УМК

По таблице находим Φ(2,5) = 0,4938 и Φ(1,25) = 0,3944 .

Искомая вероятность P400(70;100) = Φ(2,5) − Φ(−1,25) = Φ(2,5) + Φ(1,25) =

=0,4938 + 0,3944 = 0,8882 .

2.7.СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Для теории вероятностей характерно то, что результаты рассматриваемых

экспериментов можно представить числом, причем случайный характер исхода влечет и случайность этого числа.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять какое-либо числовое значение, заранее нам не известное.

Как видно из примеров по типу множества возможных значений случайные величины бывают дискретные и непрерывные.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого промежутка.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Существует универсальный способ задания закона распределения, который годится для случайных величин любого типа: функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), равная вероятности того, что X примет значение меньше, чем число x , то есть

F(x ) = P(X < x). Иногда ее называют интегральной функцией распределения.

Из определения следует: 0 ≤ F(x ) ≤ 1 и P(a < X < b) = F(b) − F(a ). Непрерывную случайную величину можно также задать, используя

другую функцию f (x) = F′ (x), которую называют плотностью распределения вероятностей (иногда ее называют дифференциальной функцией).

Из определения следует:

Одна из числовых характеристик, фиксирующая положение случайной величины на числовой оси, то есть некоторое среднее, ориентировочное значение случайной величины, около которого группируются ее возможные значения – математическое ожидание M(X).

Математическое ожидание вычисляется:

M(X)= ∑xi pi − для дискретной случайной величины;

Дисперсия D(X)− есть характеристика рассеяния, разбросанности случайной величины около ее математического ожидания.

Дисперсия вычисляется:

D(X)= ∑[x i − M(X)]2 pi − для дискретной случайной величины;

i

D(X)= +∫∞ [x − M(X)]2 f (x)dx −для непрерывной случайной величины.

−∞

Иногда дисперсию удобно вычислять по следующей формуле:

D(X)= M(X 2 )− {M(X)}2

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому вводится еще одна характеристика рассеяния – среднее

квадратическое отклонение

σ(X)= D(X)

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1.M(C)= C , где C = const ;

2.M(C X)= C M(X), где C = const ;

3.M(X1 + X 2 + K + X n )= M(X1 )+ M(X 2 )+ K + M(X n );

4.M(X1 X 2 K X n )= M(X1 ) M(X 2 ) K M(X n ), если

X1 , X 2 ,K, X n − взаимно независимые случайные величины.

Дисперсия обладает следующими свойствами:

1.D(C)= 0 , где C = const ;

2.D(C X)= C 2 D(X), где C = const ;

3.D(X1 + X 2 + K + X n )= D(X1 )+ D(X 2 )+ K + D(X n ), если

X1 , X 2 ,K, X n − независимые случайные величины.

Примеры решения задач

Пример 2.36. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 10 рублей. Написать закон распределения случайной величины X − стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Контроль: 0,01+0,1+0,89=1.

Пример 2.37. Функция распределения непрерывной случайной величины

P(0,25 < x < 0,25)= F(0,5)− F(0,25)= 0,52 − 0,252 = 0,1875 .

Пример 2.38. Дискретная случайная величина X задана законом

б) Дисперсию можно вычислить двумя способами:

D(x )= (4 − 8)2 0,5 + (6 − 8)2 0,3 + (21 − 8)2 0,2 = 8 + 1,2 + 33,8 = 43 .

Для второго способа напишем закон распределения случайной величины

X 2 :

M(X 2 )= 16 0,5 + 36 0,3 + 441 0,2 = 8 +10,8 + 88,2 = 107 D(X)= M(X 2 )− {M(X)}2 = 107 − 82 = 107 − 64 = 43.

2.8. НЕКОТОРЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины X − числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p . Возможные значения случайной величины: 0,1,K, n , а соответствующие вероятности

вычисляются по формуле Бернулли:

Pn (k )= Ckn p k q n −k .

Случайная величина X , распределенная по биномиальному закону, имеет

M(X)= n p; D(X)= n p q .

