УМК
.PDF5.29. Из чисел 1,2,K,100 одно за другим выбирают наудачу 2 числа. Какова вероятность того, что разность между первым выбранным числом и вторым будет не меньше 25.
5.30. Имеются две партии одинаковых изделий по 15 и 20 штук, причем в первой партии два, а во второй – три бракованных изделия. Наудачу взятое изделие из первой партии переложено во вторую, после чего выбирается наудачу одно изделие из второй партии. Определить вероятность того, что выбранное изделие является бракованным.
Задание № 6
6.1-6.5.
В коробке n деталей, из них l деталей бракованных. Из коробки вынимается m деталей (без возвращения). Составить ряд распределения СВ X − числа вынутых бракованных деталей. Определить вероятность того, что будет вынуто
а) k бракованных деталей;
б) не более k бракованных деталей; в) ни одной бракованной детали; г) хотя бы одна бракованная деталь.
Найти F(x); M(X); D(X)
№ п/п |
n |
l |
m |
k |
1 |
12 |
4 |
6 |
3 |
2 |
11 |
5 |
6 |
4 |
3 |
10 |
3 |
6 |
2 |
4 |
11 |
4 |
7 |
3 |
5 |
12 |
5 |
7 |
4 |
6.6-6.10.
Вероятность попадания в мишень стрелка при одном выстрел равна p . Он производит n выстрелов в мишень. За каждый удачный выстрел ему добавляют одно очко, за каждый промах – отнимают одно очко. Составить ряд распределения для случайной величины – числа выбитых очков. Определить вероятность того, что при n выстрелах стрелок выбьет
а) ровно k очков; б) не более k очков;
в) максимальное число очков; г) не наберет максимальное число очков.
Найти F(x); M(X); D(X).
№ п/п |
n |
p |
k |
6 |
6 |
0,9 |
0 |
7 |
7 |
0,8 |
1 |
8 |
8 |
0,8 |
0 |
9 |
7 |
0,7 |
3 |
10 |
8 |
0,7 |
2 |
6.11-6.15.
Опыт состоит в бросании монеты. Монету бросают n раз. Вероятность выпадения «герба» при одном выбросе равна p . Составить ряд распределения
для СВ X − количества заработанных очков, |
если количество очков в s раз |
||||||||
больше количества выпадения «герба» в серии из n |
бросков. Определить |
||||||||
вероятность того, что будет набрано: |
|
|
|
|
|
||||
а) ровно k очков; |
|
|
|
|
|
|
|
||
б) не более k очков; |
|
|
|
|
|
|
|
||
в) максимальное число очков; |
|
|
|
|
|
||||
г) минимальное число очков. |
|
|
|
|
|
||||
Найти F(x); M(X); D(X) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ п/п |
|
n |
|
p |
s |
|
k |
|
|
11 |
|
8 |
|
0,2 |
2 |
|
6 |
|
|
12 |
|
7 |
|
0,4 |
3 |
|
9 |
|
|
13 |
|
6 |
|
0,5 |
3 |
|
6 |
|
|
14 |
|
7 |
|
0,5 |
2 |
|
8 |
|
|
15 |
|
6 |
|
0,7 |
2 |
|
8 |
|
6.16-6.20.
Вероятность того, что один автобус некоторого маршрута выбьется из графика движения равна p . В рейс вышли n автобусов. Составить ряд распределения СВ X − количества автобусов, которые ходят строго по графику. Определить вероятность того, что по графику ходят:
а) ровно k автобусов; б) не более k автобусов;
в) все автобусы выбьются из графика; г) хотя бы один автобус пройдет по расписанию.
Найти F(x); M(X); D(X)
№ п/п |
n |
p |
k |
16 |
7 |
0,1 |
3 |
17 |
6 |
0,15 |
3 |
18 |
8 |
0,1 |
4 |
19 |
6 |
0,1 |
2 |
20 |
7 |
0,2 |
4 |
6.21-6.25.
Два противника играют в шахматы. Вероятность выиграть партию первым игроком равна p . Составить ряд распределения для СВ X − количества выигранных партий первым игроком в серии из n партий. Определить вероятность того, что он выиграет
а) равно k партий; б) не более k партий;
в) ни одну партию не выиграет;
г) выиграет хотя бы одну партию.
Найти F(x), M(X), D(X).
№ п/п |
n |
p |
k |
21 |
7 |
0,1 |
3 |
22 |
6 |
0,2 |
3 |
23 |
8 |
0,3 |
5 |
24 |
8 |
0,2 |
4 |
25 |
7 |
0,4 |
4 |
6.26-6.30.
