Задачник по теории вероятностей
.pdf20в. Доказать, что если случайные величины Х^, Х,, Х^, Х^, Х^ независимы, 'положительны и одинаково рас пределены, то
^^ L Хг + Хг + Xs + X^ + X^ J 5 •
У к а з а н и е . Представить дробь» стоящую под знаком матема тического ожидания, в виде суммы трех дробей и воспользоваться решением задачи 205.
207. Найти математическое ожидание дискретной слу чайной величины X, распределенной по закону Пуассона:
|
X |
|
О |
1 |
2 ... |
k . . . |
|
|
|
|
р |
|
е |
JJ |
21 |
••• |
Л! ••• |
|
|
Р е ш е н и е . |
По определению математического |
ожидания для |
|||||||
случая, когда, число возможных значений |
X есть счетное |
множество. |
|||||||
Учитывая, |
что при |
^ = 0 |
первый |
член |
суммы равен |
нулю, при |
|||
мем в качестве |
наименьшего |
значения |
k единицу: |
|
|
||||
Положив |
k—l=m, |
получим |
|
|
|
|
|||
Принимая |
во внимание, |
что |
\ \ тТ^^^^' окончательно |
имеем |
|||||
|
|
|
|
msO |
|
|
|
|
|
Итак, |
|
|
Af (Х)=Х.е-^.е^=Л. |
|
|
|
|||
|
|
|
Af (Х)==Х, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
т. е. математическое ожидание |
распределения |
Пуассона равно пара |
|||||||
метру этого распределения К. |
|
|
|
|
|
208. Случайные величины X и V независимы. Найти дисперсию случайной величины Z = 3X + 2V, если из вестно, что D(X) = 5, D{Y) = 6.
Р е ш е н и е . Так как величины X н Y независимы, |
то незави |
симы также и величины ЗХ и 2К. Используя свойства |
дисперсии |
(дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат), получим
D (Z) = D (ЗХ+2У) = D (3X)+D (2K)=9D (X) + 4D(K)r=9.5+4.6=69.
70
209. Случайные величины X и У независимы. Найти дисперсию случайной величины Z = 2X+3K, если из вестно, что D(X) = 4, D(K) = 5.
210. Найти дисперсию и среднее квадратическое от клонение дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:
|
X |
—5 |
|
2 |
3 |
4 |
|
р |
0,4 |
|
0,3 |
0,1 |
0,2 |
Р е ш е н и е . Дисперсию |
можно вычислить исходя из ее опреде |
|||||
ления, однако мы воспользуемся |
формулой |
|
||||
которая быстрее ведет к цели* |
|
|
|
|||
Найдем |
математическое |
ожидание |
X: |
|
||
|
Л1(Х) = —5.0.4 + 2 0 . 3 + 3.0.14-4.0.2 = ~.0,3. |
|||||
Напишем закон распределения Х^: |
|
|||||
|
Х« |
25 |
4 |
9 |
16 |
|
|
р |
0,4 |
0,3 |
0.1 |
0,2 |
|
Найдем |
математическое |
ожидание |
Х^: |
|
Л1(Х2)=25.0.4 + 4.0,3 + 9.0,1 + 1б.0,2=15,3, Найдем искомую дисперсию:
D(X) = Af(A:2) — [M(X)l2 = 15,3—(—0,3)* ==15,21. Найдем искомое среднее квадратическое отклонение:
а(X) == I/'DTX) = У^15Ж=3,9.
211.Найти дисперсию и среднее квадратическое от клонение дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:
а) X |
4,3 |
5,1 |
10,6. |
б) X |
131 |
140 |
160 |
180. |
р |
0,2 |
0,3 |
0,5' |
р |
0,05 |
0,10 |
0,25 |
0,60 |
212. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения х^ и Xj, причем равновероят ных. Доказать, что дисперсия величины X равна квад рату полуразности возможных значений:
Р е ш е н и е . |
Найдем |
математическое ожидание |
X, |
учитывая, |
||
что вероятности |
возможных |
значений |
Xi и Х2 равны |
между |
собой и, |
|
следовательно, каждая |
из них равна |
V2: |
|
|
||
|
М (X) = |
лгх. (1 /2) + ^2 • (1 /2) = {XI + х,)/2. |
|
Найдем математическое ожидание X*:
M(X^)^xl(l/2) + xl{\/2)^{xl + xl}/2.
