УМК
.PDFu tt = 1/ 4u xx , 0 < x < 2, 0 < t < ∞,
18.18u(x,0) = x(x − 2), u t (x,0) = 0, u(0, t) = 0, u(2, t) = 0.
u tt = 1/ 4u xx , 0 < x < 1, 0 < t < ∞,
18.19u(x,0) = x(x −1), u t (x,0) = 0, u(0, t) = 0, u(1, t) = 0.
u tt = u xx , 0 < x < 1/ 2, 0 < t < ∞,
18.20u(x,0) = x(x −1/ 2), u t (x,0) = 0, u(0, t ) = 0, u(1/ 2, t) = 0.
u tt = 1/ 9u xx , 0 < x < 2, 0 < t < ∞,
18.21u(x,0) = x(x − 2), u t (x,0) = 0, u(0, t) = 0, u(2, t) = 0.
u tt |
= 9 /1u xx , 0 < x < 3 / 2, 0 < t < ∞, |
18.22 u(x,0) = x(x − 3 / 2), u t (x,0) = 0, |
|
u(0, t) = 0, u(3 / 2, t) = 0. |
|
u tt |
= 1/ 9u xx , 0 < x < 1, 0 < t < ∞, |
18.23u(x,0) = x(x −1), u t (x,0) = 0, u(0, t) = 0, u(1, t) = 0.
u tt = 9 /1u xx , 0 < x < 3, 0 < t < ∞,
18.24u(x,0) = x(x − 3), u t (x,0) = 0, u(0, t) = 0, u(3, t) = 0.
u tt = 9u xx , 0 < x < 1/ 2, 0 < t < ∞,
18.25u(x,0) = x(x −1/ 2), u t (x,0) = 0, u(0, t) = 0, u(1/ 2, t) = 0.
u tt = 9u xx , 0 < x < 2, 0 < t < ∞,
18.26u(x,0) = x(x − 2), u t (x,0) = 0, u(0, t ) = 0, u(2, t) = 0.
u tt = 1/ 4u xx , 0 < x < 3, 0 < t < ∞,
18.27u(x,0) = x(x − 3), u t (x,0) = 0, u(0, t) = 0, u(3, t) = 0.
u tt = 1/ 9u xx , 0 < x < 1, 0 < t < ∞,
18.28u(x,0) = x(x −1), u t (x,0) = 0, u(0, t) = 0, u(1, t) = 0.
u tt = 4 / 9u xx , 0 < x < 3 / 2, 0 < t < ∞, 18.29 u(x,0) = x(x − 3 / 2), u t (x,0) = 0,
u(0, t) = 0, u(3 / 2, t) = 0.
u tt = 1/ 9u xx , 0 < x < 2, 0 < t < ∞,
18.30u(x,0) = x(x − 2), u t (x,0) = 0, u(0, t) = 0, u(2, t) = 0.
u tt = 9 / 4u xx , 0 < x < 1, 0 < t < ∞,
18.31u(x,0) = x(x −1), u t (x,0) = 0, u(0, t) = 0, u(1, t) = 0.
