Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Algebra_10kl_RU

.pdf

Скачиваний:

113

Добавлен:

20.03.2015

Размер:

5.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 4514 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

РАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции

Аналогично обосновывается формула

α = 1 − cos α

(10)

2 sin α

1 − cos α

2sin

2 α

sin

= tg α , если sin

α ≠ 0, то есть формулу (10) можно

sinα

2sin

cos

применять при α ≠ πk, k Z.

Учитывая, что ctg

, получаем формулы:

tg α

ctg

sin α

ctg α

= 1 + cos α

1 − cos α

sin α

4. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного ар гумента. Чтобы получить соответствующие формулы для sin α и cos α, запи шем каждое из этих выражений по формулам двойного аргумента и разделимна

1 = sin2 α + cos2 α . Затем, чтобы перейти к тангенсам, разделим числитель и зна

менатель полученной дроби на cos2 α (разумеется, при условии, что cos2 α ≠ 0,

то есть при α ≠ π + 2πk, k Z).

2sin α cos α

sin α

sinα

2sin α cos α

cos2 α

cos

2tg α

sinα =

. Таким образом,

sin2 α + cos2 α

α + cos2 α

sin2 α

tg2 α + 1

sin2

+ 1

cos2 α

2 tg

sinα =

α ≠ π + 2πk, k Z

(11)

1 + tg 2

cos α

cos2 α − sin2 α

1 − tg2 α

cosα =

Поэтому

2 α

sin

+ cos

+ 1

1 − tg2 α

cosα =

α ≠ π + 2πk, k Z

(12)

1 + tg 2

Если почленно разделить равенства (11) и (12), то получим формулы:

132

§ 11. Дополнительные формулы тригонометрии

		α
tg α =	2tg 2		,	α ≠			π	+ πn, n Z, α ≠ π + 2πk, k Z					,	(13)
1	− tg2 α					2
	2

					1	− tg2 α
		ctg α =							2	,	α ≠ πk, k Z	.
		ctg α =				2 tg			α	,	α ≠ πk, k Z	.
									α
									2
									2

Заметим, что формулу (13) можно получить и по формуле тангенса двой ного аргумента, поскольку α = 2 α .

Примеры решения задач

Задача 1

Вычислите, не пользуясь таблицами и калькулятором:

1) sin 15°;

2) cos 15°;

3) tg 15°.

Р е ш е н и е

К о м м е н т а р и й

1) X sin 15° =

1 − cos 30°

Поскольку аргумент 15° равен по

ловине аргумента 30°, а косинус 30°

известен, то можно найти искомые

1 −

2 −

; Y

значения по формулам половинного

аргумента. Учитывая, что аргумент

15° находится в I четверти (где значе

2) X cos 15° =

1 + cos30°

ния всех тригонометрических функ

ций положительны), в формулах (5)

1 +

2 +

и (6) перед знаком квадратного кор

ня ставится знак «+». Для нахожде

; Y

ния тангенса 15° можно применить

любую из формул (7), (9) или (10), но

3)X tg 15° =

1 − cos 30°

1 −

= 2 −

удобнее применить формулы (9) или

3.Y

sin 30°

(10), запись которых не содержит

квадратных корней. После нахожде

ния sin 15° и cos 15° можно использо

вать также формулу

tg 15° =

sin15°

cos15°

З а м е ч а н и е. Записи ответов для sin 15° и cos 15° можно несколько упро стить, выделяя под знаком внешнего квадратного корня квадрат двучлена. Чтобы представить, например, 2 − 3 в виде квадрата двучлена, умножим и разделим это выражение на 2 (и рассмотрим выражение 2 3 как удвоенное произведение чисел 3 и 1). Получаем:

133

РАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции

2 − 3 =		4 − 2 3		=	(	3 − 1)2		, 2 +		3 =		4 + 2 3		=	(	3 + 1)2
2 − 3 =		2		=		2		, 2 +		3 =		2		=		.
		2				2						2				2
				(	3 − 1)2
Тогда sin 15° =	2 −	3	=		2		=	3 − 1		=	6 − 2		.
Тогда sin 15° =			=		2		=			=			.
2					2			2	2			4
								2	2

Выполняя аналогичные преобразования, получаем cos 15° =	6 +	2	.

