УМК

производится n независимых испытаний по схеме Бернулли, причем вероятность наступления события А в i - м испытании равна pi (i = 1, n) , то

вероятность появления события А ровно m раз равна коэффициенту при x m разложения производящей функции jn (x) по степеням x :

Очевидно, что и в этом случае условие (1.27) должно выполняться, что используется при проверке правильности вычисления Pn (m) , где m = 0, n .

Пример 1.20 По цели производится два выстрела. Вероятность

использованием основных теорем теории вероятностей. Пусть A1 - попадание при первом выстреле, A1 - промах, A 2 - попадание при втором выстреле, A 2 - промах.

Тогда B0 = A1 A 2 ; B1 = A1A2 + A1A2 ; B2 = A1A 2 .

Имеем

P(B0 ) = P(A1A2 ) = P(A1)P(A2 ) = (1- P1)(1 - P2 ) = 0,2 ×0,4 = 0,08 P(B1 ) = P(A1A 2 + A1A 2 ) = P(A1 )P(A 2 ) + P(A1 )P(A 2 ) =

= 0,8 ×0,4 + 0,2 ×0,6 = 0,44

P(B2 ) = P(A1A 2 ) = P(A1 )P(A 2 ) = 0,8 × 0,6 = 0,48.

Проверка P(B0 ) + P(B1 ) + P(B2 ) = 0,08 + 0,44 + 0,48 = 1.

Второй способ. Обозначим q1 = 1 − p1 ; q 2 = 1 - p 2 ; q1 = 1 - 0,8 = 0,2 ; q 2 =1 - 0,6 = 0,4 .

Имеем схему Бернулли с изменением условий. Составим производящую функцию:

j2 (x) = (0,2 + 0,8x)(0,4 + 0,6х) = 0,08 + 0,44х + 0,48х2 .

Отсюда: P2 (0) = P(B0 ) = 0,08; P2 (1) = P(B1 ) = 0,44; P2(2) = P(B2) = 0,48.

Получили те же результаты.

Перейдем теперь к рассмотрению предельных теорем в схеме Бернулли.

1.4.2 Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа

Вернемся к схеме независимых испытаний Бернулли с постоянными условиями. Легко убедиться, что точное вычисление вероятностей для больших значений n по формуле Бернулли через факториалы достаточно трудоемко. В ряде случаев можно вычисления упростить, если воспользоваться таблицами

факториалов или формулой Стирлинга: n!~ n n e −n 2pn (запись (an ~ bn )

обеспечивает требуемую точность. Возникла необходимость в асимптотических формулах, позволяющих с достаточной степенью точности определять эти вероятности. (Функцию ϕ(x) называют асимптотическим

приближением функции f (x) , если lim f (x) = 1). Впервые формула такого x→∞ ϕ(x)

рода была найдена Муавром в 1730 г. для частного случая схемы Бернулли при

p = q = 1 , а затем обобщена Лапласом в 1783г. на случай произвольного p,

2

отличного от 0 и 1. Поэтому формулу, о которой идет речь, называют теоремой Муавра – Лапласа. Теоремы Муавра – Лапласа применяются для приближенного вычисления вероятностей

Для отрицательных аргументов x (x > 0) значения этих функций находят с учетом того, что j(x) - четная, а Ф(x) - нечетная функции. Приближенные формулы (1.31,1.32) применяют в случаях, когда p и q не малы, а npq ³ 9 .

что асимптотическое представление вероятности Pn (m) посредством функции

половины, то есть чем меньше значения p или q приходится рассматривать, и это представление отказывается служить при p = 0 , q = 1, а также при p = 1, q = 0 .

Однако значительный круг задач связан с необходимостью вычисления вероятностей Pn (m) именно при малых значениях p .

Для того, чтобы в этом случае теорема Муавра – Лапласа дала результаты с незначительной ошибкой, необходимо, чтобы число n испытаний было очень велико. Возникает, таким образом, задача разыскания асимптотической формулы, специально приспособленной для случая малых p . Такая формула

была найдена Пуассоном.