71
Найдем дисперсию X:
213. Найти дисперсию дискретной случайной вели чины X—числа появлений события А в пяти независи мых испытаниях, если вероятность появления событий А
вкаждом испытании равна 0,2.
Ре ш е н и е . Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях (с одинаковой вероятностью появления события в каж дом испытании) равна произведению числа испытаний на вероятнос ти появления и непоявления события:
D(X)=^npq.
По условию, л = 5; р=0,2; <7 = 1—0,2 = 0,8. Искомая дисперсия
D (Х) = прдг = 5.0,2.0,8 = 0,8.
214. Найти дисперсию дискретной случайной величи ны X—числа отказов элемента некоторого устройства в десяти независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9.
215э Найти дисперсию дискретной случайной вели чины X—числа появлений события А в двух независи мых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что Л1(Х) = 1,2.
ны |
Р е ш е н и е . П е р в ы й |
с п о с о б . Возможные значения величи |
|||||||||
X таковы: Xi = 0 (событие |
не |
|
появилось), д:2 = 1 |
(событие по |
|||||||
явилось один |
раз) и дсз = 2 (событие |
появилось два раза).. |
|
||||||||
|
Найдем вероятности возможных |
значений по формуле Бернулли: |
|||||||||
Я,(0) = (7*; |
P2(l) = Clpq^2pq; |
Ра(2) = р2. |
|
|
|
||||||
|
Напишем закон распределения |
X: |
|
|
|
|
|||||
|
|
возможные значения |
О |
1 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
вероятности |
|
|
д^ |
2pq |
р^ |
|
|
|
|
Найдем М (X): |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
M(X)^2pq+2p^^2p{q+p)^2p. |
|
|
|
|||||
В силу условия Л1(Х)==1,2, т. е. |
2 р = 1,2. |
Отсюда р = 0,6 и, |
сле |
||||||||
довательно, 7==1—0,6 = 0,4. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Искомая дисперсия |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ЩХ) = лр^ = 20,6.0,4 = 0,48. |
|
|
||||||
По |
В т о р о й |
с п о с о б . |
Воспользуемся |
формулой |
М (X) = |
пр. |
|||||
условию, |
Л1(Х) = 1,2; |
л = 2. |
Следовательно, 1,2 = 2р. Отсюда |
||||||||
р = 0,6 и, |
значит, <7 = 0»4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Найдем искомую дисперсию: |
|
|
|
|
|
|
|
D(X) = /ip^ = 2.0,6.0,4 = 0,48.
Разумеется, второй способ быстрее ведет к цели.
72
21в. Найти дисперсию дискретной случайной величи ны X—числа появлений события А в двух независи мых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что Л4(Х)=0,9.
217.Производятся независимые испытания с одина ковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события Л, если дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях^ равна 0,63.
218.Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: х^ и х^, причем х^ > х^. Веро
ятность того, |
что X |
примет значение Xi, равна 0,6. |
||
Найти закон |
распределения величины X, если матема |
|||
тическое ожидание |
и |
дисперсия |
известны: Л1(Х)=1,4; |
|
D(X) = 0,24. |
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Сумма |
вероятностей |
всех возможных значений |
дискретной случайной величины равна единице, поэтому вероятность
того, что X примет значение |
JC2, равна 1—0,6 = 0,4. |
|
|
Напишем закон распределения |
X: |
|
|
X |
Хх |
Х2 |
Г) |
Р |
0,6 |
0,4 |
Для отыскания Xi и Х2 надо составить два уравнения, связываю щие эти числа. С этой целью выразим известные математическое ожидание и дисперсию через Xi и Х2.
Найдем М (Х):
А! (X) = 0,6;ci + 0,4je2. По условию, /И(Х) = 1,4, следовательно,
0,6Л:Х + 0,4А:2 = 1.4. |
Г*) |
Одно уравнение, связывающее Xi и Х2, получено. Для того чтобы получить второе уравнение, выразим известную дисперсию через Xi
и Х2-
Напишем закон распределения Х^:
Х^ х\ х1 р 0,6 0,4
Найдем М{Х^):
Л!(Х2)=0.6л:|+0,4;с2. Найдем дисперсию:
D(X) = M(X2)—[Ai(X)]2 = 0,6;c?+0,4;cl —1,42.