4

Вопросы для контроля

1.Запишите формулы тройного и половинного аргументов и формулы, выра жающие тригонометрические функции через тангенс половинного аргу мента. Проиллюстрируйте на примерах применение этих формул.

2.Обоснуйте формулы тройного и половинного аргументов и формулы, вы ражающие тригонометрические функции через тангенс половинного ар гумента.

	Упражнения
1.	Вычислите, не пользуясь таблицами и калькулятором:
	1) sin 22°30R;									2) cos 22°30R;																	3) tg 22°30R.
2.	Найдите sin α ; cos α ; tg α , если:
	2					2		2
	1) cosα = −	3	и π < α <						3π	;	2) cosα =							5		и		3π		< α < 2π.
	5							2			13									2
3.	Вычислите tg(α+				π		), если cos 2α =									1			и π < α <							5π	.
3.	Вычислите tg(α+				π		), если cos 2α =												и π < α <								.
				4							3									4
4.	Вычислите cos α , если sinα = −													12	и π < α <								3π		.
4.	Вычислите cos α , если sinα = −														и π < α <										.
				2							13									2
5.	Вычислите sin α, если tg α =											1	.
5.	Вычислите sin α, если tg α =												.
								2			3
6.	Вычислите tg α , если sinα + cosα =																1		и	3π	< α < 2π.
6.	Вычислите tg α , если sinα + cosα =																		и	2	< α < 2π.
				2							5									2
7.	Вычислите			sin2α				cos α			, если tg α = 2.
	1			+ cos α		1		+ cos2α			2
8.	Учитывая, что sin 36° = cos 54°, вычислите sin 18°.

134

§11. Дополнительные формулы тригонометрии

11.2.ФОРМУЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЯ a sin α + b cos α

Та б л и ц а 24

a sin α+b cos α= a2 +b2 sin(α+ϕ) ,

где аргумент ϕ определяется из соотношений

cosϕ =	a	, sinϕ =	b
	a2 + b2		a2 + b2

Объяснение и обоснование

(Сначала докажем следующее утверждение: если для чисел m и n выполня#

ется соотношение m2 + n2 = 1, то одно из этих чисел можно считать синусом, а другое косинусом некоторого аргумента ϕ.

Рассмотрим точку M координатной плоскости с координатами (m; n). Ко ординаты точки М удовлетворяют уравнению единичной окружности

x2 + y2 = 1 (поскольку по условию т2 + п2 = 1). Итак, точка M находится на единичной окружности, и ее абсцисса является косинусом угла ϕ, который

радиус OM образует с положительным направлением оси Ox, а ордина та — синусом этого угла ϕ. То есть m = cos ϕ, n = sin ϕ.

Если взять m =

, n =

то m2 + n2 =

= 1. Тогда

a2 + b2

+ b2

для некоторого угла ϕ

m =

= cos ϕ,

n =

= sin ϕ.

a2 + b2

Теперь мы можем доказать, что правая часть формулы

a sinα + b cosα = a2 + b2 sin(α + ϕ) равна левой:

a2 + b2 sin(α + ϕ) =

a2 + b2 (sinα cosϕ + cosα sinϕ) =

= a2 + b2 sinα

+ cosα

= a sinα + b cosα,

a2 + b2

что и требовалось доказать. Таким образом,

a sinα+b cosα=

a2 +b2 sin(α+ϕ),

где аргумент ϕ определяется из соотношений

cos ϕ =

sin ϕ =

a2 + b2

З а м е ч а н и е. В полученной формуле аргумент ϕ определяется с точно стью до 2π, но чаще всего выбирают значение, наименьшее по модулю.

135

РАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции

Например, для выражения sin α + cos α имеем a = 1, b = 1. Тогда

cosϕ =

sinϕ =

a2 + b2

Таким образом, аргумент ϕ находится в I четверти и как значение ϕ можно

взять ϕ = 4

. Тогда

sinα + cosα =

2 sin(α +

)

Примеры решения задач

Задача 1

Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения

3 sinα − cosα.

