УМК11
.pdf= z −1 + 2!1 1z − 3!1 z12 + 4!1 z13 −K. Главная часть лорановского разложения со-
держит бесконечно много членов. Следовательно, точка z = 0 является суще- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ственно особой для функции f(z). |
|
|
|
|
f(z) в существенной особой точке |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Замечание. |
|
Исследование функции |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
можно произвести лишь с использованием ряда Лорана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ПРИМЕР 2.46. Определить характер особой точки z = ∞ для функций: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
а) f(z) |
= sin |
|
1 |
; |
|
|
б) f(z) = ctg |
π |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
в) f(z) |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= z2 e−e ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
г) f(z) = z3 ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Решение. |
1 |
а) |
|
Точка z = ∞− устранимая особая точка данной |
функции, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
так как lim sin |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
z→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ctg π , |
|
так как lim ctg π = ∞. |
||||||||||||||||
|
|
б) |
точка z = ∞− полюс функции f(z) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
z→∞ |
|
|
z |
||
Порядок полюса равен порядку полюса функции ψ(ζ) = ctg πζ в точке ξ = 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ζ = |
|
|
, функция же ψ(ζ) |
имеет в точке ζ = 0 полюс 1-го порядка, так как |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция |
|
|
|
|
= tg πζ имеет в этой точке нуль 1-го порядка, в чем легко убе- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ψ ζ |
) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
диться следующей проверкой:(tg πζ) |
|
|
|
= 0, |
|
(tg πζ) |
|
|
|
= |
|
π |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ζ=0 |
|
ζ=0 |
cos |
2 |
πζ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ζ=0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= π ≠ 0. Таким образом, z = ∞ − простой полюс данной функции. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
в) Разложим данную функцию в ряд Лорана в окрестности точки z = ∞: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
−z |
|
|
|
|
|
2 |
|
∞ |
(− z)n |
|
∞ |
|
|
n zn+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f(z) |
= z |
|
e |
|
= z |
|
∑ |
|
|
= ∑ (− |
1) |
|
|
|
|
. Ряд Лорана содержит бесконеч- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n! |
|
|
|
n! |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = ∞ − существенно |
|||||||||||||||
ное множество положительных степеней |
z, |
поэтому |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
особая точки функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
г) Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности точки z = ∞: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + z + 1 + ∑ 1 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
f(z) = z3 ez = z3 ∑ z = z3 + z |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
6 |
n=4 |
n!zn−3 |
|
|
|
|
|
|
133
Так как главная часть ряда Лорана содержит конечное число положительных степеней z и старшая степень равна 3, то особая точка z = ∞ есть полюс 3-го порядка данной функции.
2.8.ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
КВЫЧИСЛЕНИЮ КОНТУРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
|
2.8.1. Вычет функции и его вычисление |
||
Пусть z0 − конечная изолированная особая точка однозначной функции |
|||
w = f(z). Вычетом функции f(z) относительно точки z0 |
называется число, |
||
обозначаемое символом resf(z0 ) и определяемое равенство |
|
||
resfz0 = |
1 |
∫ f (z)dz , |
(2.58) |
|
|||
|
2πiL+ |
|
где L+ − произвольный ориентированный против часовой стрелки замкнутый контур, лежащий в области аналитичности f(z) и содержащий внутри себя одну особую точку z0 .
Из определения следует, что вычет функции равен коэффициенту a−1 при
(z − z0 )−1 в лорановском разложении f(z) в окрестности точки z0 |
|
resf(z0 ) = a−1 . |
(2.59) |
Приведем формулы для вычисления вычета в полюсах функции, позволяющие избежать разложения функции в ряд Лорана - процесс в общем случае громоздкий.
