Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

3.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 292 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

изоклины x =			1	, поэтому tgα = 1 и α = 45o . При			c = −1 уравнение изоклины
изоклины x =				, поэтому tgα = 1 и α = 45o . При			c = −1 уравнение изоклины
2
x = −	1	, поэтому tgα = −1 и α = −45o и т.д.
x = −		, поэтому tgα = −1 и α = −45o и т.д.
2					1			1
Построив				четыре изоклины ( x = −	1	, x = 0, x =		1	, x = 1) и отметив на
Построив				четыре изоклины ( x = −		, x = 0, x =			, x = 1) и отметив на
				2			2

каждой из них ряд стрелок, наклоненных к оси OX под определенным углом (рис. 1.1), по их направлениям строим линии. Они представляют семейство парабол y=x2+С. Это и будут интегральные кривые.

Рассмотрим теперь методы интегрирования ДУ первого порядка.

1.3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.10 Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть

представлено в виде

dy	= f (x) g(y)	(1.2)

dx

или в виде

M1 (x)N1 (y)dx + M2 (x)N2 (y)dy = 0 ,

(1.3)

где f(x), g(у), M1(x), N1(y), M2(x), N2(y) - непрерывные функции, отличные от нуля. Для нахождения решения уравнения (1.3) надо разделить обе его части на

произведение N1 (y) M 2 (x)

M (x)			N		(y)
1		dx +	2			dy = 0,
M	(x)	dx +	N		(y)	dy = 0,
2				1

полученное уравнение с разделенными переменными проинтегрировать

	M (x)				N		(y)		(1.4)
∫		1		dx + ∫	2			dy = c .
	M	2	(x)		N		(y)
						1

Полученное соотношение (1.4) является общим интегралом для уравнения (1.3).

ПРИМЕР 1.4 Найти частное решение уравнения y′ sin x − y ln y cos x = 0,

удовлетворяющее начальному условию

6 = e .

Решение. Разделяем переменные в данном уравнении

sin x = y ln y cos x ,

cos x dx

, затем интегрируем ∫

= ∫

cos dx

y ln y

sin x

∫

d(ln y)

∫

d(sin x)

ln y

= ln

sin x

+ ln c .

После упрощения

получим

ln y

sin x

ln y = c sin x

−общий интеграл уравнения.

Подставим в

него

начальное

= e ;

условие y

ln e = c sin 6

, 1 =

Найденное с=2 подставим в общий

интеграл, получим

ln y = 2 sin x

или

y = e2 sin x – частное

решение ДУ с

разделяющимися переменными с заданным начальным условием.

1.4 ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРИВОДЯЩИЕСЯ К НИМ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.11 Функция f(x,y) называется однородной функцией n-го порядка (измерения) относительно x и y, если для любого значения λ

выполняется равенство f (λx, λy) = λn f (x, y) .

ПРИМЕР 1.5 Функция f (x, y) = x 2 + 5xy является однородной второго порядка, т.к. f (λx, λy) = (λx) 2 + 5 λx λy = λ2 (x 2 + 5xy) = λ2 f (x, y)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.12 Функция f(x,y) называется однородной нулевого порядка (измерения) относительно x и y, если для любого значения λ

выполняется равенство f (λx, λy) = λ0 f (x, y)

или

f (λx, λy) = f (x, y).

ПРИМЕР 1.6 Функция

f (x, y) = tg

является однородной нулевого

прядка, т.к. f (λx, λy) = tg

λy

(λx)3

= tg

= f (x, y) .

