Algebra_10kl_RU

РАЗДЕЛ 2. Тригонометрические уравнения и неравенства

При решении систем тригонометрических уравнений не всегда удается вы полнять только равносильные преобразования уравнений системы, иногда приходится пользоваться уравнениями следствиями. В таких случаях могут возникать посторонние решения, поэтому полученные решения необходимо проверять. Причем проверять можно как значения переменных, полученные

вконце решения, так и значения тригонометрических функций, полученные

входе решения. Если все тригонометрические функции, которые входят в запись системы, по каждой из переменных имеют общий период, то достаточ но выполнить проверку для всех значений переменных из одного периода (для каждой переменной).

212

§ 19. Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем

К о м м е н т а р и й

Если из первого уравнения системы выразить sin x, а из второго — cos x , то можно возвести обе части каждого уравнения в квадрат и после почленного сложения полученных уравнений использовать тождество sin2 x + cos2 x = 1. В результате получим уравнение с одной переменной y, которое легко приво дится к одной тригонометрической функции.

Но при возведении обеих частей уравнения в квадрат получаем уравнение следствие. Таким образом, среди полученных решений могут быть и посторон ние решения для данной системы, которые придется отсеивать проверкой.

Для проверки учитываем, что все функции относительно переменной x, которые входят в запись системы (то есть sin x и cos x), имеют общий пери од 2π. Аналогично все функции относительно переменной y (sin у и cos у) тоже имеют общий период 2π. Следовательно, проверку решений достаточно вы полнить для всех пар чисел (х; у), где x [0; 2π], y [0; 2π] (можно взять и другие промежутки длиной 2π). Полезно также учесть, что все решения, по лученные вследствие подстановки в одно из уравнений системы, автоматиче ски удовлетворяют этому уравнению, а значит проверку этих решений дос таточно выполнить только для второго уравнения системы.

Для каждой переменной все полученные решения необходимо повторить через период.

Возведем обе части каждого уравнения системы в квадрат и почленно сло жим полученные уравнения. Получаем уравнение следствие

sin2 x + cos2 x = 1 sin2 y + 3 cos2 y. Тогда 2 = sin2 y + 3 cos2 y,

22

2 = 1− cos2 y + 3 cos2 y, то есть cos2 y = 1. Таким образом,

Подставляя полученные значения в уравнение (2), получаем

213

РАЗДЕЛ 2. Тригонометрические уравнения и неравенства

Относительно каждой из переменных x и y все функции, которые входят в запись данной системы, имеют период 2π, поэтому проверку достаточно вы полнить для всех пар чисел (х; у), где x [0; 2π], y [0; 2π].

Решениями заданной системы являются только пары чисел:

(6π ; π4 ); (116π ; 74π ); (56π ; 34π ); (76π ; 54π ).

Ответ получим, повторяя приведенные решения через период (для каждой

При решении уравнений с обратными тригонометрическими функция ми полезно помнить, что при | a | m 1

Также при решении уравнений с обратными тригонометрическими функ циями часто бывает удобно от обеих частей уравнения взять какую нибудь тригонометрическую функцию и воспользоваться определением соответству ющих обратных тригонометрических функций.

Задача 7 Решите уравнение 2 arcsinx = arcsin 10 x.

13

К о м м е н т а р и й Если взять от обеих частей данного уравнения функцию синус, то получим

уравнение следствие: если числа равны, то и синусы будут равны, но если сину сы двух чисел равны, то это еще не значит, что числа обязательно будут равны. То есть верное равенство будет сохраняться при прямых преобразованиях, но не обязательно будет сохраняться при обратных преобразованиях. Таким об разом, в конце решения необходимо выполнить проверку полученных корней.

214

§ 19. Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем

Если обозначить arcsin x = α, то по определению арксинуса α −2π; 2π

и sin α = x. Для нахождения cos α учитываем, что при α −2π; 2π значение

cos α l 0 , таким образом, cosα = 1−sin2 α.

Проверяя полученные решения, в тех случаях, когда найденные числа не являются корнями данного уравнения, иногда удобно сравнить полученные

полняется.

Ответ: 0. Y

215

РАЗДЕЛ 2. Тригонометрические уравнения и неравенства

З а м е ч а н и е. Для решения уравнения 2arcsin x = arcsin 10 x можно было

13

применить не только уравнения следствия, но и равносильные преобразова ния уравнений. В этом случае необходимо учесть ОДЗ данного уравнения:

вая часть уравнения должна находиться в этом же промежутке. Значит, для

всех корней данного уравнения выполняется условие: − π m2arcsin x m π, то есть

2 2

На промежутке −2π; 2π функция sin t является возрастающей, тогда при

выполнении условия (4) (и, конечно, на ОДЗ (3)), если от обеих частей данно го уравнения взять синус, то получим равносильное ему уравнение (то есть данное уравнение равносильно уравнению (2) при условиях (3) и (4)). Выпол няя рассуждения и преобразования, приведенные выше в решении задачи 7,

получаем x = 0 или x = ± 12. Все найденные решения принадлежат ОДЗ (удов

13

летворяют условиям (3)), но условию (4) удовлетворяет только х = 0. Таким образом, корнем данного уравнения является только x = 0.