Если z0 − простой полюс функции
resf(z0 ) = lim f(z)(z − z0 ), |
|
|
|
|
(2.60) |
|||||||||
|
|
|
|
z→z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причем, если f(z) представима в виде отношения двух аналитических в точке |
||||||||||||||
z0 функций |
f(z) = |
|
ϕ(z) |
, где ϕ(z0 ) ≠ 0, |
ψ(z0 ) = 0, |
ψ′(z0 ) ≠ 0, то |
|
|||||||
|
ψ(z) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
resf(z0 ) |
= |
ϕ(z0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
. |
|
|
|
|
|
(2.61) |
|||||||
ψ′(z0 ) |
|
|
|
|
||||||||||
Если z0 |
− полюс k − го порядка (k ≥ 2), то |
|
|
|||||||||||
resf(z0 ) |
= |
|
1 |
|
|
lim |
d k−1[(z − z0 )k f(z)] |
. |
(2.62) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(k |
− |
1)! |
|
d z |
k−1 |
|||||||||
|
|
|
|
z→z0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
134
Для устранимой особой точки resf(z0 ) = 0. Для нахождения вычета от-
носительно |
существенно |
особой точки необходимо найти |
коэффициент |
|||
a −1: res f(z0 ) = a −1 . |
|
|
|
|
||
В некоторых случаях находит применение понятие вычета функции отно- |
||||||
сительно бесконечно удаленной точки. |
|
|||||
Пусть |
f(z) |
аналитична в некоторой окрестности точки |
z = ∞, кроме |
|||
может быть, |
самой бесконечно удаленной точки. Вычетом функции f(z) отно- |
|||||
сительно бесконечно удаленной точки z = ∞ называют величину |
|
|||||
resf(∞) = |
|
1 |
∫ f(z)dz, |
(2.63) |
||
2 |
|
|||||
|
|
|
πi L− |
|
где L− − произвольный ориентированный по часовой стрелке замкнутый контур, принадлежащий области R ≤ z < ∞ аналитичности функции.
Из определения следует, что вычет относительно z = ∞ енту при z−1 в лорановском разложении f(z) в окрестности
противоположным знаком:
resf(∞) = −a−1 .
равен коэффици- z = ∞, взятому с
(2.64)
Между утверждениями (2.64) и (2.59), несмотря на их внешнее сходство, имеется существенное различие. Дело в том, что в разложении Лорана в окрестно-
сти точки z = ∞ член a−1 z−1 принадлежит правильной (а не главной) части ряда, и res f(∞) может быть отличным от нуля и тогда, когда f(z) аналитична
вбесконечности.
2.8.2.Теоремы о вычетах и их применение к вычислению контурных интегралов
Теорема 2.4. (Основная теорема Коши о вычетах). Если функция f(z)
аналитична в области D, за исключением изолированных особых точек
z1 , z2 ,K, zn , то для любого замкнутого контура L D, охватывающего эти точки,
|
n |
|
∫ f (z)dz = 2πi ∑resf (zk ). |
(2.65) |
|
L+ |
k=1 |
|
Основная теорема о вычетах имеет важное значение для приложений. Она позволяет вычислять интегралы по замкнутому контуру от функции комплексного переменного, не прибегая к первообразным или криволинейным интегралам. С помощью вычетов вычисляются определенные и несобственные интегралы от функций действительного переменного. При вычислении некоторых интегралов удобно пользоваться теоремой о сумме вычетов.