λx

(λy)3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

1.13

Дифференциальное

уравнение

вида

y′ = f (x, y) называется однородным относительно

x и y,

если f(x,y)

является

однородной функцией нулевого порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.14 Дифференциальное уравнение

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 называется однородным, если функции P(x,y), Q(x,y)-

однородные одного порядка.						уравнение y′ = f (x, y)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ	1.15		Дифференциальное			уравнение y′ = f (x, y)
называется однородным,	если		f(x,y)можно представить как функцию				только
		y	y
одного отношения переменных			, т.е. y′ = f	.
одного отношения переменных		x	, т.е. y′ = f	.
		x	x
Однородное уравнение с помощью подстановки					y	= t , где t = t(x)	- новая
Однородное уравнение с помощью подстановки						= t , где t = t(x)	- новая
					x

неизвестная функция сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Для

y = xt и y′ = t + xt′

(x′ = 1) подставляем в уравнение y′

этого

= f

, получаем

t + xt′ = f (t) или

xt′ = f (t)− t ,

t′ =

где

Разделяя переменные

f (t)− t

интегрируя

∫

= ln

+ C ,

получаем общий интеграл.

В окончательном

f (t)− t

решении необходимо t заменить на выражение

ПРИМЕР 1.7 Решить дифференциальное уравнение

(x 2 + y2 )dx − 2xy dx = 0 .

Решение.

Разрешая

уравнение

относительно

производной

y 2

2 + y2

1 +

= y′ =

устанавливаем, что y′ является функцией

= f

2xy

только отношения переменных

. Т.е.

данное

уравнение является однородным.

Далее вводим новую функцию t =

, тогда y = xt , а y′ = t + xt′ (x′ = 1).

После

1 +

подстановки y и y′

в уравнение y′ =

, оно преобразуется в уравнение с

разделяющимися переменными

t + xt′ =

1 + t 2

или xt′ =

1 − t 2

, где t′ =

Разделяем переменные

2t dt

, интегрируем

1 − t 2

x(1 − t 2 )= ±C .

− ln

1 − t 2

= ln

− ln C или ln

+ ln

1 − t 2

= ln C , тогда

Обозначим C1 = ±C .

Исключая

вспомогательную

функцию

t t =

окончательно получим общий интеграл

2 = x 2 − c x .

a1x + b1y + c1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.16

Уравнение

вида y′ =

называется

a2x + b2y + c2

уравнением, приводящимся к однородному, если определитель, составленный

из

коэффициентов

при

не

равен

нулю,

≠ 0 , т.е.

a1 b2 − a 2 b1 ≠ 0 .

Если же

= 0 ,

т.е.

− a

= 0 , то уравнение приводится

a 2

уравнению с

разделяющимися

переменными с

помощью

подстановки

z(x)= a 2 x + b2 y

или

z(x)= a 2 x + b2 y + c2 или

z(x)= a1x + b1y + c1 .

Рассмотрим эти два случая более подробно.

1) Пусть в уравнении y′ =

x + b y + c

≠ 0 . Сделаем подстановку

a 2 x + b2 y + c2

a 2

x = x1 + α , y = y1 + β , где x1

и y1

новые переменные вместо x и y , α и β -

неизвестные числа, подбираемые так, чтобы уравнение стало однородным. Так как

dx = dx

, dy = dy , а y′ =

, то y′ =

dy1

и уравнение примет вид:

dx1

dy1

a1 (x1 + α)+ b1

(y1 + β)+ c1

или

+ α)

+ b

(y + β)+ c

dy1

a1x1 + b1y1 + (a1α + b1β + c1 )

+ b

y +

α + b

β + c

)

Это уравнение будет однородным, если

числа

α и

β подобрать так, чтобы

выражения в скобках были равны нулю,

т.е.

a α + b β + c = 0,

Получаем

a1x1 + b1y1

a 2α + b2β + c2 = 0.