Задание №19
Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке:
19.1 u′t = 16u′xx′ , 0 < x < 3, t > 0,
( ) = x 2 / 3, 0 ≤ x ≤ 3 / 2 u x,0
3 − x, 3 / 2 < x ≤ 3 u(0, t) = u(3, t) = 0
19.2 u′t = u′xx′ , 0 < x < 2, t > 0,
( ) = x 2 , 0 ≤ x ≤1 u x,0
2 − x, 1 < x ≤ 2 u(0, t) = u(2, t) = 0
19.3 u′t = 25u′xx′ , 0 < x < 5, t > 0,
( ) = 2x2 / 5, 0 ≤ x ≤ 5 / 2 u x,0
5 − x, 5 / 2 < x ≤ 5 u(0, t) = u(5, t) = 0
19.4 u′t = 16u′xx′ , 0 < x < 4, t > 0,
u(x,0) = x 2 / 2, 0 |
≤ x ≤ 2 |
4 − x, 2 |
< x ≤ 4 |
u(0, t ) = u(4, t) = 0
19.5 u′t = 4u′xx′ , 0 < x < 5, t > 0,
( ) = 2x2 / 3, 0 ≤ x ≤ 5 / 2 u x,0
5 − x, 5 / 2 < x ≤ 5 u(0, t) = u(5, t) = 0
19.6 u′t = u′xx′ , 0 < x < 3, t > 0,
( ) = 2x2 / 3, 0 ≤ x ≤ 3 / 2 u x,0
3 − x, 3 / 2 < x ≤ 3 u(0, t) = u(3, t) = 0
19.7 u′t = 25u′xx′ , 0 < x < 8, t > 0,
( ) = x 2 / 4, 0 ≤ x ≤ 4 u x,0
8 − x, 4 < x ≤ 8 u(0, t ) = u(8, t) = 0
19.8 u′t = 9u′xx′ , 0 < x < 2, t > 0,
( ) = x 2 , 0 ≤ x ≤1 u x,0
2 − x, 1 < x ≤ 2 u(0, t) = u(2, t) = 0
19.9 u′t = 16u′xx′ , 0 < x < 1, t > 0,
( ) = 2x2 , 0 ≤ x ≤1/ 2 u x,0
1 − x, 1/ 2 < x ≤1 u(0, t) = u(1, t) = 0
19.10 u′ |
= 4u |
′′ , 0 < x < 4, t > 0, |
|
t |
|
xx |
|
u(x,0) = x 2 / 2, 0 |
≤ x ≤ 2 |
||
|
|
4 − x, 2 |
< x ≤ 4 |
u(0, t ) = u(4, t) = 0
19.11 u′t = 9u′xx′ , 0 < x < 10, t > 0,
( ) = x 2 / 5, 0 ≤ x ≤ 5 u x,0
10 − x, 5 < x ≤10 u(0, t) = u(10, t) = 0
19.12 u′t = 25u′xx′ , 0 < x < 9, t > 0,
( ) = x 2 / 9, 0 ≤ x ≤ 9 / 2 u x,0
9 − x, 9 / 2 < x ≤ 9 u(0, t ) = u(9, t) = 0
19.13 u′t = 9u′xx′ , 0 < x < 3, t > 0,
u(x,0) = 2x2 / 3, 0 ≤ x ≤ 3 / 2 |
|
|
3 − x, 3 / 2 < x ≤ 3 |
u(0, t) = u(3, t) = 0 |
|
19.14 u′ |
= u′′ , 0 < x < 5, t > 0, |
t |
xx |
u(x,0) = 2x2 / 5, 0 ≤ x ≤ 5 / 2 |
|
|
5 − x, 5 / 2 < x ≤ 5 |
u(0, t) = u(5, t) = 0 |
|
19.15 u′ |
= 4u′′ , 0 < x < 7, t > 0, |
t |
xx |
( ) = 2x2 / 7, 0 ≤ x ≤ 7 / 2 u x,0
7 − x, 7 / 2 < x ≤ 7 u(0, t) = u(7, t) = 0
19.16 u′t = 25u′xx′ , 0 < x < 1, t > 0,
( ) = 2x2 , 0 ≤ x ≤1/ 2 u x,0
1 − x, 1/ 2 < x ≤1 u(0, t) = u(1, t) = 0
19.17 u′ |
= 9u |
′′ , 0 < x < 4, t > 0, |
|
t |
|
xx |
|
u(x,0) = x 2 / 2, 0 |
≤ x ≤ 2 |
||
|
|
4 − x, 2 |
< x ≤ 4 |
u(0, t ) = u(4, t) = 0
19.18 u′t = u′xx′ , 0 < x < 10, t > 0,
( ) = x 2 / 5, 0 ≤ x ≤ 5 u x,0
10 − x, 5 < x ≤10 u(0, t) = u(10, t) = 0
19.19 u′t = 4u′xx′ , 0 < x < 2, t > 0,
( ) = x 2 , 0 ≤ x ≤1 u x,0
2 − x, 1 < x ≤ 2 u(0, t) = u(2, t) = 0
19.20 u′t = 16u′xx′ , 0 < x < 8, t > 0,
( ) = x 2 / 4, 0 ≤ x ≤ 4 u x,0
8 − x, 4 < x ≤ 8 u(0, t ) = u(8, t) = 0
19.21 u′t = u′xx′ , 0 < x < 1, t > 0,
( ) = 2x2 , 0 ≤ x ≤ 3 / 2 u x,0
3 − x, 3 / 2 < x ≤ 3 u(0, t) = u(1, t) = 0