Р е ш е н и е

К о м м е н т а р и й

X По формуле

Выражение

3 sinα − cosα можно

asinα + bcosα = a2 + b2 sin(α + ϕ)

преобразовать по формуле

получаем

asinα + bcosα =

a2 + b2 sin(α + ϕ).

3 sinα − cosα = 2sin(α − π ).

Здесь a =

3, b = –1, тогда

a2 + b2 = 4 = 2. Таким образом,

Учитывая, что sin(α −

) прини

cosϕ =

мает все значения из промежутка

a2 + b2

sinϕ =

= −

a2 + b2

[–1; 1], имеем, что 2 sin(α − 6 )

при

Следовательно, аргумент ϕ нахо

нимает все значения из промежутка

дится в IV четверти и как значение ϕ

[–2; 2]. Таким образом, наибольшее

можно взять, например, ϕ = −

. Ис#

значение заданного выражения рав

но 2, а наименьшее — (–2). Y

пользуя метод оценки для нахожде#

ния наибольшего и наименьшего зна#

чений выражения, учитываем, что

необходимо не только оценить значе#

ние выражения с помощью нестрогих

неравенств

(−2 m 2sin(α − π ) m 2), но

и убедиться, что знак равенства в

этих неравенствах достигается.

Постройте график функции y =

2 (sinx + cosx).

Задача 2

К о м м е н т а р и й

2 sin(x +

Выражение sin x + cos x можно записать в виде sin x + cos x =

Тогда график заданной функции можно построить с помощью геометриче ских преобразований графика функции y = sin x.

136

§ 11. Дополнительные формулы тригонометрии

Р е ш е н и е

X y = 2(sinx + cosx) = 2 sin(x + π4 ).

График заданной функции получаем из графика функции y = sin x растя жением в 2 раза вдоль оси Оy и параллельным переносом полученного графи

ка вдоль оси Оx на (− π4 ).

Вопросы для контроля

1.Запишите формулу преобразования выражения a sin α + b cos α в выраже ние вида c sin (x + ϕ). Проиллюстрируйте на примере применение этой фор мулы.

2.Обоснуйте формулу преобразования выражения a sin α + b cos α в выраже ние вида c sin (x + ϕ).

	Упражнения
1.	Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:
	1) sin α + cos α;	2)	sinα − 3 cosα;
	3) 3 sinα + cosα;	4)	2 sinα +		6 cosα.
2.	Постройте график функции:
	1) y = 3 sin x + cos x;	2)	y = sin 2x − cos 2x;
	3) y = sin x + 3 cos x;	4)	y = 3 sin	x	+ cos	x	.
	3) y = sin x + 3 cos x;	4)	y = 3 sin		+ cos		.
			2		2

3.Найдите область значений функции:

1) y = 3 sin x + 4 cos x; 2) y = 5 sin 3x – 12 cos 3x;

3) y = sin 7x – cos 7x;	4)	y = 8sin	x	+ 15cos	x	.

		3		3

4.Существуют ли такие значения x, при которых выполняется равенство: 1) 3 sin x – 4 cos x = 6; 2) 5 sin 2x + 12 cos 2x = 15;

3) 3 sin4x − cos4x = 5;	4) sin	x	+ cos	x	= 1,5?

137

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К РАЗДЕЛУ 1

Упростите выражение (1–2).

1) tg2 α – sin2 α – tg2 α sin2 α;

sin2 β(1 + ctgβ) + cos2 β(1 + tgβ);

3) (3 sin α + 2 cos α)2 + (2 sin α – 3 cos α)2;

cos β tg

− ctg βcos β.

sin2 β

1) 2 tg α − tg(α − π) + ctg(

3π

− α );

sin(−α )

−

tg(2π − α )

cos α

;

sin(π − α )

(

+ α )

ctgα

sin

tg(π − β )cos(π − β )tg(

− β )

sin(

− β )ctg(

+ α )tg(3π + α )

Докажите тождество (3–4).