135
Теорема 2.5. Если функция f(z) аналитична в расширенной плоскости
(т.е. включающей точку z = ∞), за исключением конечного числа изолированных особых точек z1 , z2 ,K, zn , то
n
∑ resf(zk )+ resf(∞) = 0 (2.66)
k =1
n
или resf(∞) = − ∑ resf(zk ) (2.67)
k =1
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.47. Найти вычеты функции относительно их особых точек
|
z2 |
|
1 |
|
|
||
а) f(z) = |
|
; |
б) f(z) = |
|
|
; |
|
|
sin z |
||||||
(z − 2)3 |
|||||||
в) f(z) = |
tg z |
; |
г) f(z) = z e−z . |
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 − π z |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Особые точки данных функций и их характер определены в |
примере 2.46. Итак, а) z = 2 − полюс 3-го порядка, поэтому по формуле (2.62)
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
d2 |
|
3 |
z2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
находим resf (2)= |
|
|
|
lim |
|
(z − 2) |
|
|
|
= |
|
|
|
lim2 |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(3 |
−1)! |
dz2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z − 2)3 |
|
|
2z→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
б) |
zn = n π (n = 0,±1,± 2,K)− простые полюсы, поэтому, воспользо- |
|||||||||||||||||||||||||||
вавшись формулой (2.61), получаем resf (nπ)= |
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
= (−1)n . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
(sin z)′ |
|
|
z=nπ |
cosnπ |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
z = 0 − устранимая особая точка, |
|
|
|
resf(0) = 0. Точка |
||||||||||||||||||||||
|
|
в) |
следовательно, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
z |
4 |
tg z |
|
|||||||
z = |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
простой полюс, согласно (2.60) имеем resf |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
z→π |
z |
2 |
− |
z |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
tg 4 |
= |
|
4 |
. Точки zn = (n +1)π |
|
(n = 0, ±1, ± 2,K)− простые полюсы, то- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
136
гда по (2.61) |
получим |
resf (2n +1) |
π |
= |
ϕ(zn ) |
|
= |
|
|
|
|
sinzn |
|
|
|
|
= |
||||||||||||||
ψ′(zn ) |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
− |
π |
|
|
z=zn |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
4 |
z cosz |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
sin zn |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||
|
|
2 |
− |
π |
|
|
|
|
|
− |
|
|
2 |
π2 |
− |
π |
(2 n +1) |
π |
|
|
n |
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2 z cosz − z |
|
|
z sin z |
|
|
|
|
(2n +1) |
|
|
|
|
|
|
(−1) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
z=zn |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= − |
|
|
|
|
|
, |
n = 0,±1, |
± 2,K. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(2n +1)(4 n +1)π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) z = 0 − существенно особая точка. Для определения вычета относительно существенной точки надо получить разложение функции в окрестности
этой |
точки. |
|
|
|
Как |
было |
показано |
в |
примере |
|
2.46(г), |
||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||
ze− |
|
|
= z −1 + |
|
|
− |
+K. Согласно (2.59), resf(0) = a−1 = |
|
= |
. |
|||||||||
z |
|
|
|||||||||||||||||
|
2! z |
|
3!z2 |
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|||||||
ций: |
ПРИМЕР 2.48. Вычислить вычеты относительно точки z = ∞ для функ- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
б) f(z) = z2 e−z ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
а) f(z) = sin |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
z |
|
г) f(z) = sin z |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
в) f(z) = z |
3 ez |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z2 +1)
Решение. Вычет функции относительно бесконечной удаленной точки можно определять по формуле (2.64), для чего необходимо получить лорановское разложение в окрестности данной точки.
а) Так как z = ∞ − устранимая особая точка (limz→0 f(z) = 0), то лоранов-
ское разложение не содержит положительных степеней (главную часть), но содержит правильную часть, поэтому найдем ряд Лорана для данной функции в
окрестности z = ∞: sin 1z = 1z − 3!1 z13 + 5!1 z15 −K, откуда видно, что a−1 = 1, следовательно, resf(∞) = −1.
Из примера следует, что вычет функции относительно бесконечно удаленной устранимой особой точки может сказаться отличным от нуля.
