Лекция 7 Иерархические системы управления

Ранее были проанализированы свойства стратегий-управлений, зависящих от поступающей информации равноправных субъектов – иными словами, элементов, находящихся на одном уровне иерархической системы управления ( ИСУ). На примерах и в общей постановке продемонстрированы преимущества, которые заключены в использовании общего класса стратегий.

С другой стороны, на примере «семейный спор» продемонстрирован факт важности наличия приоритета у одного из игроков. Это свойство очень важно для субъектов, находящихся на разных уровнях иерархии. При заданной модели взаимодействия приоритетность выражается через обладание «правом первого хода». Выделенный субъект – «начальник» первым выбирает свою стратегию и сообщает ее «подчиненному».

В игре «семейный спор» такой приоритет позволяет выбрать лучшую ситуацию равновесия.

В более сложных моделях ИСУ приоритетность может выражаться также через возможность делегирования части управлений, определения ограничения на эти управления, задания показателей оценки эффективности функционирования и т.д.

Далее мы рассмотрим модель взаимодействия двух неравноправных субъектов. При этом будем предполагать, что начальник 9центр) придерживается принципа принятия решений - обобщенного принципа максимального гарантированного результата (ОПМГР).

Обобщенный принцип максимального гарантированного результата (оп мгр)

Случай двух игроков – партнеров.

Задана исходная игра:

(1)

И ее информационное расширение:

(2)

Пусть игрок 1 ходит первым, то есть выбирает и сообщает второму. Игрок 1 знает принцип оптимальности игрока 2 и может оценить его реакцию – возможный ответ.

Тогда игроку 1 гарантируется выигрыш

(3)

Максимальный гарантированный результат (МГР) игрока 1 равен:

(4)

а оптимальная стратегия определяется равенством:

(5)

Итак, смысл ОП МГР заключается в следующем:

Игрок 1 для каждой стратегии оценивает ответигрока 2. Выбор любой стратегииравноценен для игрока 2, но не для игрока 1, который рассчитывает на худший (минимальный) результат (3). «Перебирая» все свои стратегии, игрок 1 выбирает оптимальную из условий (4),(5) максимизации своего выигрыша.

Замечание 1.

Во всех формулах (3)-(5) предполагается, что максимум и минимум достигается (это имеет место когда, например, - конечные множества). В общем случае максимум заменяется на супремум (sup), а минимум на инфинум (inf).

Пример 1. Если (антагонистическая игра)

, (игрок 1 не имеет информации о выборе противника),

то МГР игрока 1 (см. (4)) принимает вид

В случае

(игрок 1 знает выбор игрока 2) имеем

Напомним, что всегда

Замечание 2.

В предположении, что игрок 1 знает все параметры игрока 2, то есть знает множество и функцию- рациональный ответ игрока 2 оценивается следующим образом:

В этом случае, множество - множество всех эквивалентных для игрока 2 стратегий, доставляющих максимум его функции выигрыша при фиксированной стратегииигрока 1.

Замечание 3.

Если игрок 2 доброжелателен по отношению к игроку 1, то есть среди эквивалентных для игрока 2 выборов из множества он делает лучший (с точки зрения игрока 1) выбор, то МРГ игрока 1 оценивается величиной

(6)

Конечно доброжелательность исключается при антагонистическом конфликте ().

Если же , то в случае доброжелательности игрока 2 игрок 1 получает дополнительный выигрыш.

Пример 2.

Пусть

,

Имеем

Тогда

С другой стороны из условия доброжелательности получаем: