Algebra_10kl_RU

Р е ш е н и е

XПри соs x = 0 уравнение не имеет

корней, поэтому разделим обе его части на соs2 x ≠ 0.

Получаем

Тогда tg2 x – tg x – 2 = 0.

Замена: tg x = t. Получаем уравнение t2 – t – 2 = 0,

t1 = –1, t2 = 2.

К о м м е н т а р и й

Данное уравнение однородное, по скольку все его члены имеют одина ковую суммарную степень 2. Его мож но решить делением обеих частей на sin2 x или на соs2 x.

Если мы будем делить на соs2 x, то, чтобы не потерять корни, случай соs x = 0 рассмотрим отдельно.

Подставляя соs x = 0 в данное урав нение, получаем sin x = 0. Но одновре менно sin x и соs x не могут равняться нулю (поскольку sin2 x + соs2 x = 1). Таким образом, те значения перемен

6sin2 x + sin x соs x – соs2 x = 2æ1

иучтем, что 1 = sin2 x + соs2 x. Тогда 6 sin2 x + sin x соs x – соs2 x =

=2 (sin2 x + соs2 x).

Отсюда

4 sin2 x + sin x соs x – 3 соs2 x = 0. (2) При соs x = 0 уравнение не имеет корней, поэтому разделим обе его час

ти на соs2 x ≠ 0. Получаем

Замена: tg x = t. Получаем уравне ние 4t2 + t – 3 = 0,

t1 = –1, t2 = 3 .

4

Выполняем обратную замену:

1.При t = –1 имеем tg x = –1, тогда x = arctg (– 1) + πп,

x = − π + πn, п Z.

4

x = arctg 3 + πm, т Z.

4

Ответ: − π + πn, п Z;

4

arctg 3 + πm, т Z. Y

4

Теперь в левой части уравнения (1) стоит однородное выражение вто# рой степени, а в правой части — чис# ло 2. Если домножить 2 на 1, а едини# цу расписать по основному тригоно# метрическомутождеству 1 = sin2 x + + соs2 x, то в левой и правой частях полученного уравнения все выраже# ния будут второй степени, то есть получим однородное уравнение (2), которое можно решить делением обе их частей или на sin2 x, или на соs2 x.

Если мы будем делить на соs2 x, то, чтобы не потерять корни, случай соs2 x = 0 рассмотрим отдельно.

Подставляя соs x = 0 в уравнение (2), получаем sin x = 0. Но одновре менно sin x и соs x не могут равняться нулю (поскольку sin2 x + соs2 x = 1). Таким образом, при соs x = 0 уравне ние (2) не имеет корней.

А при соs x ≠ 0 можно разделить обе части этого уравнения на соs2 x ≠ 0

(и учесть при этом, что cossinxx =tgx). В полученное уравнение (3) пере

менная входит в одном и том же виде tg x, поэтому удобно выполнить за мену tg x = t.

Р е ш е н и е

X sin 7x – sin 5x = 0, тогда

2 sin 7x − 5x cos 7x + 5x = 0,

22

2 sin x cos 6x = 0. Получаем:

К о м м е н т а р и й

Достаточно трудно все тригономет рические функции в этом уравнении привести к одному аргументу.

В таком случае приходится пользо ваться четвертым пунктом ориентира, приведенного на с. 170: переносим все

sin x = 0 или cos 6x = 0. Решая последние простейшие три

гонометрические уравнения, имеем:

x = πn, n Z, или 6x = π + πm,

2

то есть x = π + πm , m Z.

12 6

Ответ: πn, n Z;

π + πm , m Z.Y

12 6

члены уравнения в одну сторону и пробуем получить произведение, равное нулю.

Для этого воспользуемся форму лой преобразования разности синусов

в произведение:

sin α − sin β = 2 sin α − β cos α + β.

