Algebra_10kl_RU

РАЗДЕЛ 2. Тригонометрические уравнения и неравенства

Графически утверждение теоремы проиллюстрировано на рисунке 96. Пря мая у = а пересекает график возрастающей на промежутке [α; β] функции у = f (x) только в одной точке. Это и означает, что уравнение f (x) = а не может иметь больше одного корня на промежутке [α; β]. Докажем это утверждение аналитически.

(Если на промежутке [α; β] уравнение имеет корень x0, то f (x0) = a. Других корней быть не может, поскольку для возрастающей функции f (x) при x > x0 получаем неравенство f (x) > f (x0) = a, а при x < x0 — неравенство

≠x0 f (x) ≠ a. Аналогично и для

≠x0 получаем f (x) ≠ a. )

Т е о р е м а 2. Если в уравнении f (x) = g (x) функция f (x) возрастает на

некотором промежутке, а функция g (x) убывает на этом же промежутке (или наоборот), то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.

Графически утверждение теоремы проиллюстрировано на рисунке 97.

(Если на промежутке [α; β] уравнение имеет корень x0, то f (x0) = g (x0) = a. Других корней быть не может, поскольку, например, для возрастающей

функции f (x) и убывающей функции g (x) при x > x0 имеем f (x) > a, a g (x) < a, таким образом, f (x) ≠ g (x). Аналогично и при x < x0 f (x) ≠ g (x). )

Каждая из этих теорем утверждает, что в рассмотренном промежутке данное уравнение может иметь не более чем один корень, то есть или это уравнение совсем не имеет корней, или оно имеет единственный корень. Если нам удалось подобрать один корень такого уравнения, то других корней в за данном промежутке уравнение не имеет.

Например, чтобы решить уравнение x3 + x = 10, достаточно заметить, что функция f (x) = x3 + x является возрастающей на всей числовой прямой (как сумма двух возрастающих функций) и что x = 2 — корень* этого уравнения (23 + 2 = 10; 10 = 10). Таким образом, данное уравнение f (x) = 10 имеет единственный корень x = 2.

*Корень x = 2 получен подбором. Как правило, подбор начинают с целых значений:

х= 0, ä1, ä2..., которые подставляются в данное уравнение.

202

§ 18. Применение свойств функций к решению уравнений

Заметим, что каждая из этих теорем гарантирует единственность корня урав нения (если он есть) только на промежутке возрастания (или убывания) соот ветствующей функции. Если функция имеет несколько промежутков возрас тания и убывания, то приходится рассматривать каждый из них отдельно.

Пример Решим с помощью теоремы 2 уравнение x3 + x = 2 .

всей области определения не является ни убывающей, ни возрастающей (с. 22), но она убывает на каждом из промежутков (–×; 0) и (0; +×). Поэтому рассмотрим каждый из этих промежутков отдельно.

1) При x > 0 данное уравнения имеет корень x = 1 (13 + 1 = 2 , 2 = 2).

1

Функция f (x) = x3 + x возрастает при x > 0 (как было показано выше, она возрастает на множестве R), а функция g (x) = 2x убывает на промежутке

x > 0. Таким образом, данное уравнение f (x) = g (x) при x > 0 имеет един ственный корень x = 1.

2) При x < 0 данное уравнение имеет корень x = –1 ((−1)3 + (−1) = 2 , − 2= − 2).

−1

Функция f (x) = x3 + x возрастает при x < 0, а функция g (x) = 2x убывает на

этом промежутке. Поэтому данное уравнение f (x) = g (x) при x < 0 имеет единственный корень x = –1.

В ответ следует записать все найденные корни (хотя на каждом из проме жутков корень единственный, но всего корней — два). Итак, данное урав нение имеет только два корня: 1 и –1. Y

Примеры решения задач

203

РАЗДЕЛ 2. Тригонометрические уравнения и неравенства

З а м е ч а н и е. Утверждение, обоснованное в комментарии к задаче 2, мо жет быть использовано при решении аналогичных задач. Коротко его можно сформулировать так: если функция f (x) является возрастающей (или убы

вающей) на определенном множестве, то на этом множестве f (α) = f (β) α = β.

204

§ 18. Применение свойств функций к решению уравнений

Вопросы для контроля

1.Объясните на примерах, как можно использовать свойства функций при решении уравнений.

