УМК11

ся через С:

С = {(x, y) x, y R}.

(1.1)

(x1 , y1 )= (x2 , y 2 ) x1

= x2

(1.2)

y1

= y 2 .

На плоскости введем декартову пря-

y

моугольную систему координат и каждому

КЧ (x, y) поставим в соответствие точку с

координатами (x, y) (рис.1.1). Это

соот-

y

• z(x, y)

ветствие биективно (взаимнооднозначно) и

дает изображение КЧ.

,

Из (1.2) следует: два КЧ равны

ϕ

когда их изображения совпадают.

x

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Плоскость, на

0

x

которой введена декартова прямоугольная

Рис. 1.1

система координат для изображения ком-

плексных чисел, называется комплексной

C по правилу:

(x1 , y1 )± (x2 , y 2 )= (x1 ± x2 ;y1 ± y 2 ),

(1.3)

то есть имеет место покоординатное суммирование. Например, (1,0)+ (0,1)=

= (1,1); (3,7)− (7,4)= (− 4,3). КЧ (x, y) обозначим через z , полагая

z = (x, y),

(1.4)

1.20. Ассоциативность. z1 , z2 , z3 C

z1 + (z2 + z3 )= (z2 + z1 )+ z3 .

Легко проверяется, что пара (0,0) играет роль нуля.

Вторая из операций – умножение КЧ: C ×C = C2 → C . Предметно это

выглядит так: если z1 = (x1 , y1 ), z2 = (x 2 , y2 ), то

z1 = (x1 , y1 ) (x2 , y 2 )= (x1x2 − y1y 2 ;x1y 2 + x2 y1 )

(1.5)

только тогда, когда на M введена операция суммы.

Убедимся, что в нашем случае алгебра КЧ коммутативна, то есть

1.30. z1z 2 = z 2 z1 .

(1.6)

Введем стандартные обозначения (рис. 1.1):

arg z = ϕ− угол, который образует вектор 0z

( z − изображение КЧ

z = (x, y)) с осью (0x), если ϕ (− π; π],

z

= 0z = x 2 + y2 − модуль КЧ z . Отсюда видно,

что

z

определяет

расстояние от точки z до начала координат. В силу этого

z

≥ 0 , при этом

z

= 0 z = (0,0), аргумент последнего не определяется. Вместо требования

ϕ

(− π; π] можно взять ϕ [− π; π) либо ϕ (0, 2π]в зависимости от класса

решаемых задач.

Согласно рис.1.1 из п.1.1

x =

z

cos ϕ,

y =

z

sin ϕ

(1.7)

Но равенство (1.1)

справедливо, если вместо ϕ взять ϕ+ 2kπ, k Z .

Множество {ϕ+ 2kπ

k Z} обозначим через Arg z .

В записи это выглядит

так:

Arg z = {ϕ+ 2kπ

k Z} Arg z = ϕ+ 2kπ,

k Z .

(1.8)

Имея это в виду, вместо (1.7) можно написать

x =

z

cos Arg z, y =

z

sin Arg z ,

(1.9)

(x1 ,0) (x 2 ,0)= (x1x

2 − 0 0, x1 0 + x 2 0)= (x1x 2 , 0)= x1x 2 ,

тогда как множество {(0, y)

y R}не отождествляется с R , так как операция

умножения

выводит элементы из

этого

множества.

Например,

(0,1)(0,1)=

(0 −1, 0 + 0)= (−1,0)= −1 R ,

но не

принадлежит

исходному

i 2 = i i = (0,1)(0,1)= −1 = (−1,0).

(1.10)

Замечание. В этом определении мнимого ничего нет, а речь идет об упо-

рядоченной паре (0,1), для которой выполняется равенство (1.10).

Согласно (1.3) и (1.4)

z = (x, y)= (x,0)+ (0, y)= (x,0)+ (0,1)(y,0)= x + i y .