3. 1)

tg(α + β ) − tg α − tg β

= tg β;

tg α tg(α + β )

cos(α + β ) + cos(α − β )

= ctg α;

sin(α + β ) + sin(α − β )

	tg(3π + α )sin 3π sin 16π cos 13π
4)	2	2	9	18	.
4)					.
	ctg(π − α )cos 5π sin 11π cos2π
		18	9
2)	1 − cos2α + sin2α		= tg α;
2)	1 + cos2α + sin2α		= tg α;
	1 + cos2α + sin2α
4)	sinα − sin3α	= − ctg 2α.
4)	cos α − cos 3α	= − ctg 2α.
	cos α − cos 3α

4.	1)			1		−	1				1		+				1		cosα = cos α							при π < α < 2π;
4.	1)	2				−	2			2			+				2		cosα = cos α							при π < α < 2π;
		2					2			2							2						4
	2)		1−					1		−				1		cos 2α =								2 cos(				π	− α )		при π < α <					3π	;
								1						1														π
								2						2
								2						2												4				2			2
	3)	1				+	1			1				+			1		cos 2α = − cos							α				при		3π	< α < 2π;
																																2
					2		2			2								2								2						2
								1						1											π					α				3π
	4)	1+								−						cosα =							2 cos(				−			4 )	при				< α < 2π.
																																		2
								2							2										4									2
5.	Докажите равенство:
	1)	cos π cos										4π				cos				5π	=	1		;		2) tg 20° – 4 sin 20° sin 50° = –2 sin 20°;
	1)	cos π cos														cos					=	8		;		2) tg 20° – 4 sin 20° sin 50° = –2 sin 20°;
		7								7							7					8
	3)	1							− 4 sin 70° = 2;																	4) cos 20° + 2 sin 55° − 2 sin 65° = 1.
	3)		sin 10°						− 4 sin 70° = 2;																	4) cos 20° + 2 sin 55° − 2 sin 65° = 1.
																															138

Сведения из истории

6. Докажите, что верно неравенство:						sin(		+ α )
							π				α
1) tg x + ctg x l 2, если 0 < x <	π	;	2)				3			+ 2 sin		m2 3;
	π						3
				sin(	π	+ α )sin(5π − α )					2
	2				π						2
	2
				13		4	12		4

3)(1 + sin ϕ + cos ϕ)(1 – sin ϕ + cos ϕ)(1 + sin ϕ – cos ϕ)(sin ϕ + cos ϕ – 1) m 1;

4)2 sin 4α sin 2α + cos 6α l –1.

7.Вычислите:

1) cos4 α + sin4 α, если sin2α =			2		2)	1 − sin2		α
1) cos4 α + sin4 α, если sin2α =			2	;	2)	1 − sin2		2		,
		3				1 + sinα
3) cos α, если sin α tg α =	1	;
3) cos α, если sin α tg α =		;
2
4) sin α, cos 2α, cos α , если tg α = −					2, π < α <		3π		.
4) sin α, cos 2α, cos α , если tg α = −					2, π < α <				.
2		2			2

если tg α = m;

СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ

Слово «тригонометрия» впервые встречается (1505 г.) в названии книги немецкого теолога и математика П и т и с к у с а. Происхождение этого слова греческое: «тригонон» — треугольник, «метрио» — мера. Иными словами, тригонометрия — наука об измерении треугольников. Множество понятий и фактов, которые теперь относят к тригонометрии, были известны еще две тысячи лет назад. Фактически, разные отношения отрезков треугольника и окружности (собственно говоря, и тригонометрические функции) встречают ся уже в III в. до н. э. в работах великих математиков Древней Греции — Е в к л и д а и А р х и м е д а.

Длительное время тригонометрия развивалась как часть геометрии, то есть факты, которые мы теперь формулируем в терминах тригонометрических фун кций, формулировали и доказывали с помощью геометрических понятий и утверждений. Вероятно, наибольшие стимулы для развития тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач по определению место нахождения судна, предсказания солнечных и лунных затмений и т. п.). Со временный вид тригонометрии придал великий математик XVIII в. Л. Э й л е р (1707—1783), швейцарец по происхождению, который долгое вре мя работал в России и был членом Петербургской академии наук. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, начал рассматривать функции произвольного угла, вывел формулы приведе ния. После Эйлера тригонометрия приняла формы исчисления: разные фак ты начали доказывать формальным применением тригонометрических фор мул, доказательства стали намного компактнее.

