23

Лекция 2

Определители и правило Крамера. Определители 2-го и 3-го порядка. Правило Крамера. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или столбцу. Основные свойства определителей Метод элементарных преобразований.

2. Определители и правило крамера

2.1. Определители второго порядка

Понятие определителя возникло также в связи с задачей решения систем линейных уравнений. Определитель (или детерминант) есть число, характеризующее квадратную матрицу A и обозначается обычно символами: detA, |A| или . Если матрица задана явно, в виде таблицы, то определитель обозначают, заключая таблицу в вертикальные линии.

Определитель матрицы второго порядка находится следующим образом:

(2.1)

Он равен произведению элементов главной диагонали матрицы минус произведение элементов второй диагонали.

Например, 

Следует еще раз подчеркнуть, что матрица есть таблица чисел, тогда как определитель есть число, определяемое через элементы квадратной матрицы.

Рассмотрим теперь систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Используя понятие определителя 2-го порядка, решение этой системы можно записать в виде:

(2.2)

где

Это есть правило Крамера решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными при условии, что 0.

Пример 2.1. Решить систему линейных уравнений, используя правило Крамера:

Решение. Найдем определители:

Отсюда



Историческая справка. Идея понятия «определителя» могла бы принадлежать Г. Лейбницу (1646-1716), если бы он развил и опубликовал свои идеи относительно определителей, к которым он пришел в 1693 г. Поэтому приоритет в разработке метода определителей решения систем линейных уравнений принадлежит Г. Крамеру (1704-1752), который опубликовал свои исследования по этой теме в 1750 г. Однако Крамер не построил полноценной теории определителей, к тому же ему не доставало удобного обозначения. Первое обширное исследование, посвященное определителям, было А. Вандермондом (1735-1796) в 1772 г. Он дал логическое изложение теории определителей и ввел правило разложения определителя с помощью миноров. Полное изложение теории определителей было дано лишь в 1812 г. Ж. Бине (1786-1856) и О. Коши (1789-1858). Термин «определитель» («детерминант») в современном его значении был введен Коши (ранее этот термин использовался К. Гауссом для обозначения дискриминанта квадратичной формы).

2.2. Определители третьего порядка

Определитель матрицы 3-го порядка находится следующим образом

(2.3)

Естественно, что запомнить эту формулу довольно трудно. Однако есть правила, которые облегчают выписывание выражения для определителя 3-го порядка.

Правило треугольников: три слагаемых, входящих в исходное выражение со знаком плюс, есть произведения элементов главной диагонали или треугольников, основания которых параллельны этой диагонали. Остальные три слагаемых, входящих со знаком минус, находятся таким же образом, но относительно второй диагонали.

Правило Саррюса: припишем к матрице справа первый, а затем второй столбец. Тогда "положительные" слагаемые будут находиться на линиях параллельных главной диагонали, а "отрицательные" ‑ на линиях, параллельных второй диагонали.

Пример 2.2. Вычислить определитель