Подставляя D(X) = 0,24, после элементарных |
преобразований |
получим |
С**) |
0,6;с1 +0,44 = 2.2. |
73
Объединяя (**) и (*•*), имеем систему уравнений f0,6jci+0.4jc,= l,4, 10,6x1+0,4x1 = 2.2.
Решив эту систему, найдем два решения:
Xi=l; ^2 = 2 и Xi=l,8; д:2 = 0,8.
По условию Х2 > Хи поэтому задаче удовлетворяет лишь первое решение:
x i = l; Х2 = 2. |
(•••• ) |
Подставив (****) в (*), получим искомый закон распределения:
X1 2
р0,6 0,4
219.Дискретная случайная величина X имеет толь ко два возможных значения: х^ и jc,, причем х^ < х,. Вероятность того, что X примет значение х^, равна 0,2. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание М {X) == 2,6 и среднее квадратическое откло нение а(Х) = 0,8.
220.Дискретная случайная величина X имеет только
три возможных значения: Xi = l, х^ и JCJ, причем х^ < <х-2<Хз. Вероятности того, что X примет значения х^ и ^2 соответственно равны 0,3 и 0,2. Найти закон рас пределения величины X, зная ее математическое ожида ние Л1(Х) = 2,2 и дисперсию D(X)=^0,76.
221. Брошены п игральных костей. Найти дисперсию суммы числа очков, которые могут появиться на всех выпавших гранях.
Решение. Обозначим через X дискретную случайную вели чину—сумму числа очков, которые выпадут на всех гранях, через Х{ (1 = 1, 2, ..., п)—число очков, выпавших на грани i-й кости. Тогда
X = Xi -f- ^2 + •.. + Хп» |
|
Очевидно, все величины X/ имеют одинаковое |
распределение, |
следовательно, одинаковые числовые характеристики^^и, в частности, |
|
одинаковые дисперсии, т. е. |
П |
D(Xi) = D(X2)=...=D(X„). |
Так как рассматриваемые случайные величины независимы, то дисперсия их суммы равна сумме дисперсий слагаемых:
D(X) = D(Xi + X2+ ... +X„) = D(Xi) + D(X2)+...+D(X„).
В силу (•) получим
0(Х)^пВ(Хг). С*)
Таким образом, достаточно вычислить дисперсию случайной ве личины Xi, т. е. дислерсию числа очков, которые могут выпасть на
74
«первой» кости. Сделаем это. |
Напишем закон распределения Xi: |
|||||
Xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
р |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
Найдем М (X,): |
|
|
|
|
|
|
М №) = 1 4 + 2 • Т+3 • Т+^ • 4+5 • Т+« • Т=Т-
Напишем закон распределения |
Xi: |
|
|
|||
Xi |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
р |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
Найдем М (xl) |
и D (Хг): |
|
|
|
|
Л^(ХЬ= 1 4+4 4+^ 4+^^ 4+25 4+^^ 4=Т'
D(Xi) = Al(Xi) — [Af(Xi)]« = 91/6—(7/2)2 = 35/12. (*•*)
Найдем искомую дисперсию, для чего подставим (***) в (**): D(X)=:(35/12)n.
222*. Вероятность наступления события в каждом испытании равна р ( 0 < р < 1). Испытания производятся до тех пор, пока событие не наступит. Найти: а) мате матическое ожидание дискретной случайной величины X—числа испытаний» которые надо произвести до появ ления события; б) дисперсию величины X.
Р е ш е н и е , а) Составим закон распределения величины X — числа испытаний, которые надо произвести» пока событие не наступит:
|
|
р |
р |
ЯР q^P |
. . . q^-^P . . . |
(•) |
|
Здесь ^ = 1—р—вероятность |
непоявления рассматриваемого |
собы- |
|||||
тия |
Найдем |
М(Х)1 |
|
|
|
|
|
|
Л! (Х) = 1.р + |
2.(7Р+3.<7*Р+...+Л-^*-^Р+--.= |
|
||||
|
^p(\+2q |
+ |
|
Zq^+...+kqf^-^+...)=^p.j^^^=p.l^^L^ |
|||
|
Итак, Ai(X) = |
l/p. |
|
что |
1 + 2 ^ + 3 ^ * 4 - • . • + ^ ^ * " ^ + * - . = |
||
|
П о я с н е н и е . |
Покажем, |
|||||
=1/(1—q)^. |
Так как О < <7 < |
1» то |
степенной ряд (относительно q) |
||||
|
|
S^\^q |
+ q^ + |
|
...+qJ^+...^\/(\-q) |
|
можно почленно д»!фференцировать и сумма производных членов ряда равна производной от суммы ряда, т. е.
