УМК
.PDF
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ)
Кафедра математики
УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
дисциплины «Математика»
________________________________________________________________________________
РАЗДЕЛ 10 «ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ»
Теоретические основы Методические указания для студентов Материалы для самостоятельной работы студентов
Уфа 2010
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ ИНФОРМАЦИЯ О РЕЦЕНЗЕНТАХ АННОТАЦИЯ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ Введение
1.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 1.1.1. Числовые ряды. Основные понятия
1.1.2. Ряд геометрической прогрессии со знаменателем q 1.1.3. Остаток ряда 1.1.4. Свойства сходящихся числовых рядов
1.1.5. Необходимый признак сходимости числового ряда 1.1.6. Признак сравнения рядов с неотрицательными членами 1.1.7. Признак Даламбера 1.1.8. Радикальный признак Коши
1.1.9. Интегральный признак Коши 1.1.10. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходи-
мости 1.1.11. Свойства абсолютно сходящихся рядов
1.1.12. Знакочередующиеся ряды 1.1.13. Приближенные вычисления с помощью рядов
1.2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 1.2.1. Основные определения и теоремы
1.2.2. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов
1.2.3. Степенные ряды 1.2.4. Определение радиуса сходимости степенного ряда
1.2.5. Схема определения интервала сходимости степенного ряда
1.2.6. Характер сходимости степенного ряда 1.2.7. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов 1.2.8. Ряды по степеням (x − x0 )
1.2.9. Разложение функций в степенные ряды 1.2.9.1. Ряды Тейлора и Маклорена
1.2.9.2. Разложение в ряд Маклорена функций ex , sin x, cos x
1.2.10. Биномиальный ряд 1.2.11. Вычисление значения функций при помощи рядов
1.2.12. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов 1.2.13. Интегрирование дифференциальных уравнений
1.3. РЯДЫ ФУРЬЕ
1.3.1. Постановка задачи 1.3.2. Определение коэффициентов ряда по методу Эйлера-
Фурье 1.3.3. Разложение функций в ряд Фурье
1.3.4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций 1.3.5. Ряды Фурье для функции с периодом 2l
1.3.6. О разложении в ряд Фурье непериодической функции 1.3.7. Ряд Фурье в комплексной форме 1.3.8. Интеграл Фурье
1.3.9. Интеграл Фурье для четных и нечетных функций 1.3.10. Интеграл Фурье в комплексной форме 1.3.11. Преобразование Фурье и его свойства
2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
2.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 2.1.1. Числовой ряд и его сумма
2.1.2. Сходимость рядов с положительными членами. Призна- ки сравнения
2.1.3. Признак Даламбера
2.1.4. Признак Коши
2.1.5. Интегральный признак Коши 2.1.6. Сходимость числовых рядов с членами произвольных зна-
ков. Абсолютная и условная сходимость 2.1.7. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
2.1.8. Приближенное вычисление суммы ряда 2.2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
2.2.1. Функциональный ряд и область его сходимости 2.2.2. Равномерная сходимость функциональных рядов 2.2.3. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости 2.2.4. Разложение функций в степенные ряды 2.2.5. Вычисление сумм числовых и степенных рядов
2.2.6. Приближенные вычисления значений функций с помо-
щью |
степенных рядов |
2.2.7. Применение степенных рядов к вычислению определен- |
|
ных |
интегралов |
2.2.8. Применение степенных рядов к решению дифференци- альных уравнений
2.3. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 2.3.1. Разложение периодических функций в ряд Фурье
2.3.2. Разложение в ряд Фурье непериодической функции
2.3.3. Ряды Фурье в комплексной форме 2.3.4. Интеграл Фурье
2.3.5. Интеграл Фурье в комплексной форме. Преобразование Фурье
2.3.6. Спектральные характеристики ряда и интеграла Фурье
3. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
3.1. Контрольные вопросы 3.2. Задачи и примеры для самостоятельной работы 3.3. Расчетные задания 3.4. Лабораторные работы
Литература
АВТОРЫ:
Бахтизин Р.Н., Якупов В.М., Ковалева Э.А., Шамшович В.Ф., АкмадиеваТ.Р., Аносова Е.П., Байрамгулова Р.С., Галиуллин М.М., Галиева Л.М., Галиакбарова Э.В., Гимаев Р.Г., Гудкова Е.В., Егорова Р.А., Жданова Т.Г., Зарипов Э.М., Зарипов Р.М., Исламгулова Г.Ф., Майский Р.А., Мухаметзянов И.З., Нагаева З.М., Савлучинская Н.М., Сахарова Л.А., Степанова М.Ф., Сокова И.А., Сулейманов И.Н., Умергалина Т.В., Фаткуллин Н.Ю., Хайбуллин Р.Я., Хакимов Д.К., Хакимова З.Р., Чернятьева М.Р., Юлдыбаев Л.Х., Якубова Д.Ф., Янчушка А.П., Яфаров Ш.А.
8 – (347)2428715
E-mail: kafedra-matematiki@rambler.ru
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
Кафедра программирования и вычислительной математики Башкирского государственного педагогического университета.
Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Р.М. Асадуллин.
Кафедра вычислительной математики Башкирского государственного университета.
Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Н.Д. Морозкин.
АННОТАЦИЯ
Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика». Раздел 10 «Числовые и функциональные ряды». Теоретические основы. Методические указания для студентов. Материалы для самостоятельной работы студентов.
В разделе «Теоретические основы» и «Методические указания для студентов» содержатся необходимые для изучения дисциплины «Математика», в объеме, предусмотренном ГОС для технических вузов, теоретический материал, способы и методы решения практических задач.
Раздел «Материалы для самостоятельной работы студентов» включает в себя: контрольные вопросы, задачи и упражнения для самостоятельной работы, расчетные задания, лабораторные работы, литературу.
Представлен перечень контрольных вопросов для контроля знаний, полученных студентами при изучении теоретических и методических основ дисциплины. Задачи и упражнения для самостоятельной работы студентов позволяют учащимся индивидуально во внеурочное время контролировать уровень усвоения материала по данной дисциплине.
Расчетные задания содержат задания для студентов, позволяющих отработать навыки решения задач практического содержания.
В разделе «Лабораторная работа» представлен теоретический материал, последовательность проведения лабораторной работы и данные для проведения лабораторной работы по вариантам.
При изучении дисциплины обеспечивается фундаментальная подготовка студента в области применения математики, происходит знакомство со стержневыми проблемами прикладной математики, базовыми приложениями, навыками и понятиями, обязательными для прочного усвоения последующих дисциплин и практического использования полученных знаний в решении конкретных задач, которые ставятся перед инженером.
Учебно-методический комплекс разработан для студентов, обучающихся по всем формам обучения по направлениям подготовки и специальностям, реализуемым в ГОУ ВПО УГНТУ.
© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2010
УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
РАЗДЕЛ 10 «ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ»
1. Теоретические основы
ВВЕДЕНИЕ
К понятию бесконечных сумм подошли еще ученые древней Греции, у них уже встречалась сумма членов бесконечной геометрической прогрессии с положительным знаменателем меньшим единице. Как самостоятельное понятие ряд вошел в математику в 17 веке. И. Ньютон и Г. Лейбниц систематически использовали ряды для решения уравнений как алгебраических, так и дифференциальных. Формальная теория рядов успешно развивалась в 18 – 19 веках в работах Я. и И. Бернулли, Б. Тейлора, К. Маклорена, Л. Эйлера, Ж. Даламбера, Ж. Лагранжа и других. В этот период использовались как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, хотя не было полной ясности в вопросе о законности действий над ними. Точная теория рядов была создана в 19 веке на основе понятия предела в трудах К. Гаусса, Б. Больцано, О. Коши, П. Дирихле, Н. Абеля, К. Вейерштрасса, Г. Римана и других.
Ряды широко используются в математике и ее приложениях как в теоретических исследованиях, так и при приближенных численных решениях задач. Многие числа могут быть записаны в виде специальных рядов, с помощью которых удобно вычислять их приближенные значения с нужной точностью.
Метод разложения в ряды является эффективным методом изучения функций. Он применяется для вычисления приближенных значений функций, для вычисления и оценок интегралов, для решения всевозможных уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных).
1.1.ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
1.1.1.Числовые ряды. Основные понятия
Рассмотрим числовую |
последовательность u1 , u 2 ,K, u n ,K, где |
||||
u n = f (n). |
Построим |
из |
этой |
последовательности |
выражение |
u1 + u 2 + K + u n + K.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Выражение
∞
u1 + u 2 + u 3 + K + u n + K = ∑ u n , где u1 , u 2 ,K, u n ,K – члены бесконечной
n=1
числовой последовательности, называется числовым рядом.
