Algebra_10kl_RU

РАЗДЕЛ 2. Тригонометрические уравнения и неравенства

192

§ 17. Уравнения>следствия и равносильные преобразования уравнений

Т а б л и ц а 34

Какполучитьправиль> Где ошибка ное (илиполное) Пример правильного

решение

(или полного) решения

при решении уравнения

193

РАЗДЕЛ 2. Тригонометрические уравнения и неравенства

194

§ 17. Уравнения>следствия и равносильные преобразования уравнений

П р о д о л ж. т а б л. 34

195

§17. Уравнения>следствия и равносильные преобразования уравнений

6.Являются ли равносильными данные уравнения на ОДЗ первого из них:

xx

7.Решите уравнение и укажите, какое преобразование могло привести к на рушению равносильности:

8.Решите уравнение с помощью уравнений следствий и укажите, какое преобразование могло привести к нарушению равносильности:

9. При каком условии уравнения являются равносильными:

1) f (x) = g(x) и f (x) = g (x)(2x – 3);

2x − 3

2) f (x) + x = g (x) + x и f (x) = g (x)?

10.Может ли произойти потеря корней или появление посторонних корней, если:

1)уравнение (x2 + 7) f (x) = 4x2 + 28 заменить уравнением f (x) = 4;

2)уравнение (x – 1) f (x) = (x – 1) g (x) заменить уравнением f (x) = g (x);

3)уравнение f (x ) = g (x) заменить уравнением f (x) = g (x);

x + 3 x + 3

4) уравнение f (x) = 0 заменить уравнением f (x) = 0?

3x2 + 5

11.Решите уравнение и обоснуйте, что построена цепочка равносильных урав нений:

1)13 – (x – 1)2 + (2x – 1)(x + 1) = (x + 2)2;

2)(x – 1)3 – (x – 3)3 = 3x + 26;

3)(x + 1)3 – (x – 1)3 = 6(x2 + x + 1);

4)(3x – 1)2 + (6x – 3)(2x + 1) = (x – 1)2 + 5(2x + 1)2.

197

2. Оценка левой и правой частей уравнения

198

§18. Применение свойств функций к решению уравнений

Пр о д о л ж. т а б л. 35

3.Использование возрастания и убывания функций

Схема решения уравнения

1. Подбираем один или несколько корней уравнения.

2. Доказываем, что других корней это уравнение не имеет (используя тео# ремы о корнях уравнения или оценку левой и правой частей уравнения).

Теоремы о корнях уравнения

1. Если в уравнении f (x) = a функция f (x) возрастает (убывает) на некотором про межутке, то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом проме

жутке.

Пример

Уравнение x + 2x3 = 3 имеет единствен ный корень х = 1 ( 1 + 2 13 = 3, то есть 3 = 3), поскольку функция f(x) = x + 2x3 возрастает на всей области определения х l 0.

2. Если в уравнении f (x) = g (x) функция f (x) возрастает на некотором промежут ке, а функция g (x) убывает на этом же промежутке (или наоборот), то это урав нение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.

Пример

Уравнение x + x3 = 3 − x имеет един ственный корень х = 1 ( 1 + 13 = 3 − 1, то

есть 2 = 2), поскольку f (x) = x + x3 воз растает на всей области определения х l 0, а g (x) = 3 – х убывает (на множе стве R, а следовательно, и при x l 0).

Объяснение и обоснование

1. Конечная ОДЗ. Напомним, что в случае, когда дано уравнение f (x) = g (x), общая область определения для функций f (x) и g (x) называется областью допустимых значений этого уравнения. Понятно, что каждый корень задан

199

РАЗДЕЛ 2. Тригонометрические уравнения и неравенства

ного уравнения принадлежит как области определения функции f (x), так и области определения функции g (x). Таким образом, каждый корень уравне# ния обязательно принадлежит ОДЗ этого уравнения. Это позволяет в неко торых случаях за счет анализа ОДЗ получить решение уравнения.

