Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК

.PDF

Скачиваний:

102

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

2.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2315 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Так как y = x 2 , причем − ∞ < x < ∞, то 0 < y < ∞. Таким образом

0,								y ≤ 0,
g(y)=			1		−		y
g(y)=			1		−
				e 2 , y > 0.
				e 2 , y > 0.
2πy
Пример 2.48. Случайная величина X задана плотностью
0,					x ≤ 0,

f (x )=	1	, 0 < x ≤ 3,
f (x )=		, 0 < x ≤ 3,
3					x > 3.
0,					x > 3.

Найти математическое ожидание случайной величины Y = 3X + 5.
Решение.			I способ: Найдем M(X)=											a + b					=		3 + 0		=			3		.
Решение.			I способ: Найдем M(X)=																=		2		=					.
															2						2			2
По свойствам математического ожидания
M(Y)= M(3X + 5)= 3M(X)+ 5 = = 3																		3		+ 5 =		19			.
M(Y)= M(3X + 5)= 3M(X)+ 5 = = 3																				+ 5 =					.
																	2				2
II способ: Воспользуемся												формулой				M(Y)= ∞∫ϕ(x) f (x)dx . Тогда,
													3								−∞
3				1					1	3x	2					1 27											19


M(Y)= ∫(3x + 5)

						dx =						+ 5x		=							+15			= .
						dx =			3	2		+ 5x		=							+15			= .
0				3					3	2			0		3		2										2
													0

2.11. СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Двумерной называют случайную величину (X, Y), возможные значения которой есть пары чисел (x, y). Составляющие X и Y , рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.

Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, то есть пар чисел

(x i , y j ) и их вероятностей p(x i , y j )(i =1,2,K, n; j =1,2,K, m). Обычно

закон распределения задают в виде таблицы, называемой матрицей распределения.

X	Y	y1	y 2	y j	y m
		y1	y 2	y j	y m

x1		p(x1 , y1 )	p(x1 , y 2 )	p(x1 , y j )	p(x1 , y m )
x 2		p(x 2 , y1 )	p(x 2 , y 2 )	p(x 2 , y j )	p(x 2 , y m )

x i		p(x i , y1 )	p(x i , y 2 )	p(x i , y j )	p(x i , y m )


x n	p(x n , y1 )	p(x n , y 2 )		p(x n , y j )		p(x n , y m )

Сумма вероятностей, помещенных во всех клетках таблицы, равна единице.

Из данной таблицы закон распределения составляющей СВ X .

	x	x1	x 2	x i		x n
	p	p(x1 )	p(x 2 )	p(x i )		p(x n )
где p(x i ) = p(x i , y1 ) + p(x i , y 2 ) + K + p(x i , y m ),					i = 1,2,K, n .
Аналогично можно найти закон распределения составляющей СВ Y .
Двумерную случайную величину (X, Y) (безразлично, дискретную или
непрерывную) можно		задать	с помощью	функции	распределения F(x, y),

которая определяет вероятность того, что X примет значение, меньшее x , Y −меньшее y .

F(x, y) = P(X < x; Y < y).

Свойства функции распределения: 1) 0 ≤ F(x; y) ≤ 1;

2) F(− ∞; y) = F(− ∞; ∞) = F(x;−∞) = 0 ; F(∞; ∞) = 1.

3)F(x, ∞) = F1 (x ), где F1 (x ) −функция распределения составляющей X ; F(∞; y) =F2 (y), гдеF2 (y) − функция распределения составляющей Y .

При помощи функции распределения может быть найдена вероятность

P(x1 ≤ X < x 2 , y1 ≤ Y < y 2 ) = [F(x 2 , y 2 ) − F(x1 , y 2 )] − [F(x 2 , y1 ) − F(x1 , y1 )].

Непрерывную двумерную величину можно также задать, пользуясь плотностью распределения. Плотностью совместного распределения вероятностей f (x, y) двумерной непрерывной случайной величины (X, Y)

называют вторую смешанную частную производную от функции

распределения: f (x, y) = ∂ 2 F(x, y) . ∂x ∂y

Свойства плотности распределения:

1)f (x, y) ≥ 0 ;

∞∞

2)∫ ∫ f (x, y)dx dy = 1.