Вопросы для контроля

1. Объясните, как можно решить уравнение cos x = 1 + x2 с помощью оценки левой и правой частей уравнения. Решите это уравнение.

2. Объясните, как можно решать тригонометрические уравнения, в запись ко торых входят только сумма или разность синуса и косинуса одного и того же аргумента и их произведение. Приведите пример такого уравнения.

3. Приведите пример тригонометрической формулы, применение которой может привести к сужению ОДЗ данного уравнения и к потере его корней. Объясните, почему происходит сужение ОДЗ. Как необходимо применять такие формулы, чтобы не потерять корни данного уравнения? Объясните

это на примере уравнения 2 ctg x −tg(x + π4 )=1.

Упражнения

Решите уравнение (1–5).

216

§ 20. Тригонометрические уравнения с параметрами

2. 1) sin 7x + cos 12x = 2; 2) sin 2x sin 6x = 1;

4.1) 9x2 – 6x cos 6πx + 1 = 0;

2)4x2 – 4x sin (xy) + 1 = 0 (найдите все пары чисел (x; y), которые удовлет воряют уравнению).

5.1) 2 (arcsin x)2 + π2 = 3π arcsin x; 2) 9 (arccos 2x)2 – 3π arccos 2x – 2π2 = 0;

§20 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕС ПАРАМЕТРАМИ УРАВНЕНИЯ

20.1. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ

Если в запись тригонометрического уравнения кроме переменной и число вых коэффициентов входят также буквенные коэффициенты — параметры, то при решении таких уравнений можно пользоваться следующим о р и е н т и р о м.

Любое уравнение или неравенство с параметрами можно решать как обычное уравнение или неравенство до тех пор, пока все преобразова ния или рассуждения, необходимые для решения, можно выполнить однозначно. Если какое то преобразование нельзя выполнить одно значно, то решение необходимо разбить на несколько случаев, чтобы в каждом из них ответ через параметры записывался однозначно.

На этапе поиска плана решения уравнения или неравенства с параметра ми или в ходе рассуждений, связанных с самим решением как таковым, часто

217

РАЗДЕЛ 2. Тригонометрические уравнения и неравенства

удобно сопровождать соответствующие рассуждения схемами, по которым легко проследить, в какой момент мы не смогли однозначно выполнить необ ходимые преобразования, на сколько случаев пришлось разбить решение и чем отличается один случай от другого. Чтобы на таких схемах (или в записях громоздких решений) не потерять какой нибудь ответ, целесобразно поме щать окончательные ответы в прямоугольные рамки.

Задача 1 Решите уравнение 2cos x – a = 0.

Задача 2 Решите уравнение sin 2x = 4a cos x.

218

§ 20. Тригонометрические уравнения с параметрами

З а м е ч а н и е. Для записи полученных ответов (они на схемах располо жены в прямоугольных рамках) целесообразно уточнить, при каких значе ниях a выполняются ограничения | 2a | m 1 и | 2a | > 1. Для этого решаем соот ветствующие неравенства:

Чтобы облегчить запись ответа в случаях сложных или громоздких реше ний, изобразим ось параметра (a) и отметим на ней все особые значения параметра, которые появились в процессе решения. Под осью параметра (ле вее от нее) выпишем все полученные решения (кроме «решений нет») и на против каждого ответа отметим, при каких значениях параметра этот ответ можно использовать (см. схему ниже). После этого ответ записыва ется для каждого из особых значений параметра и для каждого из получен ных промежутков оси параметра.

1. x = π + πm, m Z

2

2. x = (–1)п arсsin (2a) + πn, n Z

219

РАЗДЕЛ 2. Тригонометрические уравнения и неравенства

К о м м е н т а р и й Для решения уравнения (1) используем равносильные преобразования.

Тогда мы обязательно должны учесть ОДЗ данного уравнения. Для этого за писываем условия существования тангенса и котангенса и решаем соответ ствующие ограничения. Мы можем привести все тригонометрические функ ции к одному аргументу x, используя формулу тангенса двойного аргумента, а потом привести все выражения к одной функции tg x, используя формулу

(табл. 36) и, чтобы не потерять корни данного уравнения, те значения, на которые сужается ОДЗ (x = 2π + πk), необходимо рассмотреть отдельно.

При x ≠ π + πk приводим все тригонометрические выражения к одной функ

2

ции и выполняем равносильные преобразования полученного уравнения

На ОДЗ уравнения (1) знаменатели дробей в уравнении (2) не равны нулю. Таким образом, после умножения обеих частей уравнения (2) на выражения, которые стоят в знаменателях, получаем уравнение (2 + a) tg2 x = a, равно сильное уравнению (2) на ОДЗ уравнения (1).

1)Если 2 + a = 0, то есть a = –2, то получаем уравнение 0ætg2 x = –2, которое не имеет корней.

2) Если 2 + а ≠ 0, то есть а ≠ –2, то получаем tg2 x = a .

a + 2

Чтобы решить это уравнение, необходимо знать знак выражения, которое стоит в правой части, поскольку tg2 x не может быть отрицательным. Рас смотрим для правой части три случая: она меньше нуля, равна нулю, больше нуля. То есть дальнейшие рассуждения проведем по следующей схеме.

220

§ 20. Тригонометрические уравнения с параметрами