однородное

уравнение

dy1

которое в

дальнейшем с

помощью

dx1

a 2 x1 + b2 y1

подстановки t = y1 сводится к уравнению с разделяющимися переменными. x1

Решив его, следует заменить

на

x − α и

на

y − β.

y′

x + b y + c

Пусть

уравнении

= f

= 0 ,

т.е.

a 2

a 2 x + b2 y + c2

− a

b = 0 или

. Обозначим последнее через k , тогда

= k ,

a 2

= k

или

= ka

b = kb

. Введем замену

z(x)= a

x + b

y , тогда

a1x + b1y + c1 = ka 2 x + kb2 y + c1 = k(a 2 x + b2 y)+ c1 = kz + c1 ,

a 2 x + b2 y + c2 = z + c2 .

z′ = (a 2 x + b2 y)′ = a 2 + b2 y′,

отсюда

y′ =

(z′ − a 2 )

уравнение

x + b y + c

kz + c

y′

= f

примет вид

(z′ − a

)= f

. После несложных

a 2 x + b2 y + c2

z + c

преобразований получим dz dx

			b	z + c
			1		1
			b2
		f
= b	2					+ a	2	.
= b			z + c2			+ a		.
			z + c2

разделяющимися переменными, следует заменить z на

ПРИМЕР 1.8 Найти общий (x + 2y +1) dx − (2x + y −1) dy = 0 .

Решив это уравнение с

a 2 x + b2 y .

интеграл уравнения

Решение. Запишем уравнение

виде

y′ =

x + 2y +1

Вычислим

2x + y −1

определитель, составленный из коэффициентов при

x и y

= −3 ≠ 0 .

Следовательно, уравнение сводится к однородному. Введем замену

x = x1 + α ,

y = y1 + β ,

где x1 и y1 - новые переменные вместо x и y ,

α и β -

неизвестные

числа. Так как dx = dx

, dy = dy , а y′ =

, то y′ =

dy1

и уравнение примет вид:

dx1

dy1

(x1 + α)+ 2(y1 + β)+1

dy1

x1 + 2y1 + (α + 2β +1)

или

Оно станет

2(x

+ α)+ (y + β)−1

+ y

+ (2α + β −1)

однородным, если числа α и β подобрать так, чтобы выражения в скобках были

равны нулю. Решая систему

α + 2β +1 = 0,

находим α = 1, β = −1. Уравнение

2α + β −1 = 0,

примет вид

dy1

x1 + 2y1

. Оно является однородным.

Сделав подстановку

dx1

2x1 + y1

= t x

y′

= t′x

+ t,

где

t′ =

приведем

его

уравнению с

dx1

разделяющимися

переменными

решим:

t′ x1

+ t =

x1 + 2tx1

2x1 + tx1

t′ x1 =

1 + 2t

− t,

1 − t 2

2 + t

dx1

+ t

1 − t 2

dx1

1 + t

−

1 − t

= ln

+ ln

∫

dt = ∫

1 − t

1− t 2

		1 + t			= x1c .


(1 − t) 1 − t 2
(1 − t) 1 − t 2
		(x1 + y1 ) x1
(x		− y )
(x	1	− y )	x	2	− y 2
	1	1		1	1

1 +

Заменяем

t на

, имеем

= x1 c ,

−

1 −

= x1 c ,

= c(x1 − y1 )

x1 + y1

x1 − y1

x	1	+ y = c2 (x		1	− y	)2 (x	1	− y ),	x	1	+ y	= c2 (x	1	− y )3 .	Пусть c2 = c .
	1	1		1	1		1	1		1	1		1	1	1
Заменяем x1			на		x − α = x −1, y1 на				y − β = y +1, тогда x + y = c1 (x − y − 2)3 -
общий интеграл данного уравнения.
						1.5 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
		ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.17 Дифференциальное										уравнение			называется
линейным,			если			оно		линейно (т. е. первой степени) относительно искомой
функции у и ее производной y′ . Общий вид линейного уравнения
								y′ + P(x)y = Q(x).							(1.4)

Если Q(x)≠ 0 , уравнение называется линейным неоднородным, если

Q(x)=0 – линейное однородное.

Рассмотрим два метода решения линейного неоднородного уравнения.