−∞ −∞

Плотности распределения

составляющей X −	f1 (x ) = ∞∫ f (x, y)dy ;
	−∞
составляющей Y −	f 2 (y) = ∞∫ f (x, y)dx .
	−∞

Вероятность попадания	случайной точки (X, Y) в область D
определяется по формуле	P{(X, Y) D}= ∫∫f (x, y)dx dy .
	(D)

Примеры решения задач

Пример 2.49. Два стрелка, независимо друг от друга, делают по одному выстрелу каждый. Случайная величина X − число попаданий первого стрелка, Y − число попаданий второго стрелка. Вероятность попадания при выстреле для первого стрелка 0,7; для второго стрелка 0,4. Построить матрицу

распределения системы случайных величин (X, Y)				и законы распределения
составляющих X и Y . Найти функцию распределения F(x, y).
Решение. Занесем возможные значения случайных величин X и Y в
таблицу
	Y	0	1
	X	0	1
	X
	0	p11	p12
	1	p 21	p 22
p11 = P(X = 0; Y = 0)= P I стрелок промахнулся = (1 − 0,7) (1 − 0,4)= 0,18
			II стрелок промахнулся
			I стрелок попал
p21 = P(X = 1; Y = 0)= P				= 0,7 (1 − 0,4)= 0,42 .
			II стрелок промахнулся
p12 = P(X = 0; Y = 1)= (1 − 0,7) 0,4 = 0,12 ;
p22 = P(X = 1; Y = 1)= 0,7 0,4 = 0,28 .
Итак,
	Y	0	1
	X	0	1
	X
	0	0,18	0,12
	1	0,42	0,28
Напишем закон распределения составляющей Y
	Y	0	1
	P	p1	p 2

p1 = P(Y = 0)= P(X = 0; Y = 0)+ P(X = 1; Y = 0)= 0,18 + 0,42 = 0,6 ; p2 = P(Y = 1)= P(X = 0; Y = 1)+ P(X = 1; Y = 1)= 0,12 + 0,28 = 0,4 .

Тогда

	Y	0	1
	P	0,6	0,4
Аналогично		находится закон распределения составляющей X

(складываются вероятности по столбцам).

		X	0	1
		P	0,3	0,7
	Значения функции распределения F(x, y) находим на основании матрицы
распределения
		Y	y ≤ 0		0 < y ≤ 1			y > 1
	X		y ≤ 0		0 < y ≤ 1			y > 1
	X
	x ≤ 0		0		0			0
	0 < x ≤ 1		0		0,18		0,18+0,12
	x ≥ 1		0		0,18+0,42		0,18+0,12+0,42+0,28
	Окончательно,
		Y	y ≤ 0		0 < y ≤ 1			y > 1
	X
	x ≤ 0		0		0			0
	0 < x ≤ 1		0		0,18			0,3
	x ≥ 1		0		0,6			1
	Пример		2.50.		Задана	двумерная		плотность	вероятности

C
f (x, y) = (9 + x 2 )(16 + y 2 ) системы	(X, Y) двух случайных величин. Найти

постоянную C и плотности распределения составляющих системы.

∞

Решение. Воспользуемся свойством ∫

∫ f (x, y)dx dy =1.

−∞ −∞

∞

∫

(9 + x 2 )(16

+ y 2 )

dx dy = C ∫

∫

+ x 2

−∞ −∞

−∞ 9

−∞ 16 + y

= C

lim

= C

lim

arctg

R∫2 9 + x 2

R∫4 16 + y2

R1→∞

→∞

R1→∞

R 2 →−∞

R 4

→−∞

R 2 →−∞

R 2



				1			y
×	lim			1	arctg		y
×	lim			4	arctg
R3		→∞		4		4
R 4		→−∞
R 4
						R 3
×						R 3
	lim		arctg
	lim		arctg
R		→∞				4
R	34 →−∞					4

lim

arctg

− arctg

R1→∞

R 4

R 2 →−∞

π π

− arctg

−

12 2

2 2

Тогда,	C π2	= 1; C =	12	.