2*. Обоснуйте правильность ориентиров по решению уравнений с использова нием свойств функций, приведенных в таблице 35 (с. 198).

Упражнения

Решите уравнение (1–4), используя свойства соответствующих функций.

3.1) | x2 – 7x + 12 | + | x2 – 9 | + | 6 – 2x | = 0;

2)| x + 2 | + | y – 5 | + | 2x2 – 8 | = 0;

5)x2 + y2 + 5 = 4x + 2y;

6)3x2 + y2 + 2z2 = 4y – 6x – 12z – 25.

205

§19 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ

Иногда приходится решать тригонометрические уравнения, в которые вхо дят только сумма или разность синуса и косинуса одного и того же аргумента и их произведение. В таком случае целесобразно эту сумму (или разность) обозначить новой переменной.

Задача 1 Решите уравнение 3 (sin x + cos x) = 2 sin 2х.

К о м м е н т а р и й Если в заданном уравнении привести все тригонометрические функции к

одному аргументу х, то получим уравнение (1) (см. решение), в которое вхо дят только сумма синуса и косинуса одного и того же аргумента х и их про изведение. Для решения этого уравнения введем новую переменную sin x + cos x = y. Чтобы получить произведение sin x cos x, достаточно возвести

Если обозначить sin x + cos x = у, то sin2 x + cos2 x + 2 sinxcosx = y2. Тогда sinxcosx = y2 − 1. Подставляя эти значения в уравнение (1), получаем

З а м е ч а н и е. При возведении обеих частей уравнения в квадрат можно получить посторонние корни (см. таблицу 34). Но возведение обеих частей равенства замены в квадрат является равносильным преобразованием.

Действительно, в этом случае левая и правая части равенства имеют одина ковые знаки, и тогда a = b a2 = b2. Если обе части равенства a = b положи тельны, то для положительных значений t функция y = t2 возрастает и поэто

206

§ 19. Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем

му каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента. Таким образом, при a > 0, b > 0 из равенства a = b следует равенство a2 = b2 и, наоборот, из равенства a2 = b2 следует равенство a = b, что и гарантирует рав носильность выполненного преобразования для положительных a и b. Ана логично для a m 0, b m 0 используем то, что для отрицательных значений t функция y = t2 убывает и поэтому каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента.

Для решения некоторых тригонометрических уравнений могут применять ся свойства функций (соответствующие общие подходы к решению были рас смотрены в § 18), в частности, оценка левой и правой частей уравнения.

Поскольку | cos 6x | m 1 и sin5x m1, то | f (x) | m 2, то есть –2 m f (x) m 2.

2

Выясним, существуют ли такие значения х, при которых функция f (x) может принимать наибольшее значение 2. Если cos 6x будет меньше чем 1, то

для того чтобы сумма cos 6x + sin5x равнялась 2, необходимо, чтобы значе

2

ние sin 5x было больше чем 1, что невозможно. Аналогично, если допустить,

2

необходимо, чтобы значение cos 6x было больше чем 1, что невозможно. Таким образом, равенство в данном уравнении возможно тогда и только тогда, когда

cos 6x и sin 5x равны 1. Поэтому данное уравнение равносильно системе

2

Приравнивая правые части этих равенств, получаем

πk = π + 4πn . Отсюда k = 3 + 12n .

3 5 5

Поскольку k и n — целые числа, то попробуем подставить в правую часть последнего равенства вместо п целые числа и найти, для каких значений п по этой формуле k также будет целым числом. При n = 1 получаем k = 3. В случае, когда коэффициент 12 при переменной n в числителе дроби и знаменатель 5 — взаимно простые числа, повторение делимости нацело будет только через знаменатель, то есть через 5. Поэтому последнее уравнение имеет решения в целых числах вида n = 1 + 5т, m Z. Подставляя значение п в одно из реше

207

РАЗДЕЛ 2. Тригонометрические уравнения и неравенства

ний системы, получаем х = π + 4πm. Эти значения и являются решениями по следней системы, а следовательно, и решениями данного уравнения.

Ответ: х = π + 4πm, m Z. Y

К о м м е н т а р и й

Преобразуем левую часть по формуле sinx + cosx = 2 sin(x + π4 ) и оценим

область значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Ре шая полученную систему двух уравнений с одним неизвестным, можно не сколько упростить выкладки и решить только одно уравнение системы, а для другого проверить, удовлетворяют ли ему полученные решения.

