Задачник по теории вероятностей
.pdfределяется этот закон; требуется найти его точечную оценку
Обозначим вероятность того, что в результате испытания вели чина X примет значение Xi через p(Xi\ 0).
Функцией |
правдоподобия |
дискретной |
'случайной |
величины X |
||||
называют функцию аргумента |
0: |
|
|
|
|
|||
ЦхиХ2, |
...,Хп\ |
0) = |
p(-ti; |
е)'Р(Х2\ |
в)...р(Хп\ |
0). |
||
Оценкой |
наибольшего правдоподобия |
параметра |
0 называют |
|||||
такое его значение 0*, |
при котором функция |
правдоподобия дости |
||||||
гает максимума. |
и In L |
достигают |
максимума при одном и том же |
|||||
Функции |
L |
|||||||
значении 0, |
поэтому вместо отыскания максимума функции L ищут, |
что удобнее, |
максимум функции |
In L. |
|
|
|||
Логарифмической функцией правдоподобия называют функцию InL. |
|||||||
Точку максимума функции InL аргумента 0 можно искать, на |
|||||||
пример, |
так: |
|
|
|
|
|
|
1 |
и |
ч |
|
d InL |
|
|
|
1. |
Найти |
производную |
,^ |
* |
и найти критическую точку |
||
2. |
Приравнять производную |
нулю |
|||||
0*— |
корень |
полученного |
уравнения |
(его называют |
уравнением |
||
правдоподобия). |
|
|
|
|
|||
о |
1л * |
|
|
d M n 0 |
|
||
3. |
Найти |
вторую производную .^д |
; если вторая |
произэодная |
при 0 = 0* отрицательна, то 0*—точка максимума.
Найденную точку максимума 0* принимают в качестве оценки наибольшего правдоподобия параметра 0.
Б. Непрерывные случайные величины. Пусть X—непрерывная случайная величина, которая в результате п испытаний приняла
значения Хи Х2, . . . , ж„. Допустим, |
что вид плотности |
распределе |
|||||
ния—функции |
f {х) — задан, но неизвестен параметр 0, |
которым оп |
|||||
ределяется |
эта |
функция. |
|
|
|
|
|
Функцией правдоподобия непрерывной случайной величины X |
|||||||
называют функцию аргумента |
0: |
|
|
|
|||
L(;fi, |
Jfa, - .. , Jf«; B)==f(xu |
^)f(X2\ |
e)...f{x„; |
0). |
|||
Оценку |
наибольшего |
правдоподобия |
неизвестного |
параметра |
|||
распределения |
непрерывной |
случайной величины ищут так же, как |
|||||
в случае дискретной случайной величины. |
непрерывной |
случайной |
|||||
Если плотность распределения |
f(x) |
||||||
величины определяется двумя |
неизвестными параметрами 0 i и 02, |
то функция правдоподобия есть функция двух независимых аргумен тов 02 и 02:
L = f{Xi; 01, 02)-/(-^25 ^1» ^2)* • 'f {^п* ©It ®а)-
Далее находят логарифмическую функцию правдоподобия и для отыскания ее максимума составляют и решают систему
dlnL
489. Найти методом наибольшего правдоподобия то чечную оценку неизвестного параметра р (вероятность
170
появления события в одном испытании) биномиального распределения:
тле Х(—число появлений события в I-M опыте, т—коли чество испытаний в одном опыте, п—число опытов.
