УМК

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ)

Кафедра математики

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

дисциплины «Математика»

________________________________________________________________________________

РАЗДЕЛ 9 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Теоретические основы Методические указания для студентов Материалы для самостоятельной работы студентов

Уфа 2010

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ ИНФОРМАЦИЯ О РЕЦЕНЗЕНТАХ АННОТАЦИЯ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

1.1. Предварительные сведения

1.2. Основные понятия 1.3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися

переменными 1.4 Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним

1.5 Линейные уравнения

1.6. Уравнения Бернулли 1.7. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

1.8. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия 1.9. Уравнения, допускающие понижение порядка

1.10. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Определения и общие свойства.

1.11. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

1.12. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n - го порядка с постоянными коэффициентами 1.13. Метод вариации произвольных постоянных 1.14. Метод неопределенных коэффициентов 1.15. Системы дифференциальных уравнений

1.16. Задачи, приводящие к дифференциальному уравнению 1.17. Введение в теорию уравнений математической физики

1.18. Дифференциальные уравнения в частных производных. Основные определения и понятия 1.19. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка и свойства их решений

1.20. Классификация линейных уравнений и приведение их к каноническому виду 1.21. Основные уравнения математической физики

1.22. О постановке задачи математической физики и ее корректности 1.23. Уравнения гиперболического типа. Вывод уравнения колебания струны

1.24. Формулировка краевых задач. Граничные и начальные условия 1.25. Колебания однородной бесконечной струны. Формула Даламбера

1.26. Физическая интерпретация формулы Даламбера

1.27. Задача Коши для полубесконечной струны 1.28. Метод Фурье для уравнения свободных колебаний струны

1.29. Решение смешанной краевой задачи для неоднородного гиперболического уравнения при нулевых граничных условиях 1.30. Решение неоднородного гиперболического уравнения при неоднородных граничных условиях. (Общая первая краевая задача)

1.31. Уравнения параболического типа. Вывод уравнения

теплопроводности (одномерный случай)

1.32. Начальное и граничные условия, их физическое толкование. Постановка задач 1.33. Распространение тепла в стержне конечной длины.

Решение некоторых краевых задач линейной теплопроводности методом Фурье 1.34. Распространение тепла в бесконечном стержне. Решение

задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности методом интеграла Фурье 1.35. Пространственная задача теплопроводности. Распространение тепла в шаре

1.36. Уравнения эллиптического. Задачи, приводящие к уравнениям Пуассона и Лапласа 1.37. Постановка основных краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона

1.38. Решение краевых (граничных) задач для простейших областей методом разделения переменных 1.39. Заключение

2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

2.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия 2.2. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

2.3. Однородные дифференциальные уравнения 2.4. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным

2.5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

2.6. Уравнения Бернулли

2.7. Уравнения в полных дифференциалах

2.8. Дифференциальные уравнения высших порядков 2.9. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 2.10. Линейные уравнения высших порядков

2.11. Линейные однородные дифференциальные уравнения n – го порядка с постоянными коэффициентами

2.12. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n – го порядка с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных 2.13. Нахождение частного решения линейного неоднородного

уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов 2.14. Системы дифференциальных уравнений 2.15. Решение прикладных задач

2.16. Дифференциальные уравнения в частных производных. Вводные понятия 2.17. Классификация и приведения к каноническому виду

уравнений в частных производных второго порядка 2.18. Основные уравнения и постановка задач математической статистики

2.19. Колебания струны. Граничные и начальные условия. Постановка краевых задач 2.20. Решение уравнения колебаний струны методом

характеристик (методом Даламбера)

2.21. Решение уравнений колебаний методом Фурье 2.22. Уравнение теплопроводности. Постановка краевых задач

2.23. Решение уравнений теплопроводности методом Фурье

3. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

3.1. Контрольные вопросы 3.2. Задачи и упражнения для самостоятельной работы 3.3. Расчетные задания 3.4. Лабораторные работы Литература

АВТОРЫ:

Бахтизин Р.Н., Янчушка А.П., Хайбуллин Р.Я., АкмадиеваТ.Р., Аносова Е.П., Байрамгулова Р.С., Галиуллин М.М., Галиева Л.М., Галиакбарова Э.В., Гимаев Р.Г., Гудкова Е.В., Егорова Р.А., Жданова Т.Г., Зарипов Э.М., Зарипов Р.М., Исламгулова Г.Ф., Ковалева Э.А., Майский Р.А., Мухаметзянов И.З., Нагаева З.М., Савлучинская Н.М., Сахарова Л.А., Степанова М.Ф., Сокова И.А., Сулейманов И.Н., Умергалина Т.В., Фаткуллин Н.Ю., Хакимов Д.К., Хакимова З.Р., Чернятьева М.Р., Юлдыбаев Л.Х., Шамшович В.Ф., Якубова Д.Ф., Якупов В.М., Яфаров Ш.А.

