2.6. Метод элементарных преобразований
Теорема 2.2. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали:
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования: 1) умножение строки (столбца) на число, не равное нулю; 2) прибавление одной строки (столбца) к другой; 3) перестановка двух строк (столбцов).
Метод элементарных преобразований заключается в том, чтобы при помощи элементарных преобразований, учитывая свойства определителей, привести матрицу к треугольному виду.
Пример 2.5. Вычислить определитель при помощи элементарных преобразований, приведя их к треугольному виду:
Пример 2.6. Вычислить определитель:
.
Решение. Упростим данный определитель, а затем вычислим его:
.
Пример
2.7. Вычислить
определитель
.
Решение. Способ 1.При помощи элементарных преобразований матрицы, учитывая свойства определителей, будем получать в какой-либо строке или столбце нули, а затем будем разлагать полученный определитель по этой строке или столбцу:
–6 7 -2 -2
.
Способ 2.При помощи элементарных преобразований матрицы, учитывая свойства определителей, приведем матрицу к треугольному виду:
.
Вычисление определителей при помощи элементарных преобразований, путем приведения его к треугольному виду, является одним из самых распространенных методов. Это связано с тем, что он является основным методом при реализации вычислений определителей на ЭВМ. Точнее он является одной из модификаций метода Гаусса, который обычно используется при решении систем линейных уравнений.
Пример 2.8. Вычислить определитель методом Гаусса:
Решение. Рассмотрим первый столбец и выберем в нем ту строку, которая содержит 1. Если единиц нет, то нужно эту единицу создать при помощи элементарных преобразований: переставляя строки или столбцы, складывая или вычитая их друг с другом, умножая или деля их на какое-либо число (учитывая при этом, конечно свойства определителей). Возьмем за основу вторую строку и получим при помощи ее нули в первом столбце:
После этого на первую строку больше внимания не обращаем. Рассмотрим 2-й столбец. Здесь единиц нет, однако ее можно легко создать, например, если поменять местами 2-й и 3-й столбцы, или если от второй строки отнять четвертую. Далее повторяем предыдущую операцию, т.е. создаем нули во втором столбце:
Сейчас рассматриваем 3-й столбец, в котором уже имеется единица, при этом на первые две строки не обращаем внимание. Переставляем третью и четвертую строки и при помощи отмеченной единицы получаем нули в четвертой и пятой строках третьего столбца:
Осталось рассмотреть четвертый столбец. Вынесем общий множитель четвертой строки, равный 2, за знак определителя и поменяем местами две последние стоки. Далее воспользуемся тем, что 99 кратно 33:
В результате, получилась треугольная матрица. Для того чтобы вычислить определитель, осталось только перемножить элементы матрицы, находящиеся на главной диагонали. Таким образом, получаем ответ: –2(–1)(–1)1334 = –264.