Числа u1 , u 2 ,K, u n ,K называют членами ряда, а u n − общим членом
ряда.
Зная общий член ряда, можно записать любой член ряда.
ПРИМЕР 1.1. Дан общий член ряда u n = |
n +1 |
|
|
. Написать первые три |
||||||||||||||||||
n (n + 2) |
||||||||||||||||||||||
члена ряда и (n +1) − й член. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Если n = 1, |
u1 = |
|
|
2 |
|
= |
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n = 2, |
u 2 |
= |
|
3 |
|
|
= |
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n = 3, |
u 3 |
= |
|
4 |
|
|
= |
4 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n +1) +1 |
|
|
n + 2 |
|||||||||
n + 1, u n+1 = |
|
= |
|
. |
||||||||||||||||||
(n + 1)((n + 1) + 1) |
(n + 1)(n + 3) |
|||||||||||||||||||||
Итак, для того, чтобы найти u n +1 член, нужно к каждому n прибавить |
||||||||||||||||||||||
единицу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n первых членов ряда |
||||
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Сумма конечного числа |
||||||||||||||||||||||
называется n − й частичной суммой ряда. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Sn |
= u1 + u2 + K + un . |
|
|
(1.1) |
|||||||||||||||||
Очевидно, первая, вторая, третья и т.д. частичные суммы будут иметь вид |
||||||||||||||||||||||
S1 = u1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2 = u1 + u 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn = u1 + u 2 + K + u n .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Ряд называется сходящимся, если существует
конечный предел частичной суммы Sn при n → ∞, то есть |
|
lim Sn = S . |
(1.2) |
n→∞ |
|
Число S называется суммой ряда.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Ряд называется расходящимся, если предел частичной суммы не существует или равен бесконечности при n → ∞.
|
1.1.2. Ряд геометрической прогрессии со знаменателем q |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ряд |
|
|
|
a + a q + a q 2 + a q3 +K + a q n−1 +K |
|
называется |
рядом |
|||||||||||||||||||||||||
геометрической прогрессии со знаменателем q . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Рассмотрим случай, когда a ≠ 0 . Определим Sn : |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Sn |
= a + a q + a q 2 +K + a q n+1 = a |
1 − q n |
= |
|
a |
|
− |
a q n |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 − q |
|
|
|
1 − q |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − q |
|
|||||||||
(по формуле суммы геометрической прогрессии при q ≠ ±1): |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1) |
если |
|
|
q |
|
< 1, |
то |
q n → 0 |
при n → ∞ |
и, |
следовательно, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
a q |
n |
|
|
a |
|
|
|
|
< 1 ряд сходится и его сумма |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
nlim→∞ 1 |
− q − 1 − q = |
1 |
− q . Значит, в случае |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
равна S = |
|
a |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
− q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) |
если |
|
q |
|
> 1, |
то |
q n → ∞ |
при |
n → ∞, то |
|
есть |
lim Sn = ∞, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
следовательно, ряд расходится; |
a + a + a + K + a + K, |
n→∞ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
3) если q = 1, то ряд имеет вид |
его частичная |
|||||||||||||||||||||||||||||||
сумма Sn |
|
= n a, |
|
|
|
lim n a = ∞ ряд расходится; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4) если q = −1, то ряд имеет вид a − a + a − aK |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Sn |
= |
0, |
|
при n − четном, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
при n − нечетном. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Sn |
не имеет предела, при n → ∞ ряд расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1.1.3. Остаток ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Пусть дан ряд |
|
u1 + u 2 + u 3 + K + un + K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.3) |
||||||||
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.5. Ряд, членами которого являются члены ряда (1.3), |
||||||||||||||||||||||||||||||||
начиная с |
(n + 1)−го, |
взятые в том |
же порядке, |
что |
и в |
исходном |
ряде, |
||||||||||||||||||||||||||
называется n −м остатком ряда и обозначается
∞ |
= un+1 + nn+2 + un+3 +K. |
∑uk |
|
k =n+1 |
|
Частичная сумма сходящегося ряда отличается от его суммы на величину суммы остатка. Поэтому чем меньше сумма остатка ряда, тем точнее описывает соответствующая частичная сумма ряда сумму всего ряда.