8 – (347)2428715

E-mail: kafedra-matematiki@rambler.ru

РЕЦЕНЗЕНТЫ:

Кафедра программирования и вычислительной математики Башкирского государственного педагогического университета.

Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Р.М. Асадуллин.

Кафедра вычислительной математики Башкирского государственного университета.

Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Н.Д. Морозкин.

АННОТАЦИЯ

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика». Раздел 9 «Дифференциальные уравнения». Теоретические основы. Методические указания для студентов. Материалы для самостоятельной работы студентов.

В разделе «Теоретические основы» и «Методические указания для студентов» содержатся необходимые для изучения дисциплины «Математика», в объеме, предусмотренном ГОС для технических вузов, теоретический материал, способы и методы решения практических задач.

Раздел «Материалы для самостоятельной работы студентов» включает в себя: контрольные вопросы, задачи и упражнения для самостоятельной работы, расчетные задания, лабораторные работы, литературу.

Представлен перечень контрольных вопросов для контроля знаний, полученных студентами при изучении теоретических и методических основ дисциплины. Задачи и упражнения для самостоятельной работы студентов позволяют учащимся индивидуально во внеурочное время контролировать уровень усвоения материала по данной дисциплине.

Расчетные задания содержат задания для студентов, позволяющих отработать навыки решения задач практического содержания.

В разделе «Лабораторная работа» представлен теоретический материал, последовательность проведения лабораторной работы и данные для проведения лабораторной работы по вариантам.

При изучении дисциплины обеспечивается фундаментальная подготовка студента в области применения математики, происходит знакомство со стержневыми проблемами прикладной математики, базовыми приложениями, навыками и понятиями, обязательными для прочного усвоения последующих дисциплин и практического использования полученных знаний в решении конкретных задач, которые ставятся перед инженером.

Учебно-методический комплекс разработан для студентов, обучающихся по всем формам обучения по направлениям подготовки и специальностям, реализуемым в ГОУ ВПО УГНТУ.

© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2010

1.1 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Дифференциальные уравнения занимают особое место в математике и имеют многочисленные приложения во многих науках. Исследования природных процессов и изучение закономерностей общественных процессов приводят к

построению математических моделей, основой которых являются дифференциальные уравнения (ДУ). Теория обыкновенных ДУ исследует

случай, когда неизвестная функция и её производные, входящие в ДУ, зависят от одной переменной.

Пусть тело, имеющее температуру θ0 в момент времени t=0, помещено в среду температуры α (θ0 > α) . Если температура тела θ(t) , то требуется найти закон изменения температуры этого тела в зависимости от времени. Из физики известно, что скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Учитывая, что функция θ(t) убывающая, в силу механического смысла производной получаем

где k - коэффициент пропорциональности.

Соотношение (1.1) является математической моделью данного физического процесса. Оно называется дифференциальным уравнением, т.к. в него входит

неизвестная функция θ(t) и её производная. Решением ДУ (1.1) является функция

+ α , где С - произвольная постоянная. Её значение можно найти из условия θ(0) = θ0 , из которого следует, что θ0 = C + α . Таким образом, искомое

решение имеет вид

θ(t) = (θ0 − α)e−kt + α.

1.2 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1 Уравнение связывающее независимую переменную x, функцию y(x) и её производные y′ , y ′′,… ., y(n) , называется обыкновенным

дифференциальным уравнением.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2 Наивысший порядок производной, входящей в ДУ,

называется порядком дифференциального уравнения.

ПРИМЕР 1.1

y′ = x 2 sin y - обыкновенное ДУ 1-го порядка; y ′′+ xy′ = ex - обыкновенное ДУ 2-го порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3 Уравнение вида F(x, y, y′) = 0 или y′ = f(x, y)

называется ДУ первого порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4 Решение ДУ 1-го порядка F(x, y, y′) = 0 называется

получается тождество.

Процесс отыскания решения ДУ называется интегрированием ДУ. График решения ДУ называется интегральной кривой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.5 Условие, что при x=x0 функция y(x) должна быть равна заданному числу y0 , называется начальным условием. Начальное условие

записывается в виде y(x0)=y0 или y x =x 0 = y0 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.6 Общим решением ДУ 1-го порядка y′ = f(x, y) в

области Д называется функция y = ϕ(x, c) , удовлетворяющая условиям:

1.Функция y = ϕ(x, с) является решением ДУ при любом значении с из некоторого множества.

2.Каково бы ни было начальное условие y(x0)=y0 , где (x0,y0) Д ,

соответствует одна кривая из семейства интегральных кривых, проходящая через точку (x0,y0).

Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, т.е. в виде уравнения Φ(x, y, c, ) = 0 , то такое решение называется общим интегралом ДУ. Уравнение

Φ(x, y, c0 , ) = 0 в этом случае называется частным интегралом ДУ.