- •Новоселов о.В., Скиба л.П. Комбинаторика и вероятность
- •Предисловие
- •Введение
- •Принцип умножения
- •Принцип сложения
- •Факториал
- •Размещения
- •Перестановки
- •Свойства размещений и перестановок
- •Сочетания
- •Свойства сочетаний
- •Свойства биномиальных коэффициентов
- •Размещения с повторениями
- •Перестановки с повторениями
- •Сочетания с повторениями
- •Формула включений и исключений
- •Алгебра событий
- •Вероятность случайных событий
- •Умножение вероятностей
- •Сложение вероятностей
- •Вероятность появления хотя бы одного события
- •Варианты самостоятельных работ Вариант №1
- •Вариант №2
- •Вариант №3
- •Вариант №4
- •Вариант №5
- •Вариант №6
- •Вариант №7
- •Библиографический список
- •Оглавление
Варианты самостоятельных работ Вариант №1
Решить уравнение
Ответ: n=8.
Найти шестой член разложения .
Ответ: .
Сколькими способами можно составить колонну из десяти автобусов и трех легковых автомобилей, считая, что все автобусы и все автомобили одинаковых марок?
Ответ: .
В шахматном турнире участвуют шесть студентов и три школьника. Сколькими способами могут распределиться места, занятые в турнире школьники, если никакие два участника не набрали одинаковое число очков?
Ответ: .
Сколько делителей у числа 105?
Ответ: Разложим число 105 на простые множители . Тогда, или по формуле (7.3) получаем.
На вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары на танец?
Ответ: .
Сколько ожерелий можно составить из 7 бусинок различных размеров (надо использовать все бусинки)?
Ответ: Т.к. ожерелье остается неизменным при циклических перестановках бусинок и при переворачивании, то можно получить 7!/14=360 видов ожерелий.
В первой урне находятся 4 белых и 3 черных шара, во второй – 3 белых и 5 черных шаров. Из каждой урны случайным образом вынули по одному шару. Найти вероятность того, что все шары будут белые.
Ответ: .
10 вариантов контрольной работы распределены среди 6 студентов. Найти вероятность того, что варианты с номерами 1 и 2 не будут использованы.
Ответ: .
Семь различных книг случайных образом расставляют на полке. Найти вероятность того, что книги трехтомника окажутся рядом в возрастающем порядке.
Ответ: .
Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочнике соответственно равны 0,6, 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что формула содержится только в двух справочниках.
Ответ. 0,90,80,3+0,90,20,7+0,10,80,7=0,398.
Вариант №2
Решить уравнение .
Ответ: x=4.
В разложении вычислить член, не содержащийx.
Ответ: .
На плоскости проведены n прямых линий, из которых никакие две не являются параллельными и никакие три не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения имеют эти прямые?
Ответ: .
Сколькими способами можно разложить 12 различных марок между тремя мальчиками, если один берёт 6 марок, а остальные – по 3 марки?
Ответ: .
Сколько делителей у числа 360?
Ответ: Поскольку , то в соответствие с формулой (7.3) получаем (3+1)(2+1)(1+1)=24 делителей.
В избушке на курьих ножках собрались Баба-Яга, Кощей и Леший. У Бабы-Яги есть 4 чашечки, 5 блюдец и 6 чайных ложечки (все чашки, блюдца и ложечки отличаются друг от друга). Сколькими способами она может накрыть стол для чаепития (каждый получает одну чашку, одно блюдце и одну ложечку)?
Ответ: .
Шесть девушек водят хоровод. Сколькими способами они могут организовать хоровод?
Ответ: Т.к. хоровод остается неизменным при циклических перестановках девушек, то можно получить 6!/6=120 способов.
В урне находятся 5 белых и 3 черных шаров, из которой случайно по порядку с возвращением вынимаются 4 шара. Какова вероятность того, что первые два шара будут белые, а последние два черные.
Ответ: .
Студент пришел на экзамен, зная лишь 24 вопроса из 32 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент ответ на все вопросы?
Ответ: .
Случайным образом выписаны 3 цифры. Найти вероятность того, все цифры различные.
Ответ: .
При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что для запуска двигателя потребуется включить зажигание не более двух раз.
Ответ. 0,9+0,10,9=0,99.