Первый стрелок делает n1 выстрелов в мишень; второй независимо от первого − n 2 выстрелов в ту же мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка p1 , для второго − p2 . Составить ряд распределения СВ X − суммарного числа попаданий в мишень в данном эксперименте. Определить вероятность того, что в мишень попало
а) ровно k выстрелов; б) не более k выстрелов; в) ни одного выстрела; г) хотя бы один выстрел. Найти
№ п/п |
n1 |
n 2 |
p1 |
p2 |
k |
26 |
2 |
3 |
0,8 |
0,7 |
2 |
27 |
3 |
2 |
0,9 |
0,8 |
3 |
28 |
3 |
1 |
0,8 |
0,8 |
2 |
29 |
1 |
3 |
0,7 |
0,9 |
2 |
30 |
2 |
2 |
0,9 |
0,7 |
3 |
Задание № 7
7.1-7.5.
По условиям соревнованиям боксер может продолжить участвовать в поединках только в случае выигрыша боя. Вероятность выигрыша боя в одном поединке постоянна и равна p . Составить ряд распределения СВ X − числа
поединков, в которых может участвовать боксер в соревнованиях. Найти
M(X); D(X).
№ п/п |
p |
1 |
0,85 |
2 |
0,9 |
3 |
0,8 |
4 |
0,95 |
5 |
0,75 |
7.6-7.10.
Производятся последовательные испытания n приборов на надежность. Надежность каждого из приборов равна p . Каждый последующий прибор испытывается только в том случае, когда предыдущий оказался надежным.
Составить ряд распределения СВ X − числа испытанных приборов. Найти
M(X); D(X).
№ п/п |
n |
p |
6 |
6 |
0,9 |
7 |
8 |
0,8 |
8 |
7 |
0,75 |
9 |
8 |
0,9 |
10 |
6 |
0,8 |
7.11-7.15.
Два стрелка поочередно стреляют по мишени до первого попадания Вероятность промаха для первого стрелка равна p1 , для второго − p2 . На обоих было выдано n патронов. Составить ряд распределения CB X − числа израсходованных патронов. Найти M(X); D(X).
№ п/п |
n |
p1 |
p2 |
11 |
6 |
0,1 |
0,2 |
12 |
7 |
0,2 |
0,1 |
13 |
6 |
0,3 |
0,1 |
14 |
8 |
0,1 |
0,3 |
15 |
7 |
0,2 |
0,15 |
7.16-7.20.
В городе n библиотек. Студент в поисках книги обходит библиотеки, пока не найдет необходимый ему материал. Вероятность того, что данная книга не будет найдена, для всех библиотек одинакова и равна p . Составить ряд
распределения CB X − количества библиотек, которые обошел студент. Найти
M(X); D(X).
№ п/п |
n |
p |
16 |
6 |
0,1 |
17 |
8 |
0,2 |
18 |
9 |
0,3 |
19 |
7 |
0,15 |
20 |
6 |
0,25 |
7.21-7.25.
Преподаватель прекращает задавать вопросы студенту, как только студент обнаруживает незнание и неправильно отвечает на вопрос. Вероятность
того, что студент неправильно ответит на вопрос, равна p . Составить ряд распределения СВX − числа вопросов, которые задает преподаватель студенту. Найти M(X); D(X).
№ п/п |
p |
21 |
0,1 |
22 |
0,2 |
23 |
0,15 |
24 |
0,3 |
25 |
0,25 |
7.26-7.30.
Охотник, имеющий n патронов, стреляет в цель до первого попадания (или пока не израсходует все патроны). Вероятность поразить цель при одном выстреле равна p . Составить ряд распределения числа
израсходованных патронов. Найти
№ п/п |
n |
p |
|
|
|
26 |
7 |
0,9 |
27 |
6 |
0,8 |
28 |
8 |
0,75 |
29 |
7 |
0,8 |
30 |
6 |
0,7 |
Задание № 8
8.1-8.5.
Вероятность того, что оператор при наборе текста сделает в символе ошибку равна p . Он набрал текст из N символов. Найти вероятность того, что неправильно будут набраны:
а) ровно k символов; б) не более k символов;
в) весь текст набран правильно; г) хотя бы один символ набран неправильно.
Найти M(X); D(X), где |
CB X − |
число неправильно набранных |
||||
символов. |
|
|
|
|
|
|
|
№ п/п |
n |
p |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
250 |
0,02 |
|
4 |
|
|
2 |
100 |
0,02 |
|
2 |
|
|
3 |
1500 |
0,002 |
|
3 |
|
|
4 |
250 |
0,004 |
|
3 |
|
|
5 |
400 |
0,0025 |
|
2 |
|
8.6-8.10.