(1.11)

Решение. Согласно только что сформулированному правилу имеем (ум-

ножаем двучлен на двучлен) z1z2

= (1 −3i)(− 2 + 4i)= −2 + 6i + 4i −12i2 =

=10 +10i, Re z1z2

=10, Jm z1z2

=10.

Ответ: 10 +10i,

y

Re z1z2 =10, Jm z1z2 =10.

z2

1.4

ПРИМЕР 1.2. Найти модуль и

arg z2

аргумент КЧ из ПРИМЕРА 1.1.

Решение. Построим изображе-

x

1.

x

ние z1 = (1,−3) (см. рис. 1.2)

- -

arg z1

z1

= 12 + (−3)2 = 10 ,

arg z1

= −arctg 3,

z

-

y

z1

Arg z1 = −arctg3 + 2kπ, k Z.

arg z2

= π − arctg 2 ,

Arg z2

= π − arctg2 + 2kπ =

Рис. 1.2

= −arctg2 + (2k +1)π, k Z.

Ответ: z1 =

10 , z2 =

20 , arg z1

= −arctg 3,

Arg z1

= −arctg3 + 2kπ, k Z;

arg z2 = π − arctg 2 ,

Arg z2

= −arctg2 + (2k +1)π, k Z.

Замечание. Если z = (x, y), то справедливо утверждение

y

arctg

,

при x

> 0,

x

y

arg z =

− π + arctg

,

при x

< 0, y < 0,

(1.12)

x

y

arctg

+ π,

при x < 0, y > 0.

x

y

y

< 0

y

arg z = − π −arctg

=

= arctg

− π.

x

x

< 0

x

Если точка (изображение)

z попадает во вторую четверть (x < 0, y > 0),

то arg z = π− arctg

y

= π + arctg

y

, в чем и следовало убедиться.

x

x

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.5. Число

=

(1.13)

z

x + i

(y)= x − i y

называется сопряженным к комплексному числу z .

()z ≡

Изображения z и

z

симметричны относительно оси 0x . Очевидно, что

= z. Убедимся, что

z

z

=

z

2

2

z

=

z

(1.14)

Действительно

2 , что и надо.

= (x + i y) (x −i y)= x 2 −(i y)2

= x 2 + y2 =

z

2 =

zz

z

Согласно (1.9) и (1.11)

z =

z

(cos ϕ + i sin ϕ),

(1.15)

где (см. формулу (1.8))

ϕ Arg z .

(1.16)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.6. Если КЧ z представлено в виде (1.15), то говорят,

что это есть тригонометрическая форма КЧ

По определению полагаем

ei ϕ = cos ϕ + i sin ϕ.

формулой Эйлера. Из

(1.17)

Формула (1.17)

называется

(1.17) следует

ei ϕ

= cos2 ϕ+ sin 2 ϕ =1. Функция ei ϕ об-

y

z •

z

ладает всеми свойствами показательной функ-

ции,

что доказывается

прямыми выкладками

arg z

(см. доказательство нижеследующей теоремы).

0

(1.17) позволяет написать (1.15) в виде

z =

z

ei ϕ ,

(1.18)

Рис. 1.1

называемой

показательной

формой ком-

плексного числа.

представления КЧ:

Таким

образом,

имеются три формы

1.1) z = x + i y − алгебраическая форма;

z = r (cos ψ + i sin ψ)= r cos ψ + i r sin ψ, r ≥ 0 ,

(1.19)

то

x = r cos ψ, y = r sin ψ, x 2 + y2 = r 2 , x 2 + y2 = z ,

r cos ψ = r cos ϕ; r sin ϕ = r sin ψ.

Следовательно,

cos ψ = cos ϕ,

(1.20)

sin ψ = sin ϕ,

нию

z1z2

=

z1

z2

а Arg (z1z2 )= Arg z1 + Arg z2 ,

модулей множителей.

