OFP-Tretyak-Lozovski

зуміло, що наявність зовнішнього поля призведе до порушення такої симетрії. При визначенні поведінки концентрації надлишкових неосновних носіїв заряду ми припускали, що локальне поле, яке діє на носії, не відрізняється від зовнішнього. У реальних ситуаціях локальне поле відрізняється від зовнішнього. Особливо ця різниця виявляється у випадку, коли лінійні розміри частинки в напрямку зміни поля порівнянні із характерними масштабами зміни локального поля. Оскільки зміни локального поля у просторі зумовлені дрейфом надлишкових носіїв заряду і відбуваються на масштабах порядку LD, то для нехт у- вання дією поля, обумовленого наявністю неоднорідного розподілу носіїв, лінійний розмір зразка вздовж напрямку зовнішнього поля має бути набагато більшим за LD. Ясно, що використане припущення також виконуватиметься у випадку сильного зовнішнього поля. Припустимо: зовнішнє поле настільки велике, що LE > 2LD. Тоді, якщо вектор Е направлений вздовж вісі OX,

Це означає, що наявність зовнішнього поля приводить до різної величини довжини затягування носіїв до неосвітлених областей – довжина затягування в напрямку вздовж поля L2 (до неосвітленої області x > 0) є більшою за довжину затягування у протилежному напрямку L1 (до

неосвітленої області x < –l ). Ясно, що зміна напрямку вектора зовн і- шнього поля надасть протилежний результат – величина L1 буде більшою за L2. Визначимо довжини затягування L1 та L2 у випадку

сильного зовнішнього поля, яке направлено вздовж вісі OX. В області x > 0 за умови LE >> LD маємо (β = 2LD/LE << 1)

– довжину затягування, що дорівнює дрейфовій довжині. Тоді розподіл надлишкової концентрації неосновних носіїв

Тобто так само, як й у випадку винятково дифузійного руху носіїв надлишкова концентрація неосновних носіїв спадає з відстанню від освітленої області експоненційно, але вже зі сталою спадання LE. По-

рівнювання (11.79) та (11.74) свідчить, що в неосвітленій області x > 0 при L2E >> 4L2D (в умовах дії на напівпровідник сильного зовнішнього елек-

тричного поля) надлишкова концентрація неосновних носіїв є істотно більшою, ніж за відсутності зовнішнього поля. Таким чином, при про-

ходженні струму, обумовленого сильним електричним полем, надлишкові дірки в напівпровіднику n-типу затягуються до області x > 0, і напівпровідник локально збагачується неосновними носіями заряду в істотно більшій кількості, ніж за наявності тільки дифузії, коли Eext = 0

(pис. 11.8 а). У такому випадку кажуть, що відбувається інжекція неосновних носіїв заряду, підкреслюючи при цьому збільшення концентрації неосновних носіїв під дією електричного поля. Зрозуміло, що для

напівпровідникового зразка p-типу інжекція в область x > 0 відбува-

тиметься при Eext < 0.

В області x < –l в умовах дії на зразок сильного електричного поля, що направлене вздовж вісі OX (Eext > 0), довжина затягування

тобто дія зовнішнього електричного поля викликає збіднення неос-

новними носіями напівпровідника в області x < –l. Це явище нази-

вається ексклюзією неосновних носіїв заряду. Для напівпровідника p-типу таке явище в області x< –l спостерігатиметься за умови, що поле направлене проти напрямку вісі OX, тобто при Eext < 0.

Зміна напрямку дії зовнішнього поля приведе до того, що в неосв і- тленій області зразка x > 0 спостерігатиметься зменшення концентрації

надлишкових носіїв (явище екстракції), а в області x < –l – навпаки, збільшення концентрації надлишкових носіїв заряду, тобто акумуля-

ція (pис. 11.8 б).

Eext Eext

а б

Рис. 11.8. Розподіл концентрації надлишкових носіїв заряду у напівпровіднику

n-типу під дією зовнішнього електричного поля: а – явище інжекції; б – явище екстракції та акумуляції

11.7. Дрейф неосновних надлишкових носіїв заряду

Раніше ми розглядали схему експерименту Хайнса–Шоклі, в якому вивчались особливості дифузійно-дрейфового руху неосновних носіїв за їхньої інжекції через випрямляючий контакт. Тепер розглянемо особливості дифузійно-дрейфового руху неосновних носіїв за їхньої інжекції за допомогою освітлювання зразка, наприклад рух хмари неосновних надлишкових носіїв заряду (для напівпровідника n-типу це – дірки) під дією зовнішнього електричного поля. Для цього припустимо, що видовжений зразок напівпровідника освітлюється так, що

коли в момент часу t = 0 освітлення вимикається, у вузькій області із центром у точці x = 0 хмара неосновних носіїв має гауссову форму розподілу

із напівшириною x0. У момент вимкнення освітлення до зразка було прикладене електричне поле Eext. Тоді завдяки двом типам руху (ди-

фузії і дрейфу) первісна діркова хмара розпливатиметься, одночасно зсуваючись уздовж зразка в напрямку дії електричного поля (рис. 11.9). Рівняння руху розподілу дірок у хмарі має такий вигляд (вимкнене освітлення означає відсутність процесів генерації, G = 0)

Eext

Рис. 11.9. Дифузія і дрейф хмари дірок. Розподіл концентрації надлишкових дірок:

а– у момент часуt = 0 (вимкнено освітлення та ввімкнено електричне поле);

б– у момент часуt ≠ 0

Введемо позначення

Таким чином, профіль концентрації хмари неосновних носіїв в умовах дії зовнішнього поля змінюватиметься за законом

тобто хмара рухається у напрямку електричного поля зі швидкістю µpEext, поширюючись при цьому пропорційно кореню квадратному із

часу, а її щільність зменшується як exp(–t/τp). За допомогою вимірювання зміни параметрів профілю хмари можна отримати величину рухливості µp, яка називається амбіполярною дрейфовою рухливістю.