19.22 u′t = 25u′xx′ , 0 < x < 4, t > 0,
u(x,0) = x 2 / 2, 0 |
≤ x ≤ 2 |
4 − x, 2 |
< x ≤ 4 |
u(0, t ) = u(4, t) = 0
19.23 u′t = 16u′xx′ , 0 < x < 16, t > 0,
( ) = x 2 / 3, 0 ≤ x ≤ 3 u x,0
6 − x, 3 < x ≤ 6
|
u(0, t) = u(6, t) = 0 |
||
19.24 |
u′ |
= 4u |
′′ , 0 < x < 1, t > 0, |
|
t |
|
xx |
|
u(x,0) = 2x2 , 0 ≤ x ≤1/ 2 |
||
|
|
|
1 − x, 1/ 2 < x ≤1 |
|
u(0, t) = u(1, t) = 0 |
||
19.25 |
u′ |
= 9u |
′′ , 0 < x < 5, t > 0, |
|
t |
|
xx |
( ) = 2x2 / 5, 0 ≤ x ≤ 5 / 2 u x,0
5 − x, 5 / 2 < x ≤ 5 u(0, t) = u(5, t) = 0
19.26 u′t = 25u′xx′ , 0 < x < 6, t > 0,
( ) = x 2 / 3, 0 ≤ x ≤ 3 u x,0
6 − x, 3 < x ≤ 6 u(0, t) = u(6, t) = 0
19.27 u′t = 16u′xx′ , 0 < x < 12, t > 0,
( ) = x 2 / 6, 0 ≤ x ≤ 6 u x,0
12 − x, 6 < x ≤12 u(0, t ) = u(12, t) = 0
19.28 u′t = 16u′xx′ , 0 < x < 2, t > 0,
( ) = x 2 , 0 ≤ x ≤1 u x,0
2 − x, 1 < x ≤ 2 u(0, t) = u(2, t) = 0
19.29 u′t = 4u′xx′ , 0 < x < 6, t > 0,
( ) = x 2 / 3, 0 ≤ x ≤ 3 u x,0
6 − x, 3 < x ≤ 6 u(0, t) = u(6, t) = 0
19.30 u′t = 36u′xx′ , 0 < x < 3, t > 0,
( ) = x 2 / 3, 0 ≤ x ≤ 3 / 2 u x,0
3 − x, 3 / 2 < x ≤ 3 u(0, t) = u(3, t) = 0
19.31 u′t = 9u′xx′ , 0 < x < 8, t > 0,
( ) = x 2 / 4, 0 ≤ x ≤ 4 u x,0
8 − x, 4 < x ≤ 8 u(0, t ) = u(8, t) = 0
3.4.ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ
3.4.1.Лабораторная работа №1
«Приближенное решение дифференциального уравнения 1 – го порядка,
удовлетворяющее условию задачи Коши. Метод Эйлера»
Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения y′ = f (x, y), удовлетворяющее начальному условию y(x0 ) = y0 .
Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближенных значений y1; y2 ;...; yn решения уравнения y(x) в точках x1; x 2 ;...; xn . Чаще всего xi = x0 + ih, i = 1,2...; n. Точки xi называются узлами сетки, а величина h
–шагом (h > 0).
Вметоде Эйлера величины yi вычисляются по формуле
yi +1 = yi + h f (xi ; yi ), i = 0,1,2,... |
(3.4.1) |
Этот метод относится к группе одношаговых методов, |
в которых для |
расчета точки (xi +1; yi +1 ) требуется информация о последней вычисленной точке (xi ; yi ). Для оценки погрешности метода на одном шаге сетки разложим точное решение в ряд Тейлора в окрестности узла xi :
y(xi +1 ) = y(xi + h) = y(xi ) + y′(xi ) h + 0(h 2 )=
(3.4.2)
Сравнение формул (3.4.1) с разложением (3.4.2) показывает, что они согласуются до членов первого порядка по h, а погрешность формулы (3.4.1)
равна 0(h2 ). Если расчетные формулы численного метода согласуются с разложением в ряд Тейлора до членов порядка hp, то число p называется порядком метода. Таким образом, метод Эйлера метод первого порядка.