137
б) Как показано в примере 2.48(б), ряд Лорана в окрестности z = ∞ для
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1)n |
z |
n+2 |
|
|
|
|
z |
3 |
|
|
z |
4 |
|
|
|
|
|
|
данной функции имеет вид: |
|
z2 |
e−z = ∑ |
|
= z2 − |
|
+ |
|
−K. Так |
|||||||||||||||||||
n! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a−1 |
n=0 |
|
|
|
|
2! |
|
3! |
|
|
|
|
|
||||||||
как в разложении слагаемое |
|
отсутствует, то resf(∞) = −a−1 |
= 0. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
в) |
|
Как показано |
в |
примере |
2.48(в), |
z3 e |
|
|
= z3 |
+ z2 + |
+ |
|
|||||||||||||||
|
|
z |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
6 |
||||||
+ |
+ |
+K. Откуда следует, что resf(∞) = −a−1 = − |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
5!z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
4!z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
г) |
Разложить функцию в ряд Лорана с тем, чтобы вычислить вычет по |
формуле (2.64), трудно. Для вычисления вычета относительно бесконечно удаленной точки удобнее воспользоваться формулой (2.67), поскольку сравнитель-
но просто найти вычеты функции относительно ее конечных изолированных |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
особых точек z1 |
= −i |
|
|
и z2 = i . Итак, по формуле (2.67) имеем resf(∞) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= −∑ f(zk ). Указанные точки являются полюсами 2-го порядка. Тогда в силу |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
sin z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(2.62) находим resf(i) = lim |
|
|
(z − i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(z − i)2 (z + i)2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→i |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
cos z z + |
1 |
2 − 2 |
z + i |
sin z |
|
|
|
2 i cosi |
|
− |
|
2 sin i |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= − |
|
(cosi + i sin i) = |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z + i) |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 i) |
3 |
|
|
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||
z→i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= − |
|
1 |
(cosi + i sin i) = − |
1 |
ei2 = − |
|
1 |
e−1 |
. Аналогично |
находим res f(− i) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
4 |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= − |
1 |
|
|
|
|
. Таким образом, |
|
resf(∞) = −resf(i)− resf(− i) = |
|
|
1 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 e |
|||||||||||
|
|
|
ПРИМЕР 2.49. Используя теоремы о вычетах, вычислить контурные ин- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тегралы: |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
dz; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
3 |
z |
4 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 z |
3 |
(z +1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
z−1 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L∫ |
ez dz |
|
|
|
|
|
в) |
|
|
(z2 +1)(z −3), |
где |
|||||
x = 2, y = −2, y = 2 |
|
|
|
||||||
г) |
∫ |
(2z −1)cos |
z |
|
|
dz; |
|||
z − |
1 |
||||||||
|
z |
|
=2 |
|
|||||
|
|
|
L −квадрат ограниченный прямыми x = −2,
д) ∫ |
|
2 z7 |
+1 |
dz . |
||||||
|
6 |
( |
|
2 |
) |
|||||
|
z |
|
=2 z |
|
z |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
+1 |
|
138
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
а) |
|
Подынтегральная |
функцияf (z)= |
|
|
z |
|
|
|
имеет |
четыре |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z4 −1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
простых полюса, |
|
|
из которых три: |
|
z1 = 1, |
|
|
z2 = i, |
z3 = −i |
лежат |
в |
|
круге |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z −1 |
|
< |
|
3 |
|
|
(рис. |
|
2.25). |
По |
|
|
основной |
теореме |
о |
вычетах |
(2.65) |
имеем: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I = ∫ |
|
z dz |
|
= 2 πi[resf(1)+ resf(i)+ resf(− i)]. |
Вычеты |
вычисляем |
по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z−1 |
|
= |
3 z |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
resf (z0 )= res |
|
ϕ(z0 ) |
|
|
= |
|
|
|
ϕ(z0 ) |
|
= |
|
|
z0 |
|
|
= |
|
1 |
|
, |
значит, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формуле |
(2.61) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ψ′(z0 ) |
|
|
|
ψ′(z0 ) |
|
4z30 |
4z02 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
res f (1) |
|
|
= |
1 |
, |
res f (i) = res f (− i) = − |
1 |
. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
I = 2 πi |
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
б) |
|
Подынтегральная функции f(z) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет две особых точки, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z3 (z +1) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
из которых |
|
|
z1 |
|
= −1− простой полюс, |
z2 = 0 − полюс 3-го порядка; причем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z2 = 0 находится в круге |
|
z |
|
< |
|
1 |
. Поэтому I = |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
= 2 πi resf(0). По |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
1 |
|
z |
3 |
(z +1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
resf(0) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
d |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||
формуле (2.62) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
z |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d z |
|
|
