Зрозуміло, що зміну електричного потенціалу у приповерхневій області кристалу спричинятиме наявність поверхневих станів, але вона не є
єдиною причиною зміни потенціалу. Саме існування межі розподілу є дуже вагомою причиною виникнення додаткового поверхневого заряду, що приводить до принципово відмінних ефектів від ситуації в об'ємі. За локалізації заряду у поверхневих електронних станах (незалежно від їхньої природи) поверхня кристала заряджається. Вільні носії в об'ємі перерозподіляються так, що нейтралізують поверхневий заряд. Зрозуміло, що з цим буде пов'язане виникнення поверхневого потенціалу, який є джерелом електричного поля.
E
EС
EF
N(E) EV
E
E
EС
EС
EF
EF
EV
EV
N(E)
N(E)
а
б
в
Рис. 13.3. Зонна енергетична схема поверхні:
а – неперервний розподіл електронних станів; б – дискретні електронні стани; в – дискретні поверхневі електронні стани
на фоні неперервного розподілу поверхневих станів
13.2. Вплив поверхневого потенціалу на енергетичні зони напівпровідника поблизу поверхні
Поверхня є межею розподілу між напівпровідником і зовнішнім середовищем. Контакт є такою самоюмежею розподілу між двома речовинами. Таким чином, поверхневі та контактні явища мають багато спільних рис, які перш за всезумовлені наявністю додаткового потенціалу. Отже, можна стверджувати, що основою поверхневих і контактних явищ є процеси, що протікають у напівпровіднику під дією електричного поля, який виникає на межі розподілу. Для уявлення про результати дії таких процесів розглянемо поведінку напівпровідника n-типу, що внесений до зовнішнього однорідного електричного поля. Під дією поля у напівпровіднику відбу-
9
Розділ 13. ЯВИЩА НА ПОВЕРХНІ НАПІВПРОВІДНИКІВ
деться перерозподіл носіїв заряду так, що у його приповерхневій області з'являться об'ємний заряд зі щільністю ρ(r) та екрануюче електричне поле
E(r). Це поле заекранує зовнішнє електричне поле, завдяки чому воно
зможе проникнути тільки у приповерхневий шар напівпровідника. Ві- д'ємний об'ємний заряд створить електричне поле, напруженість якого буде максимальною на поверхні напівпровідника. Поле спричинить зміну
потенціальної енергії електрона на величину U (r) = −eϕ(r). Таким чином,
зовнішнє електричне поле викличе таке викривлення зон напівпровідника, що
EC (r) = EC −U (r),
(13.19)
EV (r) = EV −U (r) .
(13.20)
Разом із цим зміняться положення всіх рівнів енергії, у тому числі й рівнів домішок, що розташовані у забороненій зоні. З іншого боку, оскільки напівпровідник перебуває у стані термодинамічної рівноваги, то положення рівня Фермі буде сталим, тобто відстань між рівнем Фермі та краями валентної і зони провідності залежатиме від відстані до межі розподілу. Тепер відстань між зоною провідності та рівнем Фермі визначатиметься співвідношенням
∆EC = [EC −U (r)]− EF .
(13.21)
Відстань між валентною зоною та рівнем Фермі
∆EV = EF − [EV −U (r)].
(13.22)
Розглянемо вплив зовнішнього поля на однорідний невироджений напівпровідник n-типу, що характеризується діелектричною константою εr. Напруженість електричного поля пов'язана з об'ємним зарядом рівнянням Пуассона
dE = 4π ρ(x) , dx εr
або
d2ϕ
= −
4π
ρ(x) .
dx
2
εr
Концентрація в об'ємі напівпровідника становить n0 ровідник невироджений, то
(13.23)
(13.24)
й, оскільки напівп-
n0 = NCe
−EC −EF
kT , x → ∞ .
(13.25)
У приповерхневій області для концентрації носіїв маємо
−
EC +U −EF
−
U
.
n = NCe
= n0e
kT
kT
(13.26)
ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ
10
Поблизу поверхні об'ємний заряд визначається позитивними іонами донорної домішки та вільними електронами. Якщо донорна домішка повністю іонізована, то в об'ємі
n0 = ND+ = ND .
(13.27)
Тоді у приповерхневій області поверхневий заряд
ρ = e(ND − n) .