Например, если дано уравнение x − 2 + 4 − 2x = 3x − 6, то его ОДЗ можно

то есть х = 2. Таким образом, ОДЗ данного уравнения состоит только из одно го значения х = 2. Но если только для одного числа необходимо выяснить, является ли оно корнем данного уравнения, то для этого достаточно подста вить это значение в уравнение. В результате получаем верное числовое равен ство (0 = 0). Следовательно, х = 2 — корень данного уравнения. Других кор ней у этого уравнения быть не может, поскольку все корни уравнения нахо дятся в его ОДЗ, а там нет других значений, кроме х = 2.

Рассмотренный пример позволяет выделить о р и е н т и р для решения аналогичных уравнений:

если ОДЗ уравнения (а также неравенства или системы) состоит из конечного числа значений, то для решения достаточно проверить все эти значения.

З а м е ч а н и е. В том случае, когда ОДЗ — пустое множество (не содер# жит ни одного числа), мы можем сразу дать ответ, что данное уравнение не имеет корней.

решений. Таким образом, ОДЗ данного уравнения не содержит ни одного чис ла, и поэтому это уравнение не имеет корней.

2. Оценка левой и правой частей уравнения. Некоторые уравнения можно решить с помощью оценки левой и правой частей уравнения.

Пусть дано уравнение f (x) = g (x), и нам удалось выяснить, что для всех допустимых значений x значение f (x) l a, а значение g (x) m a.

(Рассмотрим два случая: 1) f (x) > a; 2) f (x) = а.

Если f (x) > a, то равенство f (x) = g (x) не может выполняться, потому что g (x) m a, то есть при f (x) > a данное уравнение корней не имеет. Остается только случай f (x) = a, но, учитывая необходимость выполнения равен

ства f (x) = g (x), имеем, что тогда и g (x) = a. Таким образом, мы обоснова ли, что выполнение равенства f (x) = g (x) (при условии f (x) l a и g (x) m a) гарантирует одновременное выполнение равенств f (x) = а и g (x) = а (и, наоборот, если одновременно выполняются равенства f (x) = а и g (x) = а,

200

§ 18. Применение свойств функций к решению уравнений

то выполняется и равенство f (x) = g (x)). Как было показано в § 17, это и

f (x) = a, означает, что уравнение f (x) = g (x) равносильно системе g (x) = a.

Пример использования такого приема решения уравнений приведен в пунк те 2 таблицы 35.

Аналогично предыдущим рассуждениям обосновывается и ориентир по ре шению уравнения f1 (x) + f2 (x) + ... + fn (x) = 0, в котором все функции слага емые неотрицательны (f1 (x) l 0; f2 (x) l 0; ...; fn (x) l 0).

(Если предположить, что f1 (x) > 0, то сумма всех функций, стоящих в ле вой части этого уравнения, может равняться нулю только тогда, когда

сумма f2 (x) + ... + fn (x) будет отрицательной. Но это невозможно, посколь ку по условию все функции неотрицательные. Таким образом, при f1 (x) > 0 данное уравнение не имеет корней. Эти же рассуждения можно повторить для любой другой функции слагаемого. Остается единственная возмож ность — все функции слагаемые равны нулю (очевидно, что в этом случае

равенство f1 (x) + f2 (x) + ... + fn (x) = 0 обязательно будет выполняться). Таким образом, сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда все функции одновременно равны нулю. )

Например, чтобы решить уравнение x4 + | x – 1 | = 2x2 – 1, достаточно перенес ти все члены в одну сторону, записать уравнение в виде (x2 – 1)2 + | x – 1 | = 0 и учесть, что функции (x2 – 1)2 и | x – 1 | неотрицательные. Таким образом,

(x2 − 1)2 = 0,

данное уравнение равносильно системе − =

x 1 0.

Из второго уравнения получаем х = 1, что удовлетворяет и всей системе. Следовательно, данное уравнение имеет единственный корень х = 1.

3. Использование возрастания и убывания функций к решению уравнений опирается на такое свойство: возрастающая или убывающая функция прини# мает каждое свое значение только в одной точке ее области определения.

Полезно помнить специальные теоремы о корнях уравнения.

Т е о р е м а 1. Если в уравнении f (x) = a функция f (x) возрастает (убыва

ет) на некотором промежутке, то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.

201