Теорема Пуассона. Если n → ∞ и p → 0 так, что np → λ ( 0 < λ < ∞ ), то

нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

1.5.2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

Рассмотрим дискретную случайную величину X с возможными значе-

ниями x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n . В результате опыта величина X примет одно из этих значений, т.е. произойдет одно из полной группы несовместных событий

X = x 1 , X = x 2 , X = x 3 ,

...,

X = x n

Обозначим вероятности этих событий

P (X = x1 ) = p1 , P (X = x 2 ) = p 2 , P (X = x 3 ) = p 3 ,..., P (X = x n ) = p n .

n

Так как несовместные события образуют полную группу, то ∑ pi = 1, т.е.

i=1

сумма вероятностей всех возможных значений равна единице. Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если будет задано это распределение, т.е. в точности будет указано, какой веро-

ятностью обладает каждое из событий x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n . Этим устанавливается т.н. закон распределения случайной величины.

Законом распределения дискретной случайной величины называют со-

ответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности:

∞

∑ p i сходится и его сумма равна единице.

i = 1

Пример 1.25 Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание стрелку засчитывается 5 очков. Найти закон распределения случайной величины Х - числа выбитых очков.

Решение. Напишем возможные значения X: x1 = 0, x2 = 5, x3 =10, x4 =15. Соответствующие вероятности этих возможных значений найдем по

формуле Бернулли

Контроль: 0,216+0,432+0,288+0,064=1.

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат

строят точки (x i , pi ) , а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения (рис.1.2).

Рис.1.2

Среди законов распределения для дискретных случайных величин наиболее распространенными являются биномиальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое распределение и некоторые другие.

1.5.3 Биномиальное распределение

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р (следовательно, вероятность не появ-

ления q=1-p). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины Х число появлений события А в этих испытаниях.

Поставим перед собой задачу: найти закон распределения величины X. Для ее решения требуется определить возможные значения Х и их вероятности. Очевидно, событие А в п испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, ..., либо п раз. Таким образом, возможные значения Х таковы:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2,..., x n +1 = n . Остается найти вероятности этих воз-

можных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли:

Pn (X = k ) = Сkn p k (1 − p) n −k ,

где k=0, 1, 2, …, n.

Формула Бернулли и является аналитическим выражением искомого закона распределения.

Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван «биномиальным» потому, что правую часть равенства (1.26) можно рассматривать, как общий член разложения бинома Ньютона:

Таким образом, первый член разложения pn определяет вероятность наступления рассматриваемого события п раз в п независимых испытаниях; второй член n pn-1q определяет вероятность наступления события п -1 раз; последний член qn определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.

Напишем биномиальный закон в виде таблицы:

Биномиальное распределение имеет, например, случайная величина X, выражающая число бракованных изделий в повторной выборке из n изделий или число очков, выбиваемых стрелком при стрельбе по мишени (см. пример

1.25) и т.д.

1.5.4. Распределение Пуассона

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Для определения вероятности k появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же п велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа. Однако эта формула непригодна, если вероятность события мала (р ≤ 0,1). В этих случаях (п велико, р мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Итак, поставим перед собой задачу найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз. Сделаем важное допущение: произведение nр сохраняет постоянное значение, а именно: np=λ. Как будет следовать из

дальнейшего, это означает, что среднее число появлений события в различных

сериях испытаний, т. е. при различных значениях п остается неизменным.

Воспользуемся формулой Бернулли для вычисления интересующей нас вероятности:

В предположении, что п имеет очень большое значение, вместо Pn (X = k) найдем

l im Pn (X = k) .

n→∞

При этом будет найдено лишь приближенное значение отыскиваемой вероятности: п хотя и велико, но конечно, а при отыскании предела мы устремим п к бесконечности. Заметим, что поскольку произведение пр сохраняет постоянное значение, то при n → ∞ вероятность p → 0 . Итак,

λk

а множитель k! не зависит от n, то получаем (для простоты записи знак при-

ближенного равенства опущен)

Pn (X = k) = λk e−λ . k!