Предельным для биномиального, когда число n неограниченно увеличивается ( n − велико) и одновременно вероятность p неограниченно уменьшается ( p − мало) является закон Пуассона. Возможные значения случайной величины, подчиненной закону Пуассона: 0,1,K, n , а соответствующие вероятности вычисляются по формуле:

Для данного закона распределения M(X)= λ; D(X)= λ . Геометрическим называется закон распределения дискретной случайной

величины X − числа испытаний, проводимых до тех пор, пока не наступит некоторое событие, причем вероятность появления этого события в каждом

Случайная величина X имеет гипергеометрическое распределение с

параметрами a, b, n , если ее возможные значения 0,1,K, а имеют вероятности:

Гипергеометрическое распределение возникает при следующих условиях: имеется урна, в которой a белых и b черных шаров, из нее вынимается n шаров. СВ X − число белых шаров среди вынутых.

Числовые характеристики случайной величины X , имеющей гипергеометрическое распределение, равны

Пример 2.40. На автоматическую телефонную станцию поступает простейший поток вызовов с интенсивностью 0,8 вызов/мин (простейший – определяется законом Пуассона). Найти вероятность того, что за две минуты: а)не придет ни одного вызова; б)придет ровно один вызов; в)придет хотя бы один вызов.

б) P(1)= e −1,6 1,6 ≈ 1,6 0,202 ≈ 0,323; 1!

в) P(X ≥ 1)= 1 − P(0)≈ 1 − 0,202 = 0,798 .

2.9. НЕКОТОРЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Говорят, что СВ X имеет равномерное распределение на участке от a до b , если ее плотность f (x ) на этом участке постоянна, то есть

Например, производится измерение какой-то величины с помощью прибора с грубыми делениями; в качестве приближенного значения измеряемой величины берется ближайшее целое. СВ X − ошибка измерения распределена

величины ничем не предпочтительнее других.

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

где λ − постоянная положительная величина.

Примером непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока.

Часто длительность времени безотказной работы элементы T имеет

показательное распределение, функция распределения которого

F(t)= P(T < t)= 1 − e−λ t , (λ > 0)

определяет вероятность отказа элемента за время длительностью t .

λ − интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени).

Нормальный закон распределения (иногда называемый законом Гаусса)

играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Плотность распределения нормального закона имеет вид

где m − математическое ожидание,

σ − среднее квадратическое отклонение X .

Вероятность того, что нормально распределенная СВ X примет значение,

где Φ(x ) − функция Лапласа. Ее значения определяются из таблицы приложения учебника по теории вероятностей.

Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X от математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числа δ, вычисляется по формуле

Примеры решения задач

Пример 2.41. Цена одного деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляются до ближайшего целого деления. Найти вероятность

того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.

Решение. Ошибку округления можно рассматривать как СВ X , которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними делениями.

Пример 2.42. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение F(t ) =1 − e−0,01t (t > 0). Найти вероятность того,

Если различным значениям СВ X соответствуют различные значения СВ Y , то вероятности соответствующих значений равны; если же различным значениям СВ X соответствуют значения СВ Y , среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений Y .

Математическое ожидание функции

функция ϕ(x ) монотонна, и найти плотности распределений g i (y) для каждого

из интервалов монотонности, а затем представить g(y) в виде суммы g(y)= ∑g i (y).

Например, если функция ϕ(x ) монотонна в двух интервалах, в которых соответствующие обратные функции равны ψ1 (y) и ψ2 (y), то

D(Y)= D(ϕ(x ))= +∞∫ ϕ2 (x ) f (x)dx − [M(ϕ(x))]2 .

−∞

Примеры решения задач

Пример 2.45. Дискретная случайная величина X задана законом распределения

Найти закон распределения случайной величины Y = X 2 + 3 и ее

математическое ожидание.

Решение. Найдем возможные значения Y :

(−1)2 + 3 = 4; 02 + 3 = 3; 12 + 3 = 4; 22 + 3 = 7 .

M(y)= ((−1)2 + 3) 0,1 + (02 + 3) 0,2 + (12 + 3) 0,4 + (22 + 3) 0,3 = = 3 0,2 + 4 0,5 + 7 0,3 = 0,4 + 0,6 +1,6 + 2,1 = 4,7 .

Пример 2.46. Дана нормально распределенная случайная величина X с m = 0 и σ = 1. Найти закон распределения СВ Y = −X + 2 .