Задание к лабораторной работе №1
Найти приближенное решение дифференциального уравнения 1 – го порядка, удовлетворяющее условию задачи Коши методом Эйлера на отрезке
[0;3] с шагом 0,1
dy |
= f (x, y1 , y |
2 ), y(0)=y0 |
|
||
dx |
|
|
Номер |
f (x, y1 , y2 ) |
y1 |
|
y2 |
y0 |
|||||
вар. |
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0,01 |
0,5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0,02 |
1/3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
0,03 |
0,25 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
0,04 |
0,2 |
|
5 |
− y2 e |
0,8 x |
+ 2 y1 |
sin 2x |
0,05 |
1/6 |
||||
6 |
|
|
|
0,06 |
1/7 |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
0,07 |
0,125 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
0,08 |
1/9 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
0,09 |
0,1 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
0,10 |
1/11 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
0,01 |
0,5 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
0,02 |
1/3 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
0,03 |
0,25 |
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
0,04 |
0,2 |
|
15 |
tg (x y |
|
) |
+ e y1 |
2 x 2 −1 |
0,05 |
1/6 |
|||
16 |
2 |
0,06 |
1/7 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
17 |
|
|
|
|
|
|
|
0,07 |
0,125 |
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
0,08 |
1/9 |
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
0,09 |
0,1 |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
0,10 |
1/11 |
|
21 |
cos (x y2 )− y1 (x 2 − π) |
e−x3 |
0,01 |
0,5 |
||||||
22 |
0,02 |
1/3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
23 |
|
|
|
|
|
|
|
0,03 |
0,25 |
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
0,04 |
0,2 |
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
0,05 |
1/6 |
|
26 |
cos (x y2 )− y1 (x 2 − π) |
e−x |
3 |
0,06 |
1/7 |
|||||
27 |
|
0,07 |
0,125 |
|||||||
28 |
|
|
|
|
|
|
|
0,08 |
1/9 |
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
0,09 |
0,1 |
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
0,10 |
1/11 |
|
3.4.2. Лабораторная работа №2
«Приближенное решение задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений методом Эйлера»
Пусть требуется найти решение системы дифференциальных уравнений
|
y′ |
= f |
|
|
(x; y ; y |
|
;...; y |
|
|
), |
|
||||
|
i |
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
||
|
1 |
= f |
|
(x; y ; y |
|
;...; y |
|
), |
|
||||||
|
|
|
2 |
2 |
n |
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y′2 |
|
|
|
|
(x; y ; y |
|
|
|
|
|
), |
|
||
|
y′ |
= f |
n |
2 |
;...; y |
n |
|
||||||||
|
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
удовлетворяющее |
начальным |
|
|
|
условием |
|
y1 (x0 ) = y10 , y2 (x0 ) = y20 , |
||||||||
yn (x0 ) = yn 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приближенные значения yki точного решения yk (xi ) в точках xi |
|||||||||||||||
вычисляются по формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
yki |
= yki −1 + hfk (x1−i , y1(i −1), y2(i −1), yn (i −1) ), |
(3.4.3.) |
|||||||||||||
|
|
k = 1,2,..., n, i = 1,2,... |
|
|
|||||||||||
Задание к лабораторной работе №2
Приближенные решения задачи Коши системы дифференциальных уравнений методом Эйлера на отрезке [0;3]
с шагом h=0,3
d y |
1 |
|
= y2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
(0) = 0, |
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
d x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) = y20 . |
|
||
d y |
2 |
|
= f (x, y1 , y |
2 ); |
y |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
|
|
|
f (x, y1 , y2 ) |
|
|
|
a |
y20 |
||
вар. |
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,01 |
0,5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,02 |
1/3 |
3 |
|
|
|
|
− a e0,8 x |
|
|
|
0,03 |
0,25 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
0,04 |
0,2 |
||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,05 |
1/6 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,06 |
1/7 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,07 |
0,125 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,08 |
1/9 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,09 |
0,1 |
10 |
|
|
|
|
− a x y 2 − y1 |
|
|
|
0,01 |
0,5 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
0,02 |
1/3 |
||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,03 |
0,25 |