(13.28)
Із цих рівнянь маємо
ρ = e(n0 − n) = en0 (1 − e−U /kT ) .
(13.29)
Якщо вважати, що зони викривлені не значно, тобто |U |<< kT , то можна розкласти експоненту у ряд. Із точністю до першої поправки за U /kT запишемо
en U
e2n
0
ρ =
0
= −
ϕ.
(13.30)
kT
kT
Підставимо цей вираз до правої частини рівняння (13.24)
d2ϕ
=
4πe2n
0 ϕ .
(13.31)
dx2
εrkT
Позначивши
4πe2n0
−2
, маємо із (13.31)
= L
εrkT
S
d2ϕ
−
1
ϕ = 0 .
(13.32)
dx
2
2
L
S
Розв'язок цього рівняння шукаємо у вигляді1
ϕ = A e−x /LS + A ex /LS .
(13.33)
1
2
Оскільки при x → ∞ поле відсутнє, коефіцієнт А2 = 0. З іншого боку, при x = 0 ϕ = −ϕs . Тоді
ϕ(x) = −ϕ e−x /LS .
(13.34)
s
Звідси маємо вирази для електричного поля
E(x) = −
dϕ
= −
ϕ
−x /L
= −Ese
−x /L
(13.35)
dx
s e
S
S
LS
та потенціальної енергії електронів
U (x) = −eϕ(x) = eϕ e−x /LS
= U
s
e−x /LS .
(13.36)
s
1 Згадаємо, що Ls є ні чим іншим, як довжиною екранування Дебая (див. п. 11.4)
11 Розділ 13. ЯВИЩА НА ПОВЕРХНІ НАПІВПРОВІДНИКІВ
Щільність зарядів на поверхні зразка
ρ
= en0 U
s
.
(13.37)
s
kT
Таким чином, за дії електричного поля на напівпровідник в його приповерхневій області відбувається викривлення зон і зміна концентрації носіїв. При Us > 0 зони викривляються вгору й збільшується концентрація
дірок (рис.13.4 а,б). У цьому випадку у напівпровідника n-типу приповерхневий шар збагачується неосновними носіями, а у напівпровідника p-типу
– основними носіями. При Us < 0 зони викривляються вниз і збільшується
EС
EС
EС
EС
EF
EF
EF
EF
EV
EV
EV
EV
а
б
в
г
Рис. 13.4. Вигин зон залежно від знаку поверхневого потенціалу для напівпровідників: а, в – n-типу; б, г – p-типу.
концентрація електронів (рис.13.4 в,г). Іншими словами, у напівпровідника n-типу приповерхневий шар збагачується основними носіями, а у напівпровідника p-типу – неосновними. Дебаєвська довжина екранування LS
для метала (n0 = 1022 cм–3, εr = 1) становить величину 10–8cм. У напівпровідниках ця величина є набагато більшою, наприклад для германію
(n0 = 1014 cм–3, εr = 16) LS = 4 10–4cм.
13.3. Приповерхнева область просторового заряду
Упопередньому розділі ми дійшли висновку, що біля поверхні напівпровідника існує досить товстий шар, де концентрація рівноважних носіїв визначається не об'ємним легуванням, а величиною та знаком поверхневого заряду. Наявність останнього спричиняє виникнення вигину енергетичних зон, що наочно подано за допомогою енергетичної схеми напівпровідника, на якій за віссю ординат відкладено енергію, а за віссю аб-
ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ
12
сцис – відстань від поверхні кристала, якій відповідає значення x = 0. Вигин енергетичних зон біля поверхні ілюструє зміну потенціальної енергії електронів на поверхні за рахунок заряду, що локалізований на поверхневих рівнях. Нахил краю зони у приповерхневій області характеризує поле в області просторового заряду (ОПЗ).
Розглянемо модель приповерхневої області напівпровідника, наприклад n-типу. Нехай ψ – електростатичний потенціал, що відповідає середині забороненої зони. Оскільки він є функцією координати x, вважатимемо, що
ψ(x = 0) = ψs , ψ(x → ∞) = ψb .