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) и редких (р мало) событий.

Пример 1.26 Тигр-альбинос появляется в природе в среднем один на десять тысяч особей. В год рождается около 500 особей. Какова вероятность поя-

вится в следующем году двум тиграм-альбиносам?

Решение. По условию, n =500, р=0,0001, k=2. Найдем :

λ = np = 500 0,0001 = 0,05 .

По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна

P500 (X = 2) = 0,052 e−0,05 ≈ 0,0012 . 2!

1.5.5. Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р (0<p<1) и, следовательно, вероятность его непоявления q=1-р. Испытания заканчиваются, как только появится событие A. Таким образом, если событие А появилось в k-м испытании, то в предшествующих k-1 испытаниях оно не появлялось.

Обозначим через Х дискретную случайную величину - число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А. Очевидно, возмож-

ными значениями Х являются натуральные числа: x 1 = 1, x 2 = 2,... .

Пусть в первых k-1 испытаниях событие А не наступило, а в k-м испытании появилось. Вероятность этого события, по теореме умножения вероятно-

стей независимых событий, есть

P(X = k) = q k −1 p .

Полагая k=l, 2, ... в данной формуле, получим геометрическую прогрес-

сию с первым членом р и знаменателем q (0<q<1): p , qp , q 2 p ,..., q k − 1 p ,...

По этой причине данное распределение называют геометрическим.

∞

Легко убедиться, что ряд ∑ q k −1p сходится и сумма его равна единице.

k =1

Действительно, по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма ряда есть

Пример 1.27 Электрическая лампочка включается и выключается до перегорания спирали. Вероятность перегорания р=0,001. Найти вероятность того,

что перегорание произойдет на 100-м включении.

Решение. По условию р=0,001, q=0,999, k=100.

Искомая вероятность

P(X = 100) = 0,999100−1 0,001 ≈ 0,0009 .

1.5.6. Гипергеометрическое распределение

Прежде чем дать определение гипергеометрического распределения, рассмотрим задачу. Пусть в партии из N изделий имеется М стандартных (М < N). Из партии случайно отбирают п изделий (каждое изделие может быть извлечено с одинаковой вероятностью), причем отобранное изделие перед отбором следующего не возвращается в партию (поэтому формула Бернулли здесь неприменима). Обозначим через Х случайную величину - число т стандартных изделий среди n отобранных. Очевидно, возможные значения Х таковы:

0, 1, 2, ..., min(М, n).

Найдем вероятность того, что Х = т, т. е. что среди п отобранных изделий ровно т стандартных. Используем для этого классическое определение вероятности.

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь п изделий из N изделий, т. е. числу сочета-

ний СnN .

Найдем число исходов, благоприятствующих событию Х=т (среди взятых п изделий ровно т стандартных); т стандартных изделий можно извлечь из

М стандартных изделий СmM способами; при этом остальные п-т изделий должны быть нестандартными; взять же п-т нестандартных изделий из N-т нестан-

Сn−m

дартных изделий можно N−M способами. Следовательно, число благоприят-

ствующих исходов равно СmM СnN−−mM .

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию Х=т, к числу всех элементарных исходов

Данная формула определяет распределение вероятностей, которое назы-

вают гипергеометрическим.

Учитывая, что m - случайная величина, заключаем, что гипергеометрическое распределение определяется тремя параметрами: N, М, n. Иногда в качестве параметров этого распределения рассматривают N, n и p=M/N, где р - вероятность того, что первое извлеченное изделие стандартное.

Заметим, что если n значительно меньше N (практически если n < 0,1 N), то гипергеометрическое распределение дает вероятности, близкие к вероятно-

стям, найденным по биномиальному закону.

Пример 1.28 Среди 12 изделий имеется 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 5 изделий окажется ровно 3 стандартных.

Решение. По условию N=12, М=8, n=5, m=3. Искомая вероятность