УМК

3.4.3. Лабораторная работа №3

«Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом прогонки»

Пусть на отрезке [a, b] требуется найти решение дифференциального уравнения

образованную системой равноотстоящих узлов xi = x0 + ih, i = 0,1,2,..., n. При

Используя эти формулы, получаем разностную аппроксимацию исходной задачи

Чтобы найти приближенные значения y0,y1,…,y n искомого решения, необходимо решить систему n+1 линейных уравнений (3.4.5) с n+1 неизвестным. Эту систему можно решить одним из стандартных методов решения систем линейных уравнений. Однако матрица системы (3.4.6) трехдиагональная, поэтому для ее решения применим специальный метод,

прогонки состоит в последовательном вычислении коэффициентов Vi и Ui, исходя из значений V0 = −γ0 / β0 ; U0 = ϕ0 / β0 . При обратном ходе прогонки по формуле (3.4.8.) последовательно определяются величины yn , yn −1,..., yn .

прогонки по рекуррентной формуле (3.4.8). Таким образом, метод прогонки позволяют найти точное решение системы (3.4.6), значит, погрешность решения краевой задачи (3.4.4) – (3.4.5) определяется только погрешностью разностной аппроксимации исходной задачи (3.4.6) и равна 0(h). Так как h=(b- a)/n, то выбирая n достаточно большим, можно добиться уменьшения погрешности ценой увеличения объема вычислений при решении системы

(3.4.6).

При практической оценке погрешности найденного решения обычно используется двойной пересчет и правило Рунге. Если y(xi) – точное значение

решения в узле xi ; a yi и yi приближением значения решения в том же узле,

полученные соответственно с шагом h и h/2, то оценка погрешности решения yi определяется формулой

yi − y(xi ) ≈ yi − yi / 3.

Задание к лабораторной работе №3

На отрезке [а; b] решить методом прогонки линейную краевую задачу

3.4.4. Лабораторная работа №4

«Табулирование решений уравнений математической физики»

Постановка задачи: Наиболее распространенным методом решения уравнений математической физики является метод Фурье (метод разделения переменных).

Метод Фурье позволяет записать решение уравнения в частных производных в виде бесконечного ряда. Для наглядной интерпретации полученного решения требуется умение получать числовые значения решения и строить его график. Эта задача, в свою очередь, сводится к необходимости нахождения суммы ряда с заданной точностью при различных значениях аргументов. Указанная процедура требует достаточно большого количества вычислений. Поэтому табулирование методом Фурье с высокой точностью возможно только с применением ЭВМ.

Алгоритм решения

1. Уравнения гиперболического типа Рассмотрим одномерное волновое уравнение (уравнение колебаний

струны)

и граничных условиях:

Условия (3.4.11) соответствуют закреплению струны на ее концах. Решение задачи (3.4.9) – (3.4.11) получается методом Фурье и имеет вид

Алгоритм нахождения (3.4.13) на ЭВМ достаточно прост.

Основная сложность, которая может возникнуть, - это определение числа N. Для решения этого вопроса необходимо найти некоторую функцию F(N, x i , t j ) несложного для расчета вида, которая удовлетворяет следующим

условиям:

lim F = 0 , r (x , t ) < F(N, x , t ).

N→∞ N i j i j

Тогда число N (количество слагаемых в сумме (3.4.13) можно для каждой узловой точки определить как наименьшее число n, для которого выполняется неравенство

F(n, x i , t j ) < ε.

Рассмотрим, как строится такая функция, на конкретном примере.

2. Уравнения параболического типа Рассмотрим одномерное неоднородное уравнение теплопроводности

и начальным условием

U(x,0) = ϕ(x).

Его решение методом Фурье имеет вид

U(x,0) = 1, t > 0 ;

U(0, t) = 0 , U(l, t) = 1, 0 < x < l .

Решение. Решая эту задачу методом Фурье, получим

2. Протабулировать решение уравнения теплопроводности при начальных условиях

U(x,0) = U1 − l − x (U1 − U 0 ) l

и граничных условиях

U(l, t) = U1 ; U(0, t) = U 2 .

Значения параметров U 0 , U1 , U 2 , соответствующих данному варианту, приведены ниже. Значения параметров l и α положим равны 1.

Порядок выполнения работы:

1.В соответствии с вариантом составляется краевая задача.

2.Находится решение поставленной краевой задачи методом Фурье.

3.Производится оценка погрешности остатка ряда Фурье.

4.Проводятся расчеты и анализ результатов.

ЛИТЕРАТУРА

Основная литература:

1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – т. 2. М.

Наука, 2003. – 416 с.

2.Игнатьева А.В. и др. Курс высшей математики. М. Высшая школа, 1964. –

688с.

3.Краснов М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. Высшая школа, 1983. – 126 с.

4.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М. высшая школа. 2004. – 415 с.

5.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.:

Наука, 1977. – 735 с.

6.Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. – М.:

Наука 1969. – 286 с.

7.Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. – М.: Наука, 1962. – 767 с.

8.Будак Б.М. – М.: Наука, 1980. – 687 с.

Дополнительная литература:

1. Очан Ю.С. Методы математической физики. – М.: Высшая школа, 1965. – 283 с.

Учебные пособия кафедры:

1.Методические указания к разделу «уравнения математической физики» (уравнения гиперболического типа)/Сост. Л.А. Сахарова, М.Ф. Степанова – Уфа: УНИ, 1989. – 41 с.

2.Математические указания к разделу «Уравнения математической физики» (уравнения параболического и эллиптического типов)/Сост. М.Ф. Степанова, Л.А. Сахарова. – Уфа: УНИ, 1991. – 40 с.

3.Методические указания к проведению лабораторной работы «Табулирование решений уравнений математической физики»/Сост. Р.Н. Бахтизин, Р.Я. Хайбуллин, А.Ф. Юкин – Уфа: УНИ, 1987.

4.Практикум по уравнениям математической физики. Сост. М.Ф. Степанова, В.А. Буренин, Л.А. Сахарова. – Уфа: УГНТУ, 2000.