S'==l+a7 + 3 < 7 « + . . . + V - i + . . . = l/(l-(7«). |
(*•) |
|
б) Будем искать дисперсию величины X по формуле |
|
|
D(X)^M |
(JV2) — [М (X)]». |
|
Учитывая, что Л1(Х)=1/р, получим |
|
|
D(X)^M |
(Х*) — 11р\ |
(*••) |
75
СХггается найти М {X*). Напишем закон распределения X», исполь зуя распределение (*):
Х« 1« 2« 3« . . . А* . . .
Рр qp q*p . . . <7*~*р . . .
Найдем М{Х*у.
Л1(Х») = 1«.р+2*.9Р+3«<7*р+.-. + **-«7*-*Р+---== |
|
= р (1«+2«-«?+3».^»+ ... +А''(7*-Ч- •. .) = |
|
„ J±5 __ „ 1+0-Р) _2-р |
|
= " • (Г=:^»-'' * —7* |
153- |
ИТАК |
|
Ai(X«) = (2-.p)/p«. |
(-•^ |
Найдем искомую дисперсию, для чего подставим (•***) в (••*): П о я с н е н и е . Покажем, что
Действительно,
я
\ (P+2V+3V+ • • • + /fV"*+ ...)rffl^==
«^(1+2^+31/»+..•+Л^*-1+...)==<7/(1-^)* [см. О ] .
Дифференцируя обе части равенства по (/, получим
i«+2«^+3V+...+*V"-^+..- = (i+^)/(i-^)*.
223. Производятся многократные испытания некото рого элемента на надежность до тех пор, пока элемент не откажет. Найти: а) математическое ожидание дискрет ной случайной величины X—числа опытов, которые надо произвести; б) дисперсию X. Вероятность отказа эле мента в каждом опыте равна 0,1.
У к а з а н и е . Воспользоваться результатами задачи 222.
224, Доказать неравенство М [X—(х/+A:^)/2J* > D (Х)^ где лг/ и Xj^—любые два возможных значения случайной величины X.
Р е ш е н и е . 1) Допустим, что (xi+Xk)l2^M {X). Тогда
2) Допустим, что (ж/+Д^л)/2 9& М (Л). Докажем, что в этом случае
Л| Г х - ^ Ц ^ ] * > D(X).
7в
Преобразуем левую часть неравенства, используя Свойства ма тематического ожидания:
М [x-ii±i^]'=Af (Х«)-2*ф^*. М(Х)+ [^Ц^]\
Вычитая и прибавляя [Af (Х)]^ в правой части равенства, получим
М [;c-.i^i±^]'-DW+ [м(Х) ^ £ i + £ * j 4 D(X). Г)
Объединяя (•) и (*•), окончательно имеем
225. Доказать, что если случайная величина X имеет наименьшее и наибольшее возможные значения, соответ ственно равные а и 6, то дисперсия этой случайной ве личины не превышает квадрата полуразности между этими значениями:
D(X)<r(6-a)/2J^
Р е ш е н и е . Воспользуемся неравенством (см. |
задачу 224) |
D ( X ) < i M [ X ~ ( a + ^)/2]2. |
(*) |
Докажем теперь» что |
|
М [ Х - ( а + Ь)/2]а<;[(6-а)/2]а. |
|
(Отсюда и из (*) следует справедливость доказываемого неравенства.) С этой целью преобразуем математическое ожидание:
Af [(^—a)/2]« = M[X —(а + ^)/2+(6—Л')]2 = = Л1 [X —(а + 6)/2]2 + Л1 [(б—Х) (X—а)].
Второе слагаемое правой части равенства неотрицательно (это следует из того, что b—наибольшее и а — наименьшее возможные значения), поэтому первое слагаемое не превышает всей суммы:
М [X —(а + ^)/2]* < М [(6—а)/2]^
Учитывая, что математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, окончательно получим
Ai [X —(a + &)/2ia<;[(6-~a)/2]a.