2 2

Если произведение равно нулю, то хотя бы один из сомножителей равен нулю, а остальные сомножители име ют смысл. В данном случае все дан ные и полученные выражения имеют смысл на всем множестве действи тельных чисел. В конце учитываем, что данное уравнение равносильно со вокупности уравнений sin x = 0 или cos 6x = 0, и поэтому в ответе долж ны быть записаны все корни каждо го из этих уравнений.

Р е ш е н и е

Xsin 4x = 0 или tg x = 0.

Тогда 4x = πn (то есть x = πn , n Z)

4

или x = πk, k Z. Функция y = sin 4x имеет период

T = 2π = π , а функция у = tg x — пери

1 4 2

К о м м е н т а р и й

Если число х является корнем уравнения (1), то при этом значении х равенство (1) обращается в верное числовое равенство. Произведение двух чисел может равняться нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Та

од Т2 = π. Тогда Т = π является общим периодом для обеих функций. Обо значим все полученные корни на од ном периоде, например на промежут ке [0; π]:

При x = π значение tg x не суще

2

ствует, таким образом, x = π не явля

2

ется корнем данного уравнения.

При значениях 0, π, 3π, π получа

4 4

ем равенство 0 = 0. Следовательно, эти значения являются корнями уравнения (1).

Тогда решениями данного уравне ния будут:

х= πk; x = π + πk;

4

ким образом, каждый корень уравне ния (1) будет корнем совокупности уравнений sin 4x = 0 или tg x = 0.

Заменив уравнение (1) на эту со вокупность, мы не потеряем корни данного уравнения, но можем полу чить посторонние для него корни. На пример, такие, при которых первый множитель равен нулю, а второй не существует.

Чтобы отбросить такие значения, выполним проверку полученных кор ней подстановкой в исходное уравне ние на одном периоде — промежутке длиной π.

На этом периоде отбираем корни (отбрасываем посторонние), а те, ко торые остаются, периодически повто ряем (то есть добавляем к получен ным корням πk, k Z).

Р е ш е н и е

X ОДЗ: x ≠ π + πk, k Z.

2

sin 4x = 0 или tg x = 0.

Тогда 4x = πn, то есть x = πn , п Z,

4

или x = πk, k Z.

Функция y = sin 4x имеет период T = 2π = π , а функция у = tg x — пе

риод Т2 = π. Тогда Т = π является об щим периодом для обеих функций. Обозначим все полученные корни на одном периоде, например на проме жутке [0; π], и на этом же промежут ке обозначим ограничения ОДЗ:

Ответ: πk; π + πk; 3π + πk, k Z. Y

44

Вопросы для контроля

К о м м е н т а р и й

Все равносильные преобразования уравнений выполняются на их обла# сти допустимых значений (ОДЗ), поэтому необходимо учесть ОДЗ.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, ког да хотя бы один из множителей равен нулю, а второй множитель имеет смысл. На ОДЗ оба множителя име ют смысл, поэтому на ОДЗ данное уравнение равносильно совокупности уравнений sin 4x = 0 или tg x = 0.

Те корни совокупности, которые входят в ОДЗ, достаточно отобрать на одном периоде — промежутке дли ной π, а потом полученные решения периодически повторить.

Значение x = π не принадлежит

2

ОДЗ, поэтому оно не является корнем данного уравнения.

Значения 0, π, 3π, π входят в ОДЗ,

44

следовательно, эти значения являют ся корнями данного уравнения.

9.1) cos x + sin x = 0;

3) 3 cos2 x = 4 sin x cos x – sin2 x;

14.1) sin x + sin 3x = 0; 3) cos 2x – cos 6x = 0;

15*. 1) | sin x | = | cos x |;

16*. 1) sin (2x − 6π )+ cos (136π − 2x)= 0;

2)cos2 x – 3 sin x cos x = –1;

4)4 cos2 x – 7 sin 2x = 2.

2)sin 5x – sin x = 0;

4)cos 4x + cos 2x = 0.

x

y