Левая часть уравнения (1) меньше или равна 2, а правая часть больше или равна 2. Равенство между ними возможно тогда и только тогда, когда левая и правая части уравнения равны 2, то есть данное уравнение равносильно системе

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения второму уравнению систе

мы. Если x = π + πn, то 8x = 2π + 8πn, тогда sin 8x = 0 и поэтому 2 + sin6 8x = 2.

4

Ответ: π + πn, n Z. Y

4

Иногда для решения тригонометрических уравнений приходится приме нять тригонометрические формулы, которые приводят к сужению ОДЗ дан ного уравнения. Такие преобразования могут приводить к потере корней урав нения. Чтобы этого не случилось, можно пользоваться таким о р и е н т и р о м :

208

§ 19. Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем

если для решения уравнений (или неравенств) приходится выпол нять преобразования, сужающие ОДЗ исходного уравнения (или не равенства), то те значения, на которые сужается ОДЗ, необходи мо рассматривать отдельно.

В таблице 36 указаны тригонометрические формулы, которые могут при# водить к сужению ОДЗ, и соответствующие значения переменной, которые приходится проверять при использовании этих формул.

Т а б л и ц а 36

209

РАЗДЕЛ 2. Тригонометрические уравнения и неравенства

Чтобы убедиться, что приведенные формулы приводят к сужению ОДЗ, до статочно сравнить области допустимых значений их левых и правых частей.

Например, рассмотрим формулу ctgx = 1 .

tg x

(ОДЗ левой части: х ≠ πn, n Z. Для нахождения ОДЗ правой части формулы учитываем, что знаменатель дроби не равен нулю: tg x ≠ 0, таким образом, x ≠ πn, n Z, и также условие существования тангенса: x ≠ π + πk, k Z. То

Сравнивая ОДЗ левой и правой частей рассмотренной формулы, видим, что

ОДЗ правой части содержит дополнительное ограничение (x ≠ 2π + πk). Та ким образом, при переходе по этой формуле от ее левой части к правой про

обходимо рассмотреть отдельно (конечно, только в том случае, когда оно входит в ОДЗ данного уравнения). )

Приведем пример использования указанного ориентира.

К о м м е н т а р и й Если воспользоваться первыми двумя формулами таблицы 36, то мы при

ведем все тригонометрические выражения в этом уравнении и к одному аргу менту, и к одной функции — tg x. Но при использовании указанных формул

происходит сужение ОДЗ на значение x = π + πk, k Z, и вследствие этого

2

можно потерять корни уравнения, если числа такого вида входят в ОДЗ ис ходного уравнения и являются его корнями. Чтобы этого не случилось, разо бьем решение на две части.

1.Подставляем те значения переменной, на которые сужается ОДЗ, в урав нении (1). При вычислениях учитываем периодичность функций и фор мулы приведения.

210

§ 19. Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем

торое равносильно заданному (на той части ОДЗ, где x ≠ π + πk), потому

2

что эти формулы сохраняют верное равенство как при переходе от равен ства (1) к равенству (2), так и при обратном переходе от равенства (2) к ра венству (1). Замена переменной (и обратная замена) также приводит к урав нению, равносильному заданному (на указанной части ОДЗ исходного урав нения).

Заметим, что ОДЗ уравнения (2) отличается от ОДЗ уравнения (1) только

тем, что в нее не входят значения x = π + πk, которые входят в ОДЗ уравне

2

ния (1). Поскольку эти «плохие» значения мы учли в процессе решения, то ОДЗ уравнения (1) можно в явном виде не фиксировать (как в приведенном решении). В ответе записываем все корни, которые были получены в первой и второй частях решения.

Ре ш е н и е

1.X Если x = π + πk, k Z, то из данного уравнения получаем

2

ctg2 (2π + πk)− tg(2π + πk + π4 )= 1, то есть 02 –(–1) = 1 — верное равенство.

Таким образом, x = π + πk , k Z, — корни уравнения (1).

2

2. Если x ≠ π + πk, получаем

2

Некоторые тригонометрические уравнения удается решить, используя та кой о р и е н т и р, который условно можно назвать «ищи квадратный трех# член», то есть:

попробуйте рассмотреть данное уравнение как квадратное отно сительно некоторой переменной (или относительно некоторой функ ции).

211