12			π2

C π2

Найдем плотность распределения f1 (x ) составляющей X

f1 (x ) =

∞

(x, y)dy =

∞

∫ f

∫

lim

∫

π2

−∞

−∞ (9 + x 2 )(16 + y 2 )

9 + x 2 R1→∞

16 + y 2

R 2 →−∞

lim

arctg

lim

arctg

− arctg

π2

(9 + x

2 )

π2

R1→∞

(9 + x 2 )R1→∞

R 2 →−∞

R 2

R 2 →−∞

3π

−

π2

(9 + x

2 )

π2 (9 + x 2 )

π(9

+ x 2 )

Аналогично можно найти плотность распределения f 2 (y) составляющей

Y .

f 2 (x ) =

∞

(x, y)dx =

∞

∫ f

∫

lim

∫

π2

+ x 2 )(16 + y 2 )

π2

+ x 2

−∞

−∞ (9

16 + y 2

→∞

R 2 →−∞

lim

arctg

lim

arctg

− arctg

π2

(16 + y 2 )

→∞

π2 (16 + y 2 )R1→∞

R 2 →−∞

R 2

R 2 →−∞

4π

−

π2

(16 + y 2 )

π2 (16 + y 2 )

π(16 + y 2 )

(X, Y)

Пример 2.51. Найти вероятность попадания случайной точки

прямоугольник,

ограниченный

прямыми

x = π ; x = π ,

y = π ; y = π ,

если

известна функция распределения

≤ x ≤

F(x, y) = sin x sin y 0

; 0 ≤ y ≤

Решение. Положив x1

= π ; x 2

= π ; y1

= π ; y

2 = π в формуле

P(x1 ≤ X < x 2 , y1 ≤ Y < y 2 ) = [F(x 2 , y 2 ) − F(x1 , y 2 )] − [F(x 2 , y1 ) − F(x1 , y1 )],

получим

≤ X <

π π

≤ Y <

π π

−

π π

= F

;

− F

;

− F

;

2 4

2 3

6 3

2 4

6 4

= sin π sin π − sin π sin π − sin π sin π + sin π sin π =

−

≈ 0,08 .

Пример 2.52 В круге x 2 + y 2 ≤ 4 двумерная плотность вероятности

f (x, y)=	3	(2 −			); вне
	3		x 2 + y 2
	8π		x 2 + y 2
	8π
		y
		1
				D
- 1		1			x
- 1		1
		- 1

	3	2		ρ	3	1	3	2		1
					3	1
=			−			=			=
=			−			=			=	.
	8π			3			4	3		2
						0
						0

круга f (x, y)= 0 . Найти вероятность попадания

случайной точки (X, Y) в круг радиуса r = 1 с

центром в начале координат.

Решение: Пусть область D1 − круг радиуса r = 1 с центром в начале координат, тогда

P{(X, Y) D1	}=	3		∫∫(2 −						)dx dy .
		3					x 2 + y 2
		8π					x 2 + y 2
		8π	(D )
				1
Перейдем к				полярным					координатам:
x = ρ cos ϕ;	y = ρ sin ϕ (0 ≤ ρ ≤ 1; 0 ≤ ϕ ≤ 2π)
I = ρ
P{(X, Y) D1				}=	3	2π		1	(2 − ρ) ρ dρ =
					3	∫dϕ		∫
					8π	∫dϕ		∫
					8π	0		0

