Lekcii_po_TekhnichTermodinamike

Сен-Венан в 1839 году выдвинул следующую гипотезу: в суживающемся сопле невозможно получить давление газа ниже некоторого критического значения pкр, соответствующего максимальному расходу газа через сопло. Как бы мы ни понижали давление p2 среды, куда происходит истечение, давление на выходе из сопла остаѐтся постоянным и равным pкр.

Для отыскания максимума функции m = f(p2/p1), соответствующего кр, возьмѐм первую производную и приравняем к нулю. В результате преобразований получим:

Отношение критического давления на выходе p2 = pкр к давлению перед соплом p1 имеет постоянное значение и зависит только от показания адиабаты k, т. е. от природы рабочего тела:

скорости звука в выходном сечении сопла. Именно это обстоятельство объясняет, почему в суживающемся сопле газ не может расширяться до давления, меньше критического, а скорость не может превышать критическую.

Как известно из физики, импульсы давления (упругие колебания) распространяются в сжимаемой среде со скоростью звука, поэтому когда скорость истечения меньше скорости звука, уменьшение давления за соплом (импульс давления) передаѐтся по потоку газа внутрь сопла с относительной скоростью (a w) 0 и приводит к перераспределению давления. В результате в выходном сечении сопла устанавливается давление, равное давлению среды.

Если же скорость истечения достигнет скорости звука (критической скорости), то скорость движения газа в выходном сечении и скорость распространения давления будут одинаковы. Волна разряжения, которая возникает при дальнейшем снижении давления среды за соплом, не может распространяться против течения в сопле, так как относительная скорость еѐ распространения (a w) будет равна 0. Поэтому никакого перераспределения

66

давления не произойдѐт и, несмотря на то, что давление среды за соплом снизилось, скорость истечения останется прежней, равной скорости звука, а давление на срезе сопла – тем же pкр , а не давлению среды p2 .

Рассмотрим истечение газа из резервуара бесконечно большого объема через суживающееся сопло и проанализируем скоростные и расходные характеристики потока.

Пусть в резервуаре, размеры которого достаточно большие, находится газ, вытекающий через суживающееся сопло (рис. 9.3). Обозначим параметры газа в резервуаре через p1 , 1 ,T1.Значения этих параметров из-за размеров резервуара не должны меняться с течением времени. Начальную скорость газа в

резервуаре примем равной нулю ( 1 = 0) . Температуру, удельный объем, давление и скорость на выходе (срезе) сопла обозначим через T2 , 2 , p2 ,. Давление внешней среды, куда происходит истечение, обозначим через p0 .

При так называемом расчетном режиме истечения

ределения максимального расхода возьмем первую производную от выражения, стоящего в квадратных скобках уравнения (9.9), и приравняем ее нулю. В результате соответствующих преобразований получим

через кр ; оно соответствует критическому давлению на срезе сопла pкр и удельному объему кр :

Критическое . отношение давлений зависит только от физических свойств газа,

Подставляя в общую формулу массового расхода значение кр , при котором

67

расход будет максимальным, получим

Таким образом, значение критической скорости для определенного рабочего тела зависит от параметров в начальном состоянии. Критическая скорость истечения представляет собой максимальную скорость истечения газа через суживающееся сопло при определенном начальном состоянии газа.

Так как для критического сечения справедливы соотношения

то, подставляя эти значения в формулу (9.12), получим после преобразований

Критическая скорость истечения равна скорости звука в выходном сечении сопла, т. е. местной скорости звука.

Скорость звука представляет собой скорость распространения бесконечно малых возмущений в сплошной среде и зависит от упругих свойств и плотности среды. Так как в звуковой волне практически нет теплообмена между той частью, через которую проходит звуковая волна, и другими частями газа, то изменение состояния его осуществляется без подвода или отвода

69

р2<ркр расход остается постоянным, равным максимальному (участок В-С на рис. 9.4).

Постоянство расхода G = Gmax при р2<ркр может быть объяснено тем, что при понижении давления среды не происходит понижения давления на срезе сопла. Установившееся на срезе сопла давление ркр соответствует наличию критической скорости, равной скорости звука, причем это максимальная скорость, которую может иметь газ при истечении через суживающиеся сопла. При этой скорости никакое уменьшение внешнего давления внутрь сопла не передается; оно как бы сносится потоком газа, движущимся с той же скоростью, с какой распространяются возмущения, т. е. уменьшается давление.

Поэтому перераспределения давления внутри сопла не происходит, так как не происходит изменения давления на срезе. Скорость истечения остается постоянной независимо от внешнего давления р0.

70

ЛЕКЦИЯ 12

dF / F 0 , т. е. сопло должно быть суживающимся в направлении движения газа, б) w a , тогда a2 w2 0 , и dF / F 0 , т. е. если скорость истечения больше скорости звука, то сопло должно быть расширяющимся в направлении движения.

Подобный анализ можно провести для диффузора (dw 0, dp 0) . Рассмотрим условия перехода через критическую скорость. До сих пор

мы не касались вопроса о связи между изменением состояния потока и профилем канала. При анализе процесса истечения будем исходить из уравнений неразрывности, энергии, адиабаты. Все уравнения будем рассматривать в дифференциальной форме.

Уравнение неразрывности

F G

после дифференцирования имеет вид

по-прежнему изображается площадью под кривой процесса, которая ограничена крайними ординатами и осью абсцисс.

В зависимости от вида процесса значение располагаемой работы может быть подсчитано на основе общих термодинамических положений. Располагаемая работа в адиабатном процессе, в котором изменение состояния

72

подчиняется уравнению p k const , после подстановки в уравнение (3.59)

Комбинированное сопло (сопло Лаваля)

При истечении газа из простого суживающегося сопла максимально достигаемая скорость потока – скорость звука. Проведѐнный ранее анализ показал, что скорость газа w a может быть получена в комбинированном сопле, состоящем из двух частей – суживающейся и расширяющейся. Такое комбинированное сопло впервые было применено шведским инженером Лавалем в 1889 году для получения сверхзвуковых скоростей пара. Сейчас сопла Лаваля применяют в реактивных двигателях самолѐтов и ракет. Угол расширения не должен превышать 10 -12 , чтобы не было отрыва потока от стенок.

Таким образом вся энергия давления потока газа будет преобразована в кинетическую энергию с помощью сопла Лаваля. В случае же простого суживающего сопла газ на среза сопла выходит с давлением pкр > p2, и его дальнейшее расширение происходит в окружающей среде, т. е. кинетическая энергия газа полностью не используется.