция называется периодической? Приведите примеры.

б*) Обоснуйте периодичность тригонометрических функций. Укажите наи

меньший положительный период для синуса, косинуса, тангенса и ко тангенса и обоснуйте, что в каждом случае этот период действительно является наименьшим положительным периодом.

Упражнения

1.Пользуясь периодичностью, четностью и нечетностью тригонометрической функции, найдите:

2)sin (–750°); (− 19π); 4) ctg 945°;1) cos 19π; 3) tg

2*. Среди данных функций найдите периодические и укажите наименьший положительный период для каждой из них:

1) f (x) = x2; 2) f (x) = sin 2x; 3) f (x) = | x |; 4) f (x) = tg 3x; 5) f (x) = 3. 3. Найдите период каждой из данных функций:

4.На каждом из рисунков 47–50 приведена часть графика некоторой перио дической функции с периодом T. Продолжите график на отрезке [–2T; 3T].

55

5.1. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = sin x И ЕЕ ГРАФИК

Т а б л и ц а 10

График функции y = sin x (синусоида)

Свойства функции y = sin x

1. Область определения: x R (x — любое действительное число).

D (sin x) = R

2.Область значений: y [–1; 1]. E (sin x) = [–1; 1]

3.Функция нечетная: sin (–x) = –sin x

(график симметричен относительно начала координат).

sin x > 0 при x (2πk; π + 2πk), k Z

sin x < 0 при x (π + 2πk; 2π + 2πk), k Z

7. Промежутки возрастания и убывания:

функция sin x возрастает на каждом из промежутков

8.Наибольшее значение функции равно 1 при x = 2π + 2πk, k Z.

Наименьшее значение функции равно –1 при x = − π2 + 2πk, k Z.

56

§ 5. Свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их графики

Объяснение и обоснование

Описывая свойства функций, мы будем чаще всего выделять такие их ха рактеристики: 1) область определения; 2) область значений; 3) четность или нечетность; 4) периодичность; 5) точки пересечения с осями координат; 6) про межутки знакопостоянства; 7) промежутки возрастания и убывания*; 8) наи большее и наименьшее значения функции.

З а м е ч а н и е. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох (то есть те значения аргумента, при которых функция равна нулю) называют

нулями функции.

Напомним, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности (рис. 51). Поскольку ординату можно найти для лю бой точки единичной окружности, то область определения функции y = sin x — все действительные числа. Это можно записать так: D (sin x) = R.

Для точек единичной окружности ординаты принимают все значения от –1 до 1, таким образом, для функции y = sin x область значений: y [–1; 1].

Это можно записать так:

E (sin x) = [–1; 1].

Как видим, наибольшее значение функции sin x равно единице. Это зна чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной

окружности является точка A, то есть при x = π + 2πk, k Z.

2

Наименьшее значение функции sin x равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окруж

ности является точка B, то есть при x = − π + 2πk, k Z.

2

Как было показано в § 4, синус — нечетная функция: sin (–x) = –sin x, поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

В § 4 было обосновано также, что синус — периодическая функция с наи меньшим положительным периодом T = 2π: sin (x + 2π) = sin x, таким обра зом, через промежутки длиной 2π вид графика функции sin x повторяется. По этому при построении графика этой функции достаточно построить график на любом промежутке длиной 2π, а потом полу ченную линию параллельно перенести вправо

и влево вдоль оси Ox на расстояние kT = 2πk,

где k — любое натуральное число. Чтобы найти точки пересечения графика

функции с осями координат, напомним, что на оси Oy значение x = 0. Тогда соответству

ющее значение y = sin 0 = 0, то есть график

функции y = sin x проходит через начало ко

ординат.

Рис. 51

* Промежутки возрастания и убывания функции иногда еще называют промежутка ми монотонности функции.

57

РАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции

На оси Ox значение y = 0. Поэтому необходимо найти такие значения x, при которых sin x, то есть ордината соответствующей точки единичной окружности, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при x = πk, k Z (см. рис. 51).