Р е ш е н и е . Составим функцию правдоподобия: |
|
|||||||
|
L=-p{xt; |
е)р(х2\ |
е)...р(хп; |
в). |
|
|||
Учитывая, что В=р |
и Р {X=Xi)=C^p^^ |
(I—р)'""*', |
получим |
|||||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
L^iC^^C^f |
. . . |
C^n\.pXt+Xt |
+ ,,,+Xn,^i |
|
p^nm^{Xt+Xt |
+ ..,-¥Xn) |
||
Напишем логарифмическую функцию правдоподобия: |
||||||||
\nL=^\n\C';^C^^...C^^\ |
+ |
|
{^Xi)\np^{nm-^^x^ |
|
||||
Найдем первую производную по р: |
|
|
|
|||||
|
dp |
р |
^ |
^^d |
1' |
I — р |
|
Приравняв первую производную нулю и решив полученное урав нение, получим критическую точку
р==(2дг/)/(пт). Найдем вторую производную по р:
Легко убедиться, что при p=\^Xi)l{nm) |
вторая производная |
|||
отрицательна; |
следовательно, эта |
точка есть точка максимума |
и ее |
|
надо принять |
в качестве оценки |
наибольшего |
правдоподобия |
неиз |
вестной вероятности р биномиального распределения:
Р*=(.2л:/)/(пт).
Очевидно, что если Х{ появлений события наблюдалось в гц опытах, то
р»=(2п/д?/)/(лт).
490. Случайная величина X (число появлений собы тия А ъ т независимых испытаниях) подчинена бино миальному закону распределения с неизвестным пара метром р. Ниже приведено эмпирическое распределение числа появлений события А в 1000 испытаний (в пер вой строке указано число лг/ появлений события в одном опыте из т = 1 0 испытаний, во второй строке приведена частота П/—число опытов, в которых наблюдалось х^
171
появлений события А):
j c ; 0 1 2 |
3 4 |
20 |
5 6 7 |
||||
/г,. 2 |
3 |
10 |
22 |
26 |
12 |
5 |
Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра р биномиального распре деления.
У к а з а н и е . Использовать задачу 489.
491. Случайная величина X (число появлений собы тия А в/п независимых испытаниях) подчинена закону распределения Пуассона с неизвестным параметром К:
Р , ( Х = х,) = Я^^-е-^л:,!,
где т—число испытаний в одном опыте, х^—число по явлений события в t-M опыте ( / = 1 , 2, . . . , м).
Найти методом наибольшего правдоподобия по вы борке Xi, jCg, . .. , х„ точечную оценку неизвестного пара метра к распределения Пуассона.
492. Случайная величина X (число поврежденных стеклянных изделий в одном контейнере) распределена по закону Пуассона с неизвестным параметром Я. Ниже приведено эмпирическое распределение числа повреж денных изделий в 500 контейнерах (в первой строке
указано количество |
х^ |
поврежденных изделий в одном |
||||||||
контейнере, во второй |
|
строке |
приведена частота |
П/ — |
||||||
число контейнеров, |
содержаш.их х^ |
поврежденных |
изде |
|||||||
лий): |
О |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 5 |
6 7 |
|
|
А:,. |
|
|
|
|||||||
/г,. |
199 |
169 |
87 |
31 |
9 |
3 |
1 1 |
|
Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра X распределения Пуас сона.
У к а з а н и е . Использовать задачу 491.
493. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке Xj^y ^2, . . . , х^ точечную оценку неизвестного параметра X показательного распределения, плотность которого / (х) == Хе- ^-^ (х ^ 0).
Р е ш е н и е . Составим функцию правдоподобия
L^f(xг;e)•f{x2^e)...f{Xn; в),
учитывая, что в = Х и, следовательно, f (х; 0)=/(дг; Х)=Ле""^^: L = (Xe-^^0(>^e-^^') ... (>^е-^^«) = Я«.е~^2^|-
172
Найдем логарифмическую функцию правдоподобиях In L = « In Я,—к ^ j Xf,
Найдем первую производную по X:
-—.=n/X-2jX,:
Запишем уравнение правдоподобия, для чего приравняем первую производную нулю: п/Х—^Xi = 0, Найдем критическую точку, для чего решим полученное Уравнение относительно к:
Найдем вторую производную |
по X: |
|
dMnL |
(-«)А^ |
|
dA,2 |
|
|
Легко видеть, что при Я, = 1/Хв вторая производная отрицательна; |
||
следовательно, эта точкг^ есть точка максимума |
и, значит, в каче |
|
стве оценки наибольшего правдоподобия надо |
принять величину, |
|
обратную выборочной средней: А,* = 1Дв- |
|
494. Случайная величина X (время безотказной работы элемента) имеет показательное распределение f {х) = Ке'^ (х^О), Ниже приведено эмпирическое распределение среднего времени работы 1000 элементов (в первой строке указано среднее время х^ безотказной работы одного элемента в часах; во второй строке указана частота п,.—количество элементов, проработавших в среднем Jt^ часов):
Х( 5 15 25 35 45 55 65 п,. 365 245 150 100 70 45 25
Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра К показательного рас пределения.