Для електронного (n >> p) або діркового (n << p) напівпровідника ця рухливість збігається із рухливістю дірок або електронів, відповідно, тобто із рухливістю неосновних носіїв заряду. Але для власного або добре компенсованого напівпровідника (коли n ≈ p) виникає інша ситуація, яку розглянемо далі.

11.8. Дифузія та дрейф носіїв заряду

внапівпровідниках із провідністю, близькою до власної

Обговорюючи особливості процесу руху носіїв заряду в неоднорідних напівпровідниках, ми свідомо обмежувались розглядом домішкових напівпровідників, де для концентрації носіїв заряду виконувались умови n >> p або p >> n. При цьому надлишкові концентрації як основних, так і неосновних носіїв вважалися однаковими, тобто всюди використовувалася умова δn = δp. Крім того, у рівняннях нехтувалось доданком, пропорційним ∂Е/∂х. Для з'ясування фізичного сенсу цих умов вважатимемо, що генерація носіїв заряду відбувається так, що δn – δp ≠ 0. Тоді різниця концентрації нерівноважних надлишкових носіїв пропорційна локальній густині заряду, що утворився завдяки процесам дифузії, а рівняння Пуассона запишеться як

Тепер запишемо одновимірні рівняння неперервності, зберігаючи доданки, пропорційні похідній електричного поля за координатою,

оскільки коефіцієнти перед такими дужками є великими, то доданками, пропорційними (δn – δp), не можна нехтувати. Цей факт і означає, що нехтування роллю об'ємного заряду (тобто використання рівності δn = δp) стає неможливим. Зокрема, це може відбуватися у випадку, коли концентрація електронів і дірок в напівпровіднику складають величини одного порядку. Тоді як змінюється надлишкова концентрація нерівноважних носіїв у часі та просторі (розв'язок рівнянь (11.98) та (11.99)) в умовах, коли концентрації носіїв приблизно однакові? Бажано виключити з них доданки, пропорційні (δn – δp), за допомогою множення першого з рівнянь на σn, а другого – на σp і додавання одного отриманого рівняння до другого. Унаслідок матимемо

За подальшого аналізу рівняння вже можна використати той факт, що надлишкові концентрації нерівноважних електронів і дірок майже дорівнюють одна одній, тобто δn = δp. Крім того, вважатимемо, що й похідні ∂δp/∂t і ∂δn/∂t дорівнюють одна одній. Останнє твердження тягне за собою дуже важливий наслідок: рів ність часів рекомбінації електронів і дірок. Дійсно, розглянемо процеси генерації і рекомбінації носіїв за відсутності пасток і невеликих концентрацій носіїв. Це означає, що генераційно-рекомбінаційні процеси відбуваються тільки за механізмом зона–зона, тобто електрони та дірки генеруються й рекомбінують парами. Тоді за відсутності зовнішніх впливів кінетику генераційно-рекомбінаційних процесів можна описати рівняннями

Звідси видно, що у випадку, коли n ≈ p, коефіцієнт амбіполярної дифузії визначається дифузією тих носіїв, коефіцієнт дифузії яких менший. Оскільки зазвичай у напівпровідниках рухливість дірок менша за рухливість електронів, то D визначатиметься коефіцієнтом дифузії дірок.

Для визначення фізичного сенсу амбіполярної рухливості (11.105) припустимо, що маємо справу із власним напівпровідником, в якому n = p = ni. Видно, що для власного напівпровідника µ = 0. Однак, це не

означає, що носії у власному напівпровіднику не рухаються, просто µ визначається не швидкістю дрейфу частинок у полі, а швидкістю дрейфу збурення концентрації носіїв – квазінейтральної хмари нерівноважних носіїв заряду. У випадку напівпровідника n-типу µ > 0, що означає: хмара нерівноважних носіїв рухається у напрямку, в якому би рухались під дією зовнішнього поля дірки. Якщо ж напівпровідник являє собою матеріал p-типу, то µ < 0, тобто хмара нерівноважних носіїв рухається в напрямку проти поля (як би рухались електрони).

11.9. Задачі

1.Доведіть, що співвідношення Ейнштейна є прямим наслідком больцманівського розподілу носіїв.

Розв'язок. Припустимо, що система електронів знаходиться в рівновазі у зовні-

шньому електричному полі E

Згідно із законом розподілу невироджених електронів число частинок в одиниці об'єму в деякому перерізі x

З іншого боку, концентрацію частинок на перерізі х можна визначити з умови балансу дрейфового та дифузійного струмів

Порівнюючи (11.110) та (11.112), знаходимо Dn/µn =kT/e , що й підтверджує: співвідношення Ейнштейна є прямим наслідком больцманівського розподілу носіїв.

2. Нехай закон дисперсії електронів напівпровідника визначається діагональним тензором ефективних мас. Визначте залежність коефіцієнта дифузії від mx, my, mz, вважаючи напівпровідник виродженим.