Промежутки знакопостоянства. Как было обосновано в § 4, значения функции синус положительны (то есть ордината соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и II четвертях (рис. 52). Таким образом, sin x > 0 при x (0; π), а также, учитывая период, при всех x (2πk; π + 2πk), k Z.

Значения функции синус отрицательны (то есть ордината соответствую щей точки единичной окружности отрицательна) в III и IV четвертях, поэто му sin x < 0 при x (π + 2πk; 2π + 2πk), k Z.

Промежутки возрастания и убывания.

( Учитывая периодичность функции sin x с периодом T = 2π, достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной

2π, например на промежутке −2π; 32π .

Если x −2π; 2π (рис. 53, а), то при увеличении аргумента x (x2 > x1) орди

ната соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть sin x2 > sin x1), следовательно, на этом промежутке функция sin x возрас тает. Учитывая периодичность функции sin x, делаем вывод, что она так

же возрастает на каждом из промежутков −π +2πk; π +2πk , k Z.

2 2

Если x 2π; 32π (рис. 53, б), то при увеличении аргумента x (x2 > x1) орди

ната соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть sin x2 < sin x1), таким образом, на этом промежутке функция sin x убывает. Учитывая периодичность функции sin x, делаем вывод, что она также убы

Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график фун кции y = sin x. Учитывая периодичность этой функции (с периодом 2π), до

58

Рис. 56

59

РАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции

График функции y = A sin (ωx + ϕ) можно получить из синусоиды y = sin х сжатием или растяжением ее вдоль координатных осей и параллельным пере носом вдоль оси Ох. Чаще всего гармоническое колебание является функцией времени t. Тогда оно задается формулой y = A sin (ωt + ϕ), где А — амплитуда

колебания, ω — частота, ϕ — начальная фаза, 2ωπ — период колебания.

5.2. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = cos x И ЕЕ ГРАФИК

Т а б л и ц а 11

График функции y = cos x (косинусоида)

Свойства функции y = cos x

1. Область определения: x R (х — любое действительное число).

D(cos x) = R

2.Область значений: y [–1; 1]. E (cos x) = [–1; 1]

3.Функция четная: cos (–x) = cos x

7.Промежутки возрастания и убывания:

функция cos x возрастает на каждом из промежутков [π + 2πk; 2π + + 2πk], k Z, и убывает на каждом из промежутков [2πk; π + 2πk], k Z.

8.Наибольшее значение функции равно 1 при x = 2πk, k Z. Наименьшее значение функции равно –1 при x = π + 2πk, k Z.

60

§ 5. Свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их графики

Объяснение и обоснование

Напомним, что значение косинуса — это абсцисса соответствующей точ ки единичной окружности (рис. 57). Поскольку абсциссу можно найти для любой точки единичной окружности, то область определения функции y = cos x — все действительные числа. Это можно записать так:

D (cos x) = R.

Для точек единичной окружности абсциссы принимают все значения от –1 до 1, следовательно, область значений функции y = cos x: y [–1; 1]. Это можно записать так:

E (cos x) = [–1; 1].

Как видим, наибольшее значение функции cos x равно единице. Это значе ние достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной ок ружности является точка A, то есть при x = 2πk, k Z.

Наименьшее значение функции cos x равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окруж ности является точка B, то есть при x = π + 2πk, k Z.

Как было показано в § 4, косинус — четная функция: cos (– x) = cos x, поэтому ее график симметричен относительно оси Оу.

В § 4 было обосновано также, что косинус — периодическая функция с наи меньшим положительным периодом T = 2π: cos (x + 2π) = cos x. Таким образом, через промежутки длиной 2π вид графика функции cos x повторяется.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси Oy значение x = 0. Тогда соответствующее значение y = cos 0 = 1. На оси Ox значение y = 0. Поэтому необходимо найти такие значения x, при которых cos x, то есть абсцисса соответствующей точки еди ничной окружности будет равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда

на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при x = π + πk,

2

k Z.

Промежутки знакопостоянства. Как было обосновано в § 4, значения функции косинус положительны (то есть абсцисса соответствующей точ ки единичной окружности положительна) в I и IV четвертях (рис. 58). Сле

61