У к а з а н и е . Использовать задачу 493.
495. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке Xi, ^2, . . . э х„ точечную оценку параметра р гаммараспределения (параметр а известен), плотность которого
/(х) ==——-i |
л^е~^/Р ( а > — 1 , р > 0 , А : > 0 ) . |
496. Устройство состоит из элементов, время безот казной работы которых подчинено гамма-распределению. Испытания пяти элементов дали следующие наработки
173
(время работы элемента в часах до отказа): 50, 75, 125, 250, 300. Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку одного неизвестного параметра Э гаммараспределения, если второй параметр этого распределе ния а= 1,12.
У к а з а н и е . Использовать задачу 495.
497. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке д^1, x^f ...» Хп точечную оценку параметра р геометрического распределения:
Р(Х = л:,) = (1-рГ/-"^.р,
где Xi—число испытаний, произведенных до появления события; р — вероятность появления события в одном испытании.
498. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке ^1, х,, . . . , х„ точечную оценку параметра а (параметр а известен) распределения Кэптейна, плот ность которого
аУ 2п
где g{x)—дифференцируемая функция.
499.Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке JCj, дгд, . . . , Хп точечную оценку параметра о (параметр а известен) распределения Кэптейна (см. задачу 498).
500.Найти методом наибольшего правдоподобия по
выборке Xj, Хд, |
. . . , х„ точечные |
оценки |
параметров а и |
|
о нормального |
распределения, плотность |
которого |
||
|
/ (х) = |
—i=e-<*-«>V(2o«). |
|
|
У к а з а н и е . |
Составить и решить систему |
|
||
|
д\пЬ |
^ д\п1 |
^ |
|
§ 4. Интервальные оценки
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами—концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.
Доверительным называют интервал, который с заданной надеж ностью у покрывает заданный параметр.
1. Интервальной оценкой (с надежностью у) математического ожидания а нормально распределенного количественного признака X
по выборочной средней х^ при и з в е с т н о м с р е д н е м квад-
174
р а т и ч е с к о м |
о т к л о н е н и и |
а генеральной совокупности слу |
|||
жит доверительный интервал |
|
|
|
|
|
|
Хп — < (о/ Vn) <а< |
3^в+ t (о/ |
}Гп), |
||
где t {а/Уп)=:б—точность |
оценки, |
п—объем |
выборки, t — значе |
||
ние аргумента функции Лапласа Ф (t) |
(см. приложение 2), при кото |
||||
ром Ф (О = Y/2; |
при н е и з в е с т н о м а (и объеме выборки /г < 30) |
||||
|
^в —^v (s/Vn) |
<а |
< x^ + ty |
ls/Уп), |
где S—«исправленное» выборочное среднее квадратическое отклоне ние, t находят по таблице приложения 3 по задан]ным п и у.
2. Интервальной оценкой (с надежностью у) среднего квадратического отклонения а нормально распределенного количественного признака X по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению s служит доверительный интервал
$(1 —(7) <о < s(\+q) |
(при q < 1), |
О < о < 5(1+^) (при д > 1),
где q находят по таблице приложения 4 по заданным п и у.