2.12. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Пусть дана			система	двух дискретных случайных					величин	(X, Y),
возможные	значения СВ				X − x1 , x 2 ,K, x n , СВ Y − y1 , y2 ,K, ym ,
соответствующее			вероятности			pi j (i = 1,2,K, n; j = 1,2,K, m).				Тогда
математические ожидания и дисперсии составляющих случайных величин
M(X)=		n m		n		m
M(X)=		∑ ∑x i pi j =		∑x i		∑pi j
		i=1 j=1		i=1		j=1
D(X)=		n m	[x i − M(X)]2 pi j =				n	m
D(X)=		∑ ∑	[x i − M(X)]2 pi j =				∑(x i	− M(X))2 ∑pi j	=
		i=1 j=1					i=1	j=1
n m			− [M(X)]2 =			n	m	− [M(X)]2 .
= ∑ ∑x i2 pi j			− [M(X)]2 =			∑x i2	∑pi j	− [M(X)]2 .
i=1 j=1					i=1		j=1
M(Y)=		n m		m		n
M(Y)=		∑ ∑ yi pi j =		∑ y j		∑pi j .
		i=1 j=1		j=1		i=1
D(Y)=		n m	[y j − M(Y)]2 pi j =				m	n
D(Y)=		∑ ∑	[y j − M(Y)]2 pi j =				∑(yi	− M(Y))2 ∑pi j	=
		i=1 j=1					j=1	i=1
n m	2j pi j		− [M(Y)]2		m	n
= ∑ ∑ y	2j pi j		− [M(Y)]2	=	∑ yi2 ∑pi j − [M(Y)]2 .
i=1 j=1					j=1	i=1

Если система двух непрерывных случайных величин задана плотностью вероятностей f (x, y), то


M(X)= ∞∫	∞∫ x f (x, y)dx dy, M(Y)= ∞∫		∞∫ y f (x, y)dx dy ;
−∞ −∞		−∞ −∞

D(X)=

D(Y)=


∞ ∞		∞ ∞
∫ ∫[x − M(X)]2 f (x, y)dx dy, = ∫ ∫x 2 f (x, y)dx dy − [M(X)]2
−∞−∞		−∞−∞
∞∫	∞∫[y − M(Y)]2 f (x, y)dx dy, = ∞∫		∞∫ y2 f (x, y)dx dy − [M(Y)]2 .
−∞ −∞		−∞ −∞

Для описания системы двух случайных величин кроме математических ожиданий и дисперсий составляющих используют и другие характеристики; к их числу относятся корреляционный момент (ковариация) и коэффициент корреляции.

Корреляционным моментом µx y случайных величин X и Y называют

математическое ожидание произведения отклонений этих величин

µx y = M{[X − M(X)] [Y − M(Y)]}= M(X Y)− M(X) M(Y).

Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют формулу

n m	[x i	− M(X)] [y j − M(Y)] pi j	n m	− M(X) M(Y),
µx y = ∑ ∑	[x i	− M(X)] [y j − M(Y)] pi j	= ∑ ∑ x i y j pi j	− M(X) M(Y),
i=1 j=1			i=1 j=1

адля непрерывных величин – формулу

µx y = ∞∫ ∞∫[x − M(X)] [y − M(Y)] f (x, y)dxdy =

−∞ −∞

∞∞

=∫ ∫ x y f (x, y)dxdy − M(X) M(Y).

−∞ −∞

Коэффициентом корреляции rx y величин X и Y называют

отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

rx y	=	x y		;	rx y	≤ 1.

		σx	σy

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Для независимых случайных величин выполняются следующие свойства:

1.F(x, y)= F1 (x) F2 (y).

2.f (x, y)= f1 (x) f 2 (y).

Корреляционный момент x y и коэффициент корреляции rx y служат для характеристики связи между величинами X и Y .

Если X и Y независимы, то корреляционный момент равен нулю. Обратное не всегда верно: если µx y = 0 , то не всегда X и Y независимые

случайные величины.

Коэффициент корреляции служит для оценки тесноты линейной связи между X и Y . Если между случайными величинами существует строгая функциональная линейная зависимость: Y = aX + b , то rx y = +1 при a > 0 и

rx y = −1 при a < 0 , причем,	чем ближе абсолютная величина rx y	к единице,
тем линейная связь сильнее.	Если rx y = 0 , это означает только	отсутствие

линейной связи между случайными величинами; любой другой вид связи может при этом присутствовать.