139

Раздел 2

Тригонометрические уравнения и неравенства

§12 ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ

Т а б л и ц а 25

1. Понятие обратной функции

Если функция y = f (x) принимает каждое свое значение в единствен ной точке ее области определения, то можно задать функцию y = g (x), которая называется обратной к функции y = f (x):

для каждого a D (f) , если f (a) = b, то g (b) = a

E (f) =D (g); D (f) = E (g)

Функции f (x) и g (x) взаимно обратные.

2. Свойства обратной функции

1) Графики прямой и обратной

функций симметричны относи тельно прямой y = x.

2) Если функция f (x) возрастает

(убывает) на некотором проме жутке, то она имеет обратную функцию на этом промежутке, которая возрастает, если f (x) возрастает, и убывает, если f (x) убывает.

140

§ 12. Обратная функция

		П р о д о л ж. т а б л. 25

	3. Практический прием нахождения формулы функции,
	обратной к функции y = f (x)

	Алгоритм	Пример

1.	Выяснить, будет ли функция	Найдите функцию, обратную к
	y = f (x) обратимой на всей обла	функции y = 2x + 4.
	сти определения: для этого дос	X Из равенства y = 2x + 4 можно
	таточно выяснить, имеет ли урав	однозначно выразить x через y:
	нение y = f (x) единственный ко	однозначно выразить x через y:
	нение y = f (x) единственный ко
	рень относительно переменной x.	x =	1	y − 2.
	рень относительно переменной x.	x =		y − 2.
	Если нет, то попытаться выде	2
	лить промежуток, где существу	Эта формула задает обратную
	ет обратная функция (например,	функцию, но в ней аргумент обозна
	это может быть промежуток, где	чен через у, а функция — через x.
	функция y = f (x) возрастает или	Обозначим в полученной форму
	убывает).	ле аргумент через x, а функцию —
2.	Из равенства y = f (x) выразить x	через y.
	через y.	Получаем функцию y =			1	x − 2,
3.	В полученной формуле ввести				1
3.	В полученной формуле ввести
	традиционные обозначения: ар	2
	традиционные обозначения: ар	обратную к функции y = 2x + 4. Y
	гумент обозначить через x,	обратную к функции y = 2x + 4. Y
	гумент обозначить через x,
	а функцию — через y.

Объяснение и обоснование

1. Понятие обратной функции. Известно, что зависимость пути от времени движения тела, которое движется равномерно с постоянной скоростью v0, выражается формулой S = v0t. Из этой формулы можно найти обратную зави

симость — времени от пройденного пути t = S . Функцию t(S) = S называют

v0 v0

обратной к функции S (t) = v0t. Отметим, что в рассмотренном примере каж дому значению t (t l 0) соответствует единственное значение S и, наоборот, каждому значению S (S l 0) соответствует единственное значение t.

Рассмотрим процедуру получения обратной функции в общем виде. Пусть функция f (x) принимает каждое свое значение в единственной точке

ее области определения (такая функция называется обратимой). Тогда для каждого числа у0 = b (из области значений функции f (x)) существует един ственное значение х0 = a, такое, что f (a) = b. Рассмотрим новую функцию g (x), которая каждому числу b из области значений функции f (x) ставит в соответ ствие число a, то есть g (b) = a для каждого числа b из области значений функ ции f (x). В этом случае функция g (x) называется обратной к функции f (x),

141

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 4514 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.2019358.53 Кб699354.rtf
#
08.08.20192.1 Mб2agrarne.doc
#
11.11.2019364.54 Кб2ajm_project_description_form_2012_en.doc
#
08.05.20191.03 Mб133ALEXANDER KAMENSK1.doc
#
02.12.20181.91 Mб8ALFRED.doc
#
20.03.20155.2 Mб113Algebra_10kl_RU.pdf
#
20.07.201940.96 Кб1AMERICAN%20VALUES.doc
#
20.03.2015574.46 Кб218anatomia.doc
#
20.03.201531.23 Кб30Antonyme.doc
#
30.04.201583.34 Кб25Arduino Uno Rev.3.pdf
#
20.03.2015693.36 Кб19Art of speaking.docx