3. Интервальной оценкой {с надежностью у) неизвестной вероятности р биномиального распределения по относительной частоте w
служит доверительный интервал (с приближенными концами pi и ра)
Pi < Р < Р2»
где
где п—общее число испытаний; т — число появлений события; w —
относительная частота, равная отношению т/п; |
t — значение аргу |
|||||||
мента функции Лапласа (приложение |
2), |
при |
котором |
Ф(t)=^y/2 |
||||
(у — заданная надежность). |
значениях |
п |
(порядка сотен) |
|||||
З а м е ч а н и е . |
При больших |
|||||||
можно принять в качестве приближенных |
|
границ доверительного |
||||||
интервала |
|
|
|
|
т/^а/(1—w) |
|||
. т/^а;(1—о/) |
|
, |
. |
|||||
Pi==W"^i у -i-jj '-, |
p^^w + i |
у |
- |
^ |
i. |
|||
501. Найти |
доверительный |
интервал |
для |
оценки |
||||
с надежностью |
0,95 неизвестного |
математического ожи |
дания а нормально распределенного признака X гене ральной совокупности, если генеральное среднее квад ратическое отклонение а = 5, выборочная средняя х^= 14 и объем выборки п = 25.
Р е ш е н и е . Требуется найти доверительный интервал
У п у п
175
Все величины, кроме t, известны. Найдем / из соотношения ф(/)=0,95/2=0,475._ По таблице приложения 2 находим ^ = 1,96. Подставив / = 1,96, Зсв = 14, а = 5 , л=25 в (*), окончательно полу чим искомый доверительный интервал 12,04 < а < 15,96.
502. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожи дания а нормально распределенного признака X гене ральной совокупности, если известны генеральное сред нее квадратическое отклонение^ а, выборочная средняя Хв и объем выборки п: а) а = 4, х^= 10,2, п = 16; б) а = 5, л:з==16,8, п = 25.
503. Одним и тем же прибором со средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений 0 = 40 м произведено пять равноточных измерений рас стояния от орудия до цели. Найти доверительный интер вал для оценки истинного расстояния а до цели с на дежностью Y = 0,95, зная среднее арифметическое резуль
татов измерений Хв = 2000 м, Предполагается, что результаты измерений распреде
лены нормально.
504. Выборка из большой партии электроламп содер жит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы выборки оказалась равной 1000 ч. Найти с надеж ностью 0,95 доверительный интервал для средней про должительности а горения лампы всей партии, если известно, что среднее квадратическое отклонение про должительности горения лампы а = 40 ч. Предполагается, что продолжительность горения ламп распределена нор мально.
505. Станок-автомат штампует, валики. По выборке объема /1= 100 вычислена выборочная средняя диаметров изготовленных валиков. Найти с надежностью 0,95 точ ность б, с которой выборочная средняя оценивает мате матическое ожидание диаметров изготовляемых валиков, зная, что их среднее квадратическое отклонение а = 2 мм. Предполагается, что диаметры валиков распределены нор мально.
506. Найти минимальный объем выборки, при кото ром с надежностью 0,975 точность оценки математиче ского ожидания а генеральной совокупности по выбороч ной средней равна б = 0,3, если известно среднее квад ратическое отклонение а = 1,2 нормально распределенной генеральной совокупности.
176
Р е ш е н и е . Воспользуемся формулой, определяющей точность оценки математического ожидания генеральной совокупности по
выборочной средней: Ь=^1о1У^п, Отсюда |
|
|
|
n=.i^o^lb^. |
(•) |
По условию, Y==^»^75; следовательно, |
Ф(/) =0,975/2 = 0,4875. По |
|
таблице |
приложения 2 найдем t =2,24, |
Подставив t =2,24, а = 1 , 2 |
и 6 = 0,3 |
в (•), получим искомый объем выборки /г = 81. |
|
507. |
Найти минимальный объем выборки, при кото |
ром с надежностью 0,925 точность оценки математиче ского ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней равна 0,2, если известно среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности а =1,5.
508. Из генеральной совокупности извлечена выборка
объема л== 10: |
1 2 |
3 4 5 |
варианта х^ —2 |
||
частота п^ 2 |
1 2 |
2 2 1 |
Оценить с надежностью 0,95 математическое ожида ние а нормально распределенного признака генеральной
совокупности |
по выборочной средней при помощи дове |
рительного интервала. |
|
Р е ш е н и е . |
Выборочную среднюю и «исправленное» среднее |
квадратическое отклонение найдем соответственно по формулам:
•у^Щ^
Подставив в эти формулы данные задачи, получим х^ = 2, s=2,4. Найдем / . Пользуясь таблицей приложения 3, по у =0,95 и
/2=10 находим / =2,26.
