2 Фирма

реклама не реклама

реклама 4,4 9, 0

1 Фирма

не реклама 0,9 5,5

Элементы матриц выигрышей имеют следующий смысл:

(4,4) – обе фирмы потратятся на рекламу и тогда поровну распределится объем рынка, их продукцию будут покупать, так как она разрекламирована, фирмы получат выигрыш M₁= M₂ = 4.

(9,0) – если 1-я фирма потратит деньги на рекламу, а вторая не будет этого делать, тогда в выигрыше будет 1-я фирма, так как ее товар все будут покупать: ее выигрыш M₁= 9, а вторая фирма ничего не получитM₂ = 0.

(0,9) – наоборот, первая фирма не рекламирует свой товар, а вторая – рекламирует, тогда вторая фирма будет в выигрыше, займет весь оставшийся объем рынка M₂ = 9, а первая ничего не получитM₁= 0.

(5,5) – обе фирмы ничего не рекламируют и в результате делят объем рынка пополам M₁= M₂ = 5.

В этой игре ситуация равновесна – точка (4,4), когда товар обеих фирм хорошо разрекламирован (ситуация равновесия по Нэшу).

Однако, есть точка (5,5) – это Паретовская точка (т.е. обе фирмы могут получить больше на одинаковое количество). Эта ситуация возможна тогда, когда никто не будет друг друга обманывать, а для этого необходимы дополнительные переговоры.

Итак, ситуация равновесия в этом примере существует и единственна, но она не устраивает обоих игроков.

Роль информированности. Формализация информированности в виде стратегии

Напомним основные понятия теории игр.

Пусть задана игра: , далее будем использовать запись.

Здесь - множества управлений,

, где- управление .

- функция выигрыша игрокаi, i=1,2

Пусть

- информационное множество игрока i

- информация, доступная игроку i

Стратегия – функция, зависящая от информации:

- множество стратегий игрока i

Например:- игрок 1 перед выборомбудет знать выбор, т.е. в этом случае:;

- множество функций.

Ход игрока i -- выбор стратегии и сообщение информации о своем выборе партнерам (сообщение может быть «пустым»):

Роль информированности

Покажем на примерах как наличие информации влияет на выбор решения и соответственно на ожидаемый результат.

Пример 1: Информация о выборе партнера

Рассмотрим антагонистическую игру: .

Пусть первый игрок не имеет информации о выборе второго игрока х₂ до своего выбора управления х₁.

Тогда его оптимальный ( максимально гарантированный результат – МГР) равен:

Пусть теперь первый игрок будет иметь информацию о выборе вторым игроком.

Тогда игрок 1 может использовать абсолютно оптимальную стратегию , такую чтопри любых.

В этом случае оптимальный (МГР) результат игрока1 равен:

Всегда верно неравенство: ,

.

Приведем пример когда :

Пусть функция выигрыша первого игрока имеет вид: ,, i=1,2

В этом случае, не имея информации о выборе игрок 1 (ожидая выбора) может рассчитывать только на глобальный минимум:

Пусть теперь игрок 1 будет знать до выбора. Построим абсолютно оптимальную стратегию игрока 1:

Рис.1.

Итак,

=

Функция

имеет вид (см. рис. 2):

Рис.2.

Тогда оптимальный ответ второго игрока:

Что дает первому игроку:

=

Таким образом, получение своевременной информации о выборе партнера (противника) может дать ощутимый выигрыш.

Пример 2: Роль информации о правиле поведения (о принципе оптимальности) партнера.

Рассмотрим игру: . Предположим, что первый игрок знает, что игрок 2 осторожен, т.е. придерживается принципа максимального гарантированного результата, а, следовательно, выбираетиз множества:

, если

Заметим, что осторожность игрока 2 может обуславливаться отсутствием у него информации о правиле поведения (функции выигрыша) игрока 1.

Итак, если игрок 1 не знает правило поведения игрока 2, то его оптимальный (МГР) результат равен:

Если же игрок 1 знает отмеченное выше правило поведения игрока 2, то его оптимальный выигрыш оценивается величиной:

Так как , то всегда

Замечание: Знать правило поведения (принцип оптимальности) это значит знать функцию, множествои принцип выбора (в данном случае МГР).

Покажем, что возможно строгое неравенство .

Пусть, например, функции выигрышей имеют вид:

, i=1,2

Тогда имеем:

,

,

Итак, дополнительная информация – информация о правиле поведения партнера дает дополнительный выигрыш.

Замечание: При моделировании конфликтных ситуаций всегда нужно фиксировать информированность, например, игрока 1 о параметрах модели, описывающих игрока 2:и т.д.