Примеры решения задач

Пример 2.53. Матрица распределения системы двух дискретных случайных величин (X, Y) задана таблицей

		Y	0		2	5
	X		0		2	5
	X
	1		0,1		0,1	0,2
	2		0,2		0,3	0,1
Найти	числовые		характеристики системы (X, Y).
			2	3	2	3	= x1 (p11	+ p12	+ p13 )+
Решение. M(X)= ∑ ∑x i					pi j = ∑ x i ∑pi j		= x1 (p11	+ p12	+ p13 )+
			i=1 j=1		i=1	j=1

+ x 2 (p21 + p22 + p23 )=1 (0,1 + 0,1 + 0,2)+ 2(0,2 + 0,3 + 0,1)=1,6 .

2	3	3	2	= y1 (p11 + p21 )+
M(Y)= ∑ ∑ y j pi j		= ∑ yi ∑pi j
i=1 j=1		j=1	i=1

+y2 (p12 + p22 )+ y3 (p13 + p23 )=

=0 (0,1 + 0,2)+ 2(0,1 + 0,3)+ 5(0,2 + 0,1)= 2,3.

2	3	+ p13 )+
D(X)= ∑ ∑x i2 pi j − [M(X)]2 = x12 (p11 + p12		+ p13 )+
i=1 j=1
+ x 22 (p21 + p22 + p23 )− [M(X)]2 =
= 12 (0,1 + 0,1 + 0,2)+ 22 (0,2 + 0,3 + 0,1)− (1,6)2 = 0,24
2	3
D(Y)= ∑ ∑ y 2j pi j − [M(Y)]2 = y12 (p11 + p 21 )+
i=1 j=1
+ y22 (p12 + p22 )+ y32 (p13 + p23 )− [M(Y)]2 =
= 02 (0,1 + 0,2)+ 22 (0,1 + 0,3)+ 52 (0,2 + 0,1)− (2,3)2 = 3,81.
2	3		+ x1 y3 p13
µx y = ∑ ∑x i y j pi j − M(X) M(Y)= x1 y1p11 + x1 y2 p12			+ x1 y3 p13	+
i=1 j=1

+x 2 y1p21 + x 2 y1p22 + x 2 y3 p23 − M(X) M(Y) =

=1 0 0,1 + 1 2 0,1 + 1 5 0,2 + 2 0 0,2 + 2 2 0,3 + 2 5 0,1 − 1,6 2,3 =

		= 3,4 − 3,68 = −0,28.
		rx y		=									− 0,28													≈ −0,29.


											0,24 3,81
											0,24 3,81
	Пример 2.54. Пусть область D возможных значений двумерной
случайной						величины																–				треугольник															с			границами											x = 0,			y = 0,	x + y = 1.
Плотность						распределения																						имеет						вид								f (x, y) = 4(x + y2 ).																Найдем	числовые
характеристики системы.
	Решение.														M(X) = ∫∫ x f (x, y)dxdy =
	Решение.														M(X) = ∫∫ x f (x, y)dxdy =																																				y
									(x + y2 )dy																		D
	1			1−x
=	4∫ x dx ∫																								=
	0				0																																														1
	1														y		3				1−x																																			D


																										=

= 4∫ x dx xy +																3
	0															3					0
	1																				0		3																																			1	x
	1																						3
					− x) +										(1− x)
= 4∫ x x(1					− x) +															3						dx =
	0																			3
4	1	4										4				x2								x5					1		4		1					1							2


