2.3. Правило Крамера
Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными
Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т.е.
(2.4)
если 0. Здесь
Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:
Решение. Находим определитель основной матрицы системы
Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:
Тогда
Проверка:
Следовательно, решение найдено правильно.
Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место
Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам
(2.5)
где – определитель основной матрицы, i – определитель матрицы, полученной из основной, заменой i-го столбца столбцом свободных членов.
Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.
Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.
2.4. Определители n-го порядка
Дополнительным минором Mij элемента aij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1)i+j, т.е. Aij = (–1)i+jMij.
Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a23 и a31 определителя
Получаем
Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n-го порядка по строке или столбцу.
Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:
(2.6)
Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка. В результате разложения определителя n-го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n–1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде:
т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.
Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.
;
2.5. Основные свойства определителей
Разлагая определитель по какой-либо строке или столбцу, мы получим n определителей (n–1)-го порядка. Затем каждый из этих определителей (n–1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей (n–2)-го порядка. Продолжая этот процесс, можно дойти до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Так, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Число слагаемых будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако вычислять определители можно и по-другому, используя свойства определителей.
Свойство 1. Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т.е. при транспонировании матрицы:
.
Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.
Свойство 2. Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).
Следствие. Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.
Свойство 3. Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя.
Например,
Следствие. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
Свойство 4. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число.
Например,
Свойство 5. Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:
.