226. Доказать, что если X и Y — независимые случай ные величины, то
D {XY)^D{X)'D (К) +пЮ {Х)+тЮ (К),
где т = Л1(Х) и /г = Л1(У).
Р е ш е н и е . По формуле для вычисления дисперсии
|
D (XY)^ М [(XY)^]^[M |
{XY)]\ |
|
Учитывая, |
что X и Y — независимые величины |
и, следовательно, |
|
X' и К^ также |
независимы и что математическое ожидание произве |
дения независимых случайных величин равно произведению ихмате-
77
матических ожиданий, |
получим |
|
|
|
|
|
||
|
D(XK) = Al[Xa.K«] —[Л1(Х).Л1(К)]2=: |
|
||||||
|
|
= М (Х«) М (Г2)—m2/i«. |
|
|
(•) |
|||
По определению дисперсии, |
|
|
|
|
|
|||
Отсюда |
0(Х) = Л1(Л*)-~т2, |
D(K) = Af(K2)-./i2. |
|
|||||
М (Х^) = D (X) + т», |
М (К2) ==.£> |
(К) + л2. |
(••) |
|||||
|
||||||||
Подставив |
(*^) в (*), |
после упрощений окончательно имеем |
|
|||||
|
D (XV) ^D(X)D |
(Y) + пЮ (X) + тЮ (К). |
|
|||||
227. Найти дисперсию дискретной случайной вели |
||||||||
чины X, распределенной по закону Пуассона: |
|
|||||||
X |
0 |
1 |
2 |
|
k |
4k\ |
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
||
Р е ш е н и е . Воспользуемся формулой |
|
|
|
|||||
|
D(X) = Af(X«)—[Л1(Л)]« |
|
|
|
||||
Так как АЦХ) =-X (см. задачу 207), то |
|
|
|
|||||
|
|
D(X) = |
M(X*)—X: |
|
|
о |
||
|
|
|
|
|
|
|
Напишем распределение случайной величины X*, учитывая, что вероятность того, что X' примет значение ^^, равна вероятности того, что X примет значение к (это следует из того, что возможные значения X неотрицательны):
Л* |
О» |
1* |
2« |
. . . |
Л» |
Р |
е"^ |
Хе-^/1! |
Я,2е-^2! |
. . . |
К^е'^/М |
Найдем математическое ожидание Х^:
Учитывая, что при Аг=0 первый член суммы равен нулю, получим
Jlrst |
l-fcsl |
|
^ s l |
J |
Положив k—la=m, |
имеем |
|
|
|
|
l-msO |
«1=0 |
J |
|
78
Принимая во внимание, что
|
00 |
|
|
|
|
|
т |
^^ |
= Х (см. задачу 207), |
|
|
|
т = О |
|
|
|
|
|
00 |
* |
00 |
|
|
|
Е^Zd ml--^Е^=Zd , -^«^-'. |
|
|||
имеем |
m=0 |
|
от=0 |
|
|
M(X2) = X(A. + 1) = X« + X. |
(••) |
||||
|
Подставим (••) в (•):
D(X) = (X«4-M—А'^ = ^.
Итак, дисперсия распределения Пуассона равна параметру к,
§ 4. Теоретические моменты
Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины Х^:
v^ = M(X*).
В частности, начальный момент первого порядка равен матема тическому ожиданию:
Vi = M(X).
Центральным моментом порядка k случайной величины X на зывают математическое ожидание величины [X—М{Х)]^:
^1л = Л1[Х-Л1(Х)]Л.
В частности, центральный момент первого порядка равен нулю: fii = M[A:—М(Х)]=0;
центральный момент второго порядка равен дисперсии:
Центральные моменты целесообразно вычислять, используя фор* мулы, выражающие центральные моменты через начальные:
fAa = Va—VI, fAs==V3—3viV2 + 2vi,
Ц4 = V4—4viV3 + 6V1V2—3vi.
228. Дискретная случайная величина X задана зако ном распределения:
X 1 3
р0,4 0,6
Найти начальные моменты первого, второго и третьего порядков.
Р е ш е н и е . Найдем начальный момент первого порядка: VI = M(A:) = 1.0,4 + 3 0,6 = 2,2.
79