	∫(x − x			)dx =																		−							=							−							=				.
																															3 2								5
3 0													3 2												5				0		3 2								5						5
													3 2												5				0														1−y				(x			+ y2 )dx =
		M(Y) = ∫∫ y f (x, y)dxdy =																																		1							1−y
		M(Y) = ∫∫ y f (x, y)dxdy =																																4∫ y dy ∫
													D																							0									0
	1							2															1−y							1
	1																						1−y							1
			x													2												= 2∫ (y − 2y														2						3						4	)dy =
			x													2																										2						3						4
= 4∫ y dy											+ y								x																								+ 3y							− 2y
= 4∫ y dy						2					+ y								x																								+ 3y							− 2y
	0					2																	0							0
																							0								1
=	y2			−			2y3							+				3y				4	−				2y5				1	=					1						−		2		+		3		−	2			=	11
=	2			−										+									−									=				2							−				+				−				=		.
																																					2									3 4 5
	2								3											4								5			0						2									3 4 5										30
		D(X) = ∫∫ x 2 f (x, y)dx dy − [M(X)]2 =
												D
		1				2							1−x										2							2			2												14
		= 4∫ x							dx ∫							(x + y									)dy −										= K =													.
		= 4∫ x							dx ∫							(x + y									)dy −										= K =													.
		0												0																5													225
		D(Y) = ∫∫ y2 f (x, y)dx dy − [M(Y)]2 =
												D
				1										1−y																				11						2											59
				1				2						1−y													2
								2		dy ∫ (x + y																	2	)dx −
		= 4∫ y																																									= K =										.
		= 4∫ y																																									= K =							900			.
				0												0																		30																900

µx y = ∫∫ x y f (x, y)dx dy − M(X) M(Y) =

= ∫∫ x y(x + y2 )dx dy − M(X) M(Y) =

	D
	1	1−x						2		11		1						2		11
=	4∫ x dx ∫ y(x			+ y2 )dy −				2		11	=	∫ x[2x(1			− x)2 + (1 − x)4 ]dx −			2		11	=
=	4∫ x dx ∫ y(x			+ y2 )dy −							=	∫ x[2x(1			− x)2 + (1 − x)4 ]dx −						=
	0	0				5			30			0			5				30
= 1∫ (x 5 − 2x 4 + 2x 3 − 2x 2 + x)dx −													22	= −		7	.
= 1∫ (x 5 − 2x 4 + 2x 3 − 2x 2 + x)dx −														= −			.
	0											150			150
			7
	r	= −	7	:	14		59			≈ −0,73,
	r	= −		:						≈ −0,73,
	x y	50			225	900
		50			225	900

что показывает, что между случайными величинами X и Y существует отрицательная линейная зависимость, то есть при увеличении одной из них другая имеет некоторую тенденцию уменьшаться.

2.13. УСЛОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И УСЛОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СОСТАВЛЯЮЩИХ ДВУМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. РЕГРЕССИЯ

Пусть составляющие X и Y дискретны и их возможные значения: x1 , x 2 ,K, x n ; y1 , y2 ,K, ym .

Условным распределением составляющей		X при Y = y j называют
совокупность условных вероятностей	p(x1	y j ), p(x 2 y j ),K, p(x n y j ),

вычисленных в предположении, что событие Y = y j (j имеет одно и то же

значение при всех значениях X ) уже наступило. Аналогично определяется условное распределение составляющей Y .

Условные вероятности вычисляются по формулам

p(x i	y j	)=	p(x i , y j )	; p(y j		x i	)=	p(x i , y j ).
			p(y j )
Пусть (X, Y) −								p(x i )
	непрерывная				двумерная случайная величина с

плотностью распределения f (x, y).

Условной плотностью ϕ(x y) распределения составляющей X при

заданном значении Y = y называют
	ϕ(x y) =	f (x, y)		=	f (x, y)		.
	ϕ(x y) =			=			.
		f 2	(y)		∞
					∫ f (x, y)dx
					−∞
Аналогично	определяется		условная			плотность		распределения

составляющей Y при заданном значении X = x

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2315 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.05.2019378.37 Кб3УМК по дисциплине Римское право.doc
#
17.03.2015683.52 Кб13УМК по КП. бак 30.10.2012.doc
#
19.09.2019195.07 Кб2УМК-КУ ПОЭ.doc
#
17.03.2015661.5 Кб75УМК.doc
#
17.03.20151.66 Mб62УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб102УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб91УМК.PDF
#
17.03.20151.09 Mб47УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб46УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб20УМК11.pdf
#
17.03.20151.57 Mб136УМК6.pdf