(13.38)
Таким чином, в області, далекій від поверхні, значення потенціалу збігається із таким самим в об'ємному зразку ψb , а на поверхні потенціал на-
буває визначеного значення ψs. Аналогічно всі значення параметрів на
поверхні зразку позначатимемо індексом s (від surface – поверхня), а значення параметрів, що визначаються в області, далекій від поверхні, – індексом b (від bulk – об'єм). За нульове значення потенціалу візьмемо дно зони провідності, енергію ж відкладатимемо вгору від дна зони. Для в и- значеності розглядатимемо невироджений напівпровідник, де вигин зон не дуже великий, що означає: на поверхні напівпровідник залишається невиродженим. Для з'ясування залежності електростатичного потенціалу від координати розглянемо одновимірне рівняння Пуасона
d2ψ
= −
4π
ρ(x) ,
(13.39)
dx2
ε
де ε – діелектрична константа напівпровідника, ρ(x) – густина об'ємного
заряду на відстані x від поверхні. Це рівняння необхідно доповнити граничними умовами (13.38) (вважатимемо зразок напівпнескінченним уздовж вісі OX) та
dψ
= 0 .
(13.40)
dx
x→∞
Вважаючи всі домішки іонізованими, для густини об'ємного заряду запишемо
ρ(x) = e [p(x) − n(x) + ND − NA ].
(13.41)
Тут n(x) і p(x) – концентрації електронів і дірок у точці x; ND
і NA –
концентрації донорів та акцепторів, відповідно. Вважатимемо, що напівпровідник перебуває у нерівноважних умовах, коли вільні носії у приповерхневій області задаються не тільки термічним, але й іншими способами генерації. В об'ємі кристалу виконується умова електронейтральності, тобто
13
Розділ 13. ЯВИЩА НА ПОВЕРХНІ НАПІВПРОВІДНИКІВ
pb − nb + ND − NA = 0,
(13.42)
де pb і nb
– рівноважні концентрації дірок та електронів в об'ємі,
відпо-
відно. Підставляючи із цього рівняння різницю ND − NA до (13.41),
діста-
немо
ρ(x) = e [p(x) − pb − n(x) + nb ].
(13.43)
Вважаючи рівень хімічного потенціалу (рівень Фермі) власного напівпровідника таким, що розташований усередині забороненої зони2, запишемо для концентрації рівноважних носіїв заряду в об'ємі кристалу
nb
= nieβ(ψb −Φb ),
(13.44)
p
= n
e−β(ψb −Φb ),
(13.45)
b
i
де ni = NCe−βψb – концентрація носіїв заряду в об'ємі власного напівпровідника; β = e /kT. Величина eΦb = EF є не чим іншим, як рівнем Фермі в
об'ємі власного напівпровідника. Аналогічно для нерівноважної концентрації носіїв
n(x) = nieβ(ψb −Φn ) , p(x) = nie−β(ψb −Φp ) ,
(13.46)
де eΦn та eΦp – квазірівні Фермі електронів і дірок, відповідно.
Підставимо густину зарядів (13.43) із врахуванням (13.44)–(13.46)до (13.40) і дістанемо рівняння Пуассона
d2ψ(x)
4πen
β(Φp −ψ(x ))
β(Φp −ψ
)
β(ψ(x )−Φ
)
β(ψ −Φ
)
}. (13.47)
dx2
= −
εr i {e
− e
b
− e
n
+ e
b
n
У цьому рівнянні, крім змінної ψ(x),
квазірівні Фермі eΦn
і eΦp також за-
лежать від координати. Квазірівні Фермі змінюються зі зміною x від значень eΦns = eΦn (x = 0) та eΦsp = eΦp (x = 0) на поверхні до eΦb в об'ємі.
Причому, оскільки збурення напівпровідника від рівноважного стану відбувається на поверхні, то набуття квазірівнями Фермі рівноважного значення – на відстанях порядку дифузійної довжини нерівноважних носіїв. За незначних відхилень від термодинамічної рівноваги та невеликих значень товщини ОПЗ можна вважати ці величини сталими. Такі припущення справджуються для германію та кремнію, де дифузійні довжини
2 Як обговорювалось у розд. 8, розташування рівня Фермі у власному напівпровіднику визначається відношенням ефективних мас електронів і дірок. Рівень Фермі зміщений від середини забороненої
зони на величину 3/4kT ln(m*p /me* ) що, наприклад для кремнію, за кімнатної температури становить 0.02 еВ, у той час як шириною забороненої зони є 1,1 еВ.
ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ
14
на кілька порядків більші за довжину екранування. Зважаючи на ці обставини, можна обчислити перший інтеграл рівняння (13.47): домножимо
обидві його частини на 2(dψd)x і проінтегруємо його від x до ∞ або від ψ до ψb . При цьому необхідно врахувати граничні умови
dψ
= 0.
dx
x→∞
У результаті дістанемо рівняння, що визначає потенціал поля у довільній точці ОПЗ
d(ψ − ψ
) 2
8πen
1
e
β(Φ
−ψ)
β(Φ
−ψ )
+ (ψ − ψb )e
β(Φ
−ψ )
b
=
i
p
− e
p
b
p
b
+
dx
ε
kT
+
1
e
β(Φ
p
−ψ )
− e
β(Φ
p
−ψ )
+ (ψ − ψb )e
β(Φ
p
−ψ )
b
b
b .
kT
Для аналізу цього рівняння введемо стандартні позначення
Y = β(ψ − ψb ),
λ =
pb
=
pb
= eβ(Φp −ψ) ,
ni
nb
P = e
ΦP − Φb
,
kT
N = e
Φn − Φb
.
kT
(13.48)
(13.49)
(13.50)
(13.51)
(13.52)
Параметр λ характеризує об'ємне легування так, що для напівпровідників n-типу λ <1. Для напівпровідника p-типу λ >1. У власному напівпровіднику λ =1. Взявши до уваги, що
ε kT
1/2
r
= l
D
2
8πe ni
– довжина екранування (lD = Ls 2, де Ls – довжина екранування Дебая), рівняння (13.48) у позначеннях (13.49)–(13.52)набуває вигляду:
dY
= lD−1F(Y ,λ,P,N ),
(13.53)
dx
де
F(Y ,λ,P,N ) = ±{λ eP (e−Y −1)+ λ−1e−N (eY −1)+ (λ − λ−1) Y }1/2 .
(13.54)
15
Розділ 13. ЯВИЩА НА ПОВЕРХНІ НАПІВПРОВІДНИКІВ
Перший і другий доданки у фігурних дужках визначаються внеском до об'ємного заряду вільних дірок та електронів. Останній доданок визначається об'ємним зарядом нескомпенсованих домішок.
Оскільки ψ − ψb визначає зміну потенціалу щодо його значення в об'ємі,
то додатні значення Y відповідають вигину зон униз, а від'ємні – вигину зон уверх. Таким чином, при Y > 0 у приповерхневій області об'ємний заряд негативний, а при Y < 0 – позитивний, тому у першому випадку необхідно у (13.54) брати знак мінус, а у випадку Y < 0 – плюс.
Залежність електростатичного потенціалу ψ від координати в ОПЗ визначається другим інтегралом рівняння Пуассона
x = lD Y∫dY [F(Y ,λ,P,N )]−1 ,
(13.55)
YS
що являє собою форму потенціального бар'єра для вільних носіїв, який створюється у приповерхневій області внаслідок локалізації зарядів на поверхневих станах. Обчислення інтегралу в (13.55) є складною задачею і, взагалі кажучи, вимагає проведення чисельного інтегрування. Але в окремих випадках, що можуть бути легко реалізовані в експерименті, рівняння (13.55) можна розв'язати аналітично. Розглянемо окремі випадки.
Область збагачення. У цьому випадку у приповерхневому шарі концентрація основних носіїв більша за їхню концентрацію в об'ємі зразка. У матеріалі n-типу такий випадок реалізується за вигину зон униз, тобто при Ys > 0, а в матеріалі p-типу – за вигину зон угору (Ys < 0 ). Визначальний
внесок до формування об'ємного заряду біля поверхні у випадку збагачення дають основні носії заряду. Це означає, що функцію F(Y ,λ) в ос-
новному визначає перший доданок для кристалу p-типу, або другий доданок – у кристалі n-типу. Розглянемо для визначеності напівпровідник
n-типу. Зважаючи на те, що у цьому випадку F(Y ,λ)< 0, маємо
F(Y ,λ,P,N ) ≈ −λ−1/2eY /2 .
(13.56)
Підставимо цей вираз під інтеграл рівняння (13.55). Дістанемо
де leff = 2λ−1/2lD – довжина екранування, що визначає товщину ОПЗ.
Дійсно, знайдемо із (13.57) залежність електростатичного потенціалу від координати x
ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ
16
Y = 2 ln(eYs /2 − x /leff ).