,

где

последнее

равенство

надо

понимать

так:

если ψ Arg (z1z2 ),

то

ϕ1 Arg z1 и ϕ2 Arg z2 , что ψ = ϕ1 + ϕ2 .

(cos ϕ1 + i sin ϕ1 ),

Доказательство. Согласно (1.15) z1

=

z1

z2 =

z2

(cos ϕ2

+ i sin ϕ2 ),

z1 z2 =

z1

z2

(cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) (cos ϕ2 + i sin ϕ2 )=

=

z1

z2

[

cos ϕ1 cos ϕ2 + i (cos ϕ1 sin ϕ2 + cos ϕ2 sin ϕ1 )−sin ϕ1 sin ϕ2 ]=

=

z1

z2

[cos (ϕ1 + ϕ2 )+ i sin (ϕ1 + ϕ2 )],

z1 z 2

=

z1

z 2

[cos (ϕ1 + ϕ2 )+ i sin (ϕ1 + ϕ2 )].

(1.21)

Так как

z1

z2

≥ 0 , то согласно единственности представления КЧ по-

следнее равенство означает следующее:

z1 z2

=

z1

z2

, а Arg z1 z2 = ϕ1 + ϕ2 , ϕ1 Arg z1 , ϕ2 Arg z2 ,

что

z1 z 2 Kzn

=

z1

z 2

K

zn

,

(1.22)

Arg (z1 z 2 Kzn )= Arg z1 + Arg z 2 +K+ Arg zn .

Рассмотрим частный случай

Если z1 = z2 =K= zn ≡ z , то согласно (1.22) и (1.15)

zn =

z

n (cos nϕ + i sin nϕ)=

z

n ei nϕ ,

(1.23)

где

ϕ Arg z, n ϕ Arg zn .

(1.24)

Замечание. Если под произведением n Arg z

понимать множество

{n ϕ

ϕ Arg z}(каждый член Arg z умножается на число n ), то множества

n Arg z и Arg z + Arg z +K+ Arg z не совпадают. Следовательно,

n Arg z ≠ Arg z + Arg z +K+ Arg z .

(1.25)

[

z

(cos ϕ + i sin ϕ)]n =

z

n (cosn ϕ +sin n ϕ)

(1.26)

[

z

ei ϕ ]n =

z

n ei n ϕ .

Полагая здесь

z

=1, получим вместо (1.26)

(cos ϕ + i sin ϕ)n = cosn ϕ + i sin n ϕ.

(1.27)

Равенство (1.27) называется формулой Муавра.

ПРИМЕР 1.3. При n = 2 из (1.27) получаем

cos2 ϕ+ 2i sin ϕ cos ϕ−sin 2 ϕ = cos 2ϕ+i sin 2ϕ,

cos 2ϕ = cos2 ϕ−sin 2 ϕ; sin 2ϕ = 2sin ϕ cos ϕ.

Это известные формулы косинуса и синуса удвоенного угла. При n = 3

имеем

cos3ϕ+ i sin 3ϕ = (cos ϕ+ i sin ϕ)3 = cos3 ϕ+ 3cos2 ϕi sin ϕ+

Извлечение корня из комплексного числа

n z , называется КЧ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.7. Корнем n −й степени из z,

ω, n −я степень которого равна z . Таким образом, ω = n z

, когда

ωn = z ,

(1.28)

Согласно (1.18)

ω =

ω

ei ψ , z =

z

ei ψ .

(1.29)

Эти значения подставим в (1.28) и в соответствии с (1.26) найдем

ω

n ei n ψ =

z

ei ϕ ,

(1.30)

что дает

ω

n =

z

, n ψ = ϕ+ 2 k π,

k Z ,

или

ω = n z , ψ = ϕ + 2kπ

= ϕ + k 2π

,

(1.31)

n

n

n

k Z, ϕ Arg z.

Первая из этих формул указывает на то, что модуль n z равняется ариф-

метическому корню из модуля z :

n z = n z

(1.32)