3. Факториал

Для любого натурального числа n произведение обозначаетсяn! (читается «эн факториал»), т.е.

Считается, что 0!=1.

Пример 3.1. Вычислить

.

Решение. Так как и, то

.

Поскольку

и ,

то

.

Поэтому

.

Пример 3.2. Упростить выражение

(n1).

Решение. Так как и, то

.

Пример 3.3. Решить уравнение

, где n1.

Решение. Так как , то

.

Кроме того, . Итак, исходное уравнение равносильно уравнению

.

Если n=1, то уравнение примет вид

,

т.е. получается противоречие 0=1/6, следовательно, n=1 не является решением уравнения. Если n2, то уравнение примет вид

,

т.е. . Отсюда получаемn₁=2 и n₂=3.

Выражение n! означает, что перемножаются все натуральные числа подряд и наибольший из сомножителей равен n. Выражение n!! означает, что перемножаются натуральные числа через одно и наибольший сомножитель также равен n. Таким образом, если n чётное, то n!! есть произведение всех чётных чисел, не превышающих n (); если же n нечётное, то это произведение всех нечётных чисел, не превышающих n (). Аналогично, если после числа расположено три восклицательных знака, то перемножаются каждое третье число, а если четыре – каждое четвёртое. Например, .

Упражнения

3.1. Вычислить: а) , б).

Ответ: а) , б).

3.2. Упростить: а) , б)

Ответ: а) , б)m+2.

3.3. Найти все натуральные n, удовлетворяющие условию .

Ответ: 8.

3.4. В забеге участвуют 5 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места в результате забега?

Ответ: .

4. Размещения

Пусть имеется некоторое множество, содержащее n элементов. Выберем из этого множества k элементов без возвращения, но упорядочивая их по мере их выбора в последовательную цепочку. Такие цепочки называются размещениями.

Размещениями из n элементов по k элементов называются такие комбинации, из которых каждое содержит k элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одного), либо порядком их расположения.

Поясним это на следующем примере. Пусть имеется три элемента: a, b и c. Тогда из этих трёх элементов можно составить шесть размещений по два элемента: ab, ac, ba, bc, ca, cb. Все приведённые размещения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом или порядком их расположения.

Число размещений (читается:число размещений из n элементов по k элементов) можно найти из принципа умножения. Первый элемент размещения можно выбрать n способами. Как только такой выбор будет сделан, останется (n–1) возможностей, чтобы выбрать второй элемент; после этого останется (n–2) возможностей для выбора третьего элемента и т.д.; для выбора k-го элемента будет (n–k+1) возможностей. По принципу умножения находим

. (4.1)

Легко понять, что .

Пример 4.1. В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить 4 различных фотографии. Сколькими способами это можно сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

Решение. Для размещения фотографий следует отобрать 4 различных страницы из 12 имеющихся. Затем нужно отобранные страницы упорядочить, т.е. определить, на какую страницу поместить первую фотографию, на какую – вторую и т.д. Полученная упорядоченная совокупность страниц является, согласно определению, размещением из 12 элементов по 4, а число таких размещений является искомым результатом:

.

Пример 4.2. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеются ткани пяти различных цветов? Решите эту же задачу при условии, что одна полоса должна быть красной.

Решение. Поскольку в данной задаче важен порядок следования полос и все цвета во флаге должны быть разными, то исходная задача сводится к подсчету числа размещений из 5 по 3:

способов.

При условии, что одна полоса должна быть красной, получаем, что для выбора места для красной полосы существует 3 способа, а для оставшихся двух полос останется способов. Таким образом, трехцветный полосатый флаг из имеющихся 5 цветов при условии, что один цвет должен быть красным можно составить

способами.

Пример 4.3. Сколькими способами 10 человек можно поставить парами в ряд?

Решение. Первую пару можно выбрать способами, вторую –способами, и т.д. В результате получаем

способами.

Упражнения

4.1. Научное общество состоит из 25 человек. Надо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами может быть сделан этот выбор, если каждый член общества может занимать лишь один пост?

Ответ: В этом случае надо число размещений из 25 элементов по 4. Здесь играет роль и то, кто будет выбран в руководство общества, и то, какие посты займут выбранные. Поэтому ответ дается формулой .

4.2. В цехе работают 8 токарей. Сколькими способами можно поручить трем из них изготовление различных видов деталей (по одному виду на каждого).

Ответ: .

4.3. Из 10 книг выбирают 4 для рассылки по разным адресам. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: .

4.4. Сколькими способами можно опустить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждый ящик опускают не более одного письма?

Ответ: .

4.5. Студенту необходимо сдать 5 экзаменов в течение 12 дней. Сколькими способами можно составить расписание экзаменов, если в течение дня он может сдать не более одного экзамена?

Ответ: .

4.6. Сколькими способами можно преподнести 4 различных подарка 6 ученикам таким образом, чтобы каждый ученик получил не более одного подарка?

Ответ: .

4.7. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, …, 9, если каждая цифра в обозначении числа встречается не более одного раза? (Учесть, что число не может начинаться с нуля.)

Ответ: .