(13.58)
Із формули, зокрема видно, що при x → 0
Y →Y .
При x = l
eff
(eYs /2
−1)
s
Y = 0, тобто на відстанях x ≈ leff вигин зон зникає. Таким чином, елект-
ростатичний потенціал швидко спадає зі збільшенням координати x, а товщина ОПЗ визначається довжиною екранування leff . За високого рі-
вня легування ця довжина може бути істотно меншою за довж ину Дебая Ls , тобто при збагаченні об'ємний заряд в основному зосереджується у
EC
EF
ψS ψ EV
x
0
Рис. 13.5. Область збагачення поблизуповерхні
напівпровідника n-типу
приповерхневому шарі. Для визначення товщини ОПЗ можна використати (13.57), звідки знайти ве-
личину x, що відповідає значенню Y = 0 (відсутність викривлення зон). У результаті дістаємо
L
= l
eff
eYs /2.
(13.59)
ОПЗ
Таким чином, ми отримали, що довжина ОПЗ визначається ефективною довжиною екранування leff
і значно залежить від вигину зон на поверхніYs. Хід
потенціалу ψ у напівпровіднику n-типу у випадку збагачення подано на рис. 13.5.
Область збіднення. Якщо у приповерхневому шарі концентрація основних і неосновних носіїв заряду є значно меншою від концентрації іонізованих домішок, то це означає, що у приповерхневій області виникає область збіднення. Тут концентрація основних носіїв заряду може бути значно меншою за її значення в об'ємі. Така область може існувати у напівпровіднику n-типу, якщо викривлення зон відбувається вгору, тобто
Ys < 0. У напівпровіднику p-типу область збіднення може реалізуватись, якщо зони вигнуті згори (Ys > 0 ).
При збідненні основний внесок до (13.54) надає останній доданок, тобто в цьому випадку для напівпровідника n-типу
F(Y ,λ,P,N ) = {(λ − λ−1) Y }1/2 .
(13.60)
Підставляючи цю функцію під інтеграл до (13.55), дістанемо
x = lD Y∫{(λ−1 − λ)(−Y )}−1/2dY = −leff
Y
t−1/2dt =leff (
1/2 − (Y )1/2 ),
∫
Ys
(13.61)
Ys
Ys
де
17
Розділ 13. ЯВИЩА НА ПОВЕРХНІ НАПІВПРОВІДНИКІВ
leff = 2lD (λ−1 − λ)−1/2 .
(13.62)
Звідси легко визначити, що потенціал змінюється із координатою за параболічним законом (Y – модуль потенціалу)
x
2
1/2
Y =
Ys
−
.
(13.63)
l
eff
Як видно із формули, при x = 0 Y =
Ys
, а при x = leff
Ys
Y = 0. Оскільки
ефективна довжина екранування
ε kT 1/2
1
leff =
r
,
(13.64)
2πe
2
1/2
(n0 − p0 )
то для високоомних напівпровідників, де концентрація носіїв невелика, область збіднення затягується далеко до об'єму кристала. Довжина області
ОПЗ у цьому випадку визначається із (13.60) умовою Y (x = LÎ Ï Ç ) = 0, звідки
1/2
ε kT
1/2
|Y |
1/2
LОПЗ = leff
Ys
=
r
s
.
(13.65)
2πe2
n0 − p0
EC
EF
EV ψ
A B
Рис. 13.6. Області збіднення (В) та інверсії (А)
у напівпровіднику n-типу
За значного збіднення у приповерхневій області край зони неосновних носіїв розміщується ближче до рівня Фермі, ніж зона основних носіїв заряду (рис. 13.6). У таких умовах у прип о- верхневій області формується шар, в якому тип провідності відрізняється від об'ємного, – інверсійний шар. Умовою реалізації цього явища є
Ys > 0 у напівпровіднику p-типу та Ys < 0 – у
напівпровіднику n-типу. Із визначення інверсного шару випливає, що критерієм його утворення є перетин рівнем Фермі середини забороненої зони. Це, зокрема означає, що для і с- нування області інверсії має виконуватись не-
рівність YS > β(Φb − ψb ) або Ys > ln λ .
В області інверсії головний внесок до об'ємного заряду дають неосновні носії заряду. Тоді для напівпровідника n-типу у виразі (13.54) перший доданок буде набагато більшим за решту, тобто