I метод. Метод подстановки или метод И.Бернулли.
Линейное уравнение сводится к двум уравнениям с		разделяющимися
переменными. Искомую функцию у заменяем	произведением двух
вспомогательных функций u=u(x) и v=v(x), т.е. y=uv.	Тогда	y′ = u′v + uv′ и
данное уравнение (1.4) примет вид u′v + uv′ + P(x)uv = Q(x) или
u′v + u(v′ + P(x)v) = Q(x).		(1.5)

Пользуясь тем, что одну из вспомогательных функций, например v(x), можно выбрать произвольно, подберем её так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е.

v′ + P(x)v = 0 ,	где	v′ =	dv	.

			dx
В качестве v возьмем одно из частных решений v=v(x) этого					уравнения с
разделяющимися переменными. Подставляя		найденное v = v(x)			в уравнение
(1.5), и, учитывая, что v′ + P(x)v = 0 ,	получим уравнение относительно второй

вспомогательной функции u:
u′v = Q(x), где u′ =	du	,	(1.6)

	dx

которое также является уравнением с разделяющимися переменными. Находим общее решение уравнения (1.6) в виде u=u(x,C). Затем, перемножив найденные u

и v , запишем общее решение линейного уравнения (1.4): y = u(x, C) v(x).

ПРИМЕР 1.9 Найти общее решение уравнения y′ − y ctg x =

sin x

Решение.

Это

уравнение линейно

относительно y

y′.

Здесь

P(x) = −ctgx ,

Q(x) =

. Полагаем y=uv;

тогда y′ = u′v + uv′

данное

sin x

уравнение примет вид

u′v + uv′ − uv ctg x =

или

sin x

u′v + u(v′ − v ctg x) =

(1.7)

sin x

Решая уравнение

v′ - v ctg x = 0 ,

найдем

его простейшее частное

решение

v = v(x):

= v ctg x;

= ctg x dx; ln

= ln

sin x

, откуда v=sin x. Подставляя

v в уравнение (1.7),

получим уравнение u′sin x =

из которого находим

sin x

u = u(x, c):

sin x =

; du =

u = −ctg x + C. Итак, искомое общее

sin x

sin 2

решение y = uv ,

y = (− ctg x + C)sin x

или

y = − cos x + C sin x .

II метод. Метод вариации произвольной постоянной или метод Лагранжа.

Сформулируем

этапы

решения

линейного

неоднородного

уравнения

y′ + P(x)y = Q(x).

1) Составляется соответствующее однородное уравнение

y′ + P(x)y = 0 .

Это уравнение с

разделяющимися переменными.

Так

как y′ =

то

= −P(x)y . Разделяя переменные и интегрируя ∫

= −∫P(x)dx , получим

y= c e−∫P(x )dx

-это общее решение однородного уравнения.

2)Произвольную постоянную с заменяем функцией с(x) и ищем общее

решение неоднородного уравнения (1.4) в виде

y = c(x) e− ∫P(x )dx .


Функцию c(x) находим, подставляя y и					y′ в неоднородное уравнение (1.4).
Рассмотрим	более	подробно. Находим					− ∫P(x )dx	′
					производную: y′ = c(x) e			,
y′ = c′(x) e−∫ P(x )dx + c(x) e−∫ p(x )dx (− p(x)).
					Подставим y и y′	в неоднородное
уравнение	(1.4):	c′(x) e−∫p(x )dx − c(x) p(x) e− ∫p(x )dx + c(x)p(x)e− ∫p(x )dx = Q(x),
откуда c′(x)e−∫ p(x )dx = Q(x) или			dc(x)	= Q(x)e∫p(x )dx . Разделяя		переменные		и

интегрируя ∫dc(x)= ∫Q(x)e∫p(x )dx dx , находим искомую функцию c(x)= ∫Q(x) e∫ p(x )dx + c1.

Подставляя найденное c(x) в

равенство

y = c(x) e−∫P(x )dx , получаем

общее

решение линейного неоднородного уравнения

y = (

∫

Q(x) e∫ P(x )dx dx + c ) e−∫ p(x )dx .

ПРИМЕР 1.10 Решить уравнение y′ + 2xy = 2x .

Решение.

Запишем соответствующее линейное однородное уравнениеy′ + 2xy = 0 .

Это

уравнение

разделяющимися

переменными.