|
z |
(z + |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
(z +1) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! z→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
|
|
2! z→0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
= |
1 |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
= 1. Таким образом |
|
I = 2 πi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(z +1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 z→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
в) |
|
|
Подынтегральная функция |
f (z) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет три особых |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
z2 + |
1 |
(z − 3) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки: z1 = −i, |
|
|
|
|
|
z3 = 3. Но |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
z2 = i, |
|
z3 = 3 |
|
|
|
лежит |
|
|
|
вне |
квадрата |
(рис. |
|
2.26). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычеты функции относительно ее простых полюсов |
z1 и |
z2 |
определяем по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формуле (2.61), положив ϕ(z) = ez , ψ(z) |
|
|
|
( |
z |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
2 + |
1 |
(z − 3). Тогда в силу (2.65) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получаем ∫ |
( |
|
|
|
ez dz |
|
= 2 πi[resf (− i)+ resf (i)]= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z2 |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
(z − 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
139
|
|
|
|
|
|
|
e−i |
|
|
|
|
|
|
|
|
ei |
|
|
|
|
|
|
|
|
e−i |
|
|
|
|
|
ei |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
2πi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= π |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
− 2i(− i − 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2i(i − 3) |
|
|
|
i + 3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
e−i |
( |
i − 3 |
|
|
e−i |
( |
i + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
e |
i |
+ |
e |
−i |
|
|
|
e |
i − |
e |
−i |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= π |
|
|
) |
+ |
|
|
|
) |
|
|
= − |
|
|
|
2 i |
|
|
|
|
|
|
− 6 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
−10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−10 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= |
π |
|
(2 i ch i − 6 sh i) |
= π(3sh i − i ch i). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
= |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
• z2 = i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• z2 = i |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z3 = 3 |
||||||||||||||||
|
z4 = −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
• z3 = −i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• z1 = −i |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.26 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
г) |
Функция f(z) = (2z −1)cos |
|
z |
|
аналитична в круге |
|
|
z |
|
|
< 2 всюду, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
кроме точки |
z = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Для определения типа особенности и вычета необходимо |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
разложить функцию в ряд Лорана в кольце 0 < |
|
z −1 |
|
< 1. |
|
Предварительно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
найдем |
cos |
|
|
= cos |
1 |
+ |
|
|
|
= cos1cos |
|
|
|
sin1sin |
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||||||||||||||||||
z −1 |
z |
|
z −1 |
z |
−1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= cos1 |
|
|
|
2 +K |
− sin1 |
|
|
|
1 |
3!(z −1) |
|
+K . Легко видеть, что |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2(1 − z) |
|
|
|
|
|
z − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
разложение |
функции |
( |
2z −1)cos |
|
|
z |
|
|
= |
[ |
2(z −1)+1 cos |
|
z |
|
|
|
|
содержит |
||||||||||||||||||||||||
|
z −1 |
|
|
z − |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] |
|
|
|
||||||||||||||||||
бесконечно |
много |
членов с |
отрицательными степенями; |
|
значит z = 1− |
существенно особая точка. Так как вычет равен коэффициенту при (z −1)−1 , то
получаем |
z |
|
resf(1) = a−1 = −(cos1 + sin1). |
Следовательно, |
|||
|
∫ (2z −1)cos |
dz = = −2πi(cos1 + sin1). |
|
||||
z −1 |
|
||||||
|
z |
|
=2 |
|
|
||
|
|
|
|
140
д) Подынтегральная функция имеет 3 особых точки: z = 0− полюс 6-го порядка, z = ±i − простые полюсы, и все они принадлежат кругу z < 2 .
Можно применить основную теорему о вычетах, но удобнее вычислять, пользуясь вычетом относительно бесконечно удаленной точки:
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = ∫ |
|
|
2 z |
+1 |
|
dz = −2 πi resf(∞). |
|
|||||||||||||
|
|
0 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
z |
|
=2 |
z |
( |
z |
+ |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Разложение подынтегральной функции в ряд Лорана в окрестности точки |
||||||||||||||||||||
z = ∞ можно получить, |
деля числитель на знаменатель по правилу деления |
|||||||||||||||||||
многочленов |
|
2 z |
7 |
+1 |
= |
2 |
− |
2 |
+ |
2 |
− |
2 |
+K. Здесь |
a−1 = 2 , значит: |
||||||
|
z3 |
+ z6 |
|
z |
z3 |
z5 |
z7 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
resf(∞) = −2 , следовательно, |
I = 4 πi . |
|
|
|
141
УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
РАЗДЕЛ: «ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО»
3. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