Устройство состоит из n элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени T равна p . Найти вероятность того, что за время T откажут:
а) ровно k элементов; б) не более k элементов;
в) ни один элемент не откажет; г) хотя бы один элемент откажет. Найти
№ п/п |
n |
p |
k |
|
|
|
|
6 |
100 |
0,03 |
3 |
7 |
1000 |
0,001 |
3 |
8 |
100 |
0,04 |
2 |
9 |
1000 |
0,004 |
2 |
10 |
500 |
0,002 |
3 |
8.11-8.15.
Книга издана тиражом n экземпляров. Вероятность того, что книга сброшюрована неправильно, равна p . Найти вероятность того, что тираж содержит:
а) ровно k бракованных книг; б) не более k бракованных книг; в) ни одна книга не бракована;
г) хотя бы одна книга сброшюрована неправильно.
Найти M(X); D(X), где СВ Х − число бракованных книг.
№ п/п |
n |
p |
k |
|
|
|
|
11 |
1000 |
0,003 |
2 |
12 |
2000 |
0,0005 |
3 |
13 |
1000 |
0,002 |
2 |
14 |
1000 |
0,005 |
3 |
15 |
1500 |
0,001 |
2 |
8.16-8.20.
Магазин получил n бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна p . Найти вероятность того, что магазин получит:
а) ровно k разбитых бутылок; б) не более k разбитых бутылок;
в) все бутылки окажутся неразбитыми; г) хотя бы одна бутылка разбита.
Найти M(X); D(X), где СВ Х − число разбитых бутылок.
№ п/п |
n |
p |
k |
|
|
|
|
16 |
200 |
0,005 |
2 |
17 |
600 |
0,005 |
3 |
18 |
800 |
0,0025 |
4 |
19 |
1000 |
0,0015 |
2 |
20 |
1600 |
0,00125 |
3 |
8.21-8.25.
Вероятность того, что наудачу взятый билет окажется выигрышным, равна p . За один день продано n билетов. Найти вероятность того, что среди проданных билетов будут
а) ровно k выигрышных билетов; б) не более k выигрышных билетов; в) все билеты невыигрышные; г) хотя бы один билет выигрышный.
Найти M(X); D(X), где СВ Х − число выигранных билетов.
№ п/п |
n |
p |
k |
|
|
|
|
21 |
500 |
0,01 |
2 |
22 |
400 |
0,005 |
3 |
23 |
800 |
0,005 |
2 |
24 |
1250 |
0,016 |
3 |
25 |
750 |
0,004 |
4 |
8.26-8.30.
Завод отправил на базу n изделий. Вероятность повреждения изделия в пути p . Найти вероятность того, что в пути будет повреждено:
а) ровно k изделий; б) не более k изделий;
в) ни одного изделия не будет повреждено; г) хотя бы одно изделие повреждено.
Найти M(X); D(X), где СВ Х − число поврежденных изделий.
№ п/п |
n |
p |
k |
|
|
|
|
26 |
4000 |
0,0005 |
2 |
27 |
1000 |
0,0015 |
3 |
28 |
2000 |
0,0015 |
4 |
29 |
2000 |
0,0025 |
2 |
30 |
3000 |
0,0005 |
2 |
Задание № 9
Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Требуется найти:
1)плотность распределения f (x);
2)математическое ожидание M(X);
2)дисперсию D(X);
3)вероятность попадания CB X на заданный интервал (α;β);
4)построить графики функций f (x); F(x).
|
|
|
|
|
x £ 0; |
|
|
|
|
|
0 |
при |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 < x £ p ; |
a = 0; b = p ; |
||||
9.1. F(x) = sin 2x |
при |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
при |
x > |
p |
; |
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
при |
|
x £ 2; |
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.2. F(x) = |
(x - 2)× (5 - x) при |
2 < x £ 3; |
a = 2,5; b = 3; |
|||||||
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
x > 3; |
|
||||
1 |
|
при |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
при |
|
x £ 0; |
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
a = 0; b = p ; |
|
9.3. F(x) = |
× (1 - cos x) |
при |
0 < x £ p; |
|||||||
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
x > p; |
2 |
||||
1 |
|
при |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
при |
|
x ≤ 0; |
|
|||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
9.4. F(x) = |
|
|
при |
|
0 < x £ 2; |
a = 1; b = 2; |
||||
|
|
|
||||||||
4 |
|
|
|
|
x > 2; |
|
||||
1 |
|
при |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