Тогда

= −2xy,

= −2xdx,

∫

= −2∫xdx,

= −x 2 + ln c,

= e−x 2

y = c e− x 2

- общее решение однородного линейного уравнения.

Полагаем

с=с(x)

ищем

решение

неоднородного

уравнения

y′ + 2xy = 2x

в виде y = c(x) e− x 2

. Найдем функцию с(х). Для этого

y и y′:

y′ = c′(x) e−x 2

+ c(x) e− x 2 (− 2x)

подставим в

неоднородное

уравнение

c′(x)e−x 2 − 2x c(x)e− x 2 + 2x c(x)e− x 2 = 2x,

отсюда

c′(x)e− x 2

= 2x,

или

c′(x)= 2x ex2 .

Интегрируя, получим

функцию

c(x):

c(x)= ∫ex 2 2xdx ,

с(x)= ∫ex 2

d(x 2 ).

Подставляя

найденное

c(x)= ex 2

+ c1 в

равенство

y = c(x) e− x 2

запишем

общее

решение

линейного

неоднородного

уравнения

y = (ex 2

+ c ) e− x 2

или

y = 1 + c e−x 2 .

Замечание Дифференциальное уравнение

x′ + P(y) x = Q(y) линейно

относительно x, x′.

Замена x = u v , где u = u(y),

v = v(y).

1.6 УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.18

Уравнение вида

y′′+ P(x)y = Q(x) yα ,

α R (α ≠ 0, α ≠ 1)

(1.8)

называется уравнением Бернулли.

При α = 0 уравнение является линейным, при α = 1 - с разделяющимися переменными. Рассмотрим 2 способа решения:

I способ.

Разделив обе части уравнения на yα ≠ 0 , получаем:

y−α y′ + P(x) y−α+1 = Q(x).

Обозначим

y−α+1 = z .

Найдем

z′

как

производную

сложной

функции

z′ = (1 − α)y−α y′, откуда

y−α y′ =

z′

. Тогда уравнение (1.8) примет вид

1 − α

z′ + P(x)z = Q(x).

1 − α

Оно является линейным относительно z и z′

и решается одним из приведенных в

параграфе 1.5 способов.

ПРИМЕР 1.11 Решить уравнение y′ −

y =

Решение. Это уравнение Бернулли. Здесь

P(x) = −

, Q(x) =

x 2

, α = −1.

Разделим обе части на

y-1 : yy′ −

y2 =

x 2

Сделаем замену z = y2 , тогда

z′

z′ = 2yy′, откуда

yy′ =

−

z =

x 2

и уравнение

примет

вид

или

z′ −

z = x 2 .

Оно

является линейным

относительно

z и z′.

Сделаем замену

u = u(x, c),

v = v(x).

Подставим z

z′ = u′v + uv′ в уравнение

z = u v , где

z′ −

z = x 2 :

u′v + uv′ −

uv = x 2 ,

u′v + u v′

−

= x 2 .

Оно распадается на

два уравнения с разделяющимися переменными

v′ −

v = 0 (1)

u′v = x 2 (2). Из

уравнения (1) найдем частное решение v = v(x):

, ln

= ln

, v = x. Из

x 2

уравнения (2)

найдем общее решение u = u(x, c): u′ x = x 2 , u′ = x, u =

+ c .

Так как z = uv , то z =

+ cx, но

z = y2 , тогда y = ±

. Окончательно, общее

решение уравнения Бернулли: y = ±

+ cx .

<<< < Предыдущая 12 / 292 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2015683.52 Кб13УМК по КП. бак 30.10.2012.doc
#
19.09.2019195.07 Кб2УМК-КУ ПОЭ.doc
#
17.03.2015661.5 Кб75УМК.doc
#
17.03.20151.66 Mб62УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб102УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб91УМК.PDF
#
17.03.20151.09 Mб47УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб46УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб20УМК11.pdf
#
17.03.20151.57 Mб135УМК6.pdf
#
17.03.2015430.08 Кб10УМП . Сб. к.р.2011.doc