Найдем искомый доверительный интервал:
Хв — tySl Уп<а < 'x^ + t^sl Уп.
Подставляя х^ = 2, / =2,26, s = 2,4, л = 10, получим искомый дове рительный интервал 0,3 < а < с 7, покрывающий неизвестное мате матическое ожидание а с надежностью 0,95.
509, Из генеральной совокупности извлечена выборка объема п= 12:
варианта |
лг/ —0,5 |
—0,4 |
—0,2 |
О 0,2 |
0,6 |
0,8 |
1 1,2 |
1,5 |
частота |
ri^ \ |
2 |
1 |
1 1 |
1 1 |
1 |
2 |
1 |
Оценить с надежностью 0^95 математическое ожидание а нормально распределенного признака генеральной сово купности с помощью доверительного интервала.
177
510. По данным девяти независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены сред нее арифметическое результатов измерений л:в==30,1 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 6. Оценить истинное значение измеряемой величины с по мощью доверительного интервала с надежностью у = 0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.
Р е ш е н и е . Истинное значение измеряемой величины равно ее математическому ожиданию а. Поэтому задача сводится к оценке математического ожидания (при неизвестном о) при помощи довери тельного интервала
XB — t^s/Уп <а< |
x^ + t^s/Vn. |
(*) |
|
Все величины, кроме / , известны. Найдем / |
. По таблице прило |
||
жения 3 по Y = 0,99 и п = 9 находим /^ = 2,36. |
|
|
|
Подставив 1св = 30,1, /^ = 2,36, |
s = 6, л = 9 |
в (•), |
получим иско |
мый интервал: 25,38 < а < 34,82. |
|
|
|
511.По данным 16 независимых равноточных изме рений некоторой физической величинь^ найдены среднее арифметическое результатов измерений ;Св=42,8 и «исправ ленное» среднее квадратическое отклонение s==8. Оце нить истинное значение измеряемой величины с надеж ностью Y = 0,999.
512.По данным выборки объема п=16 из генераль ной совокупности найдено «исправленное» среднее квад ратическое отклонение s = l нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интер вал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение а с надежностью 0,95.
Р е ш е н и е . |
Задача |
сводится |
к отысканию доверительного ин |
||||
тервала |
|
|
|
|
|
|
|
s(l—(7) <о |
< |
s{l+q) |
(если q < 1), |
(*) |
|||
или |
о < о < s(\ |
+ q) |
(если q > 1). |
|
|||
|
|
||||||
По данным |
7 = 0,95 |
и п = 16 по таблице приложения 4 найдем |
|||||
<7 = 0,44. Так |
как q < |
\, |
то, подставив |
s = l , </=0,44 в соотноше |
|||
ние (•), получим искомый дорерительный |
интервал 0,56 < а < |
1,44. |
513. По данным выборки объема п из генеральной совокупности нормально распределенного количествен ного признака найдено «исправленное» среднее квадра тическое отклонение s. Найти доверительный интервал,
178
покрывающий генеральное среднее квадратическое откло нение о с надежностью 0,999, если: а) п=10, s = 5,l; б) /t = 50. s = 1 4 .
514. Произведено 12 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой физической вели чины, причем «исправленное» среднее квадратическое отклонение s случайных ошибок измерений оказалось равным 0,6. Найти точность прибора с надежностью 0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.
Р е ш е н и е . Точность прибора характеризуется средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений. Поэтому
задача сводится к отысканию доверительного |
интервала, |
покрываю |
||
щего а |
с заданной надежностью Y = 0 , 9 9 : |
|
|
|
|
|
s(l-q)<a<s{\+qy |
|
(•) |
По данным Y=^»^^ |
и /1 = 12 по таблице |
приложения |
4 найдем |
|
q=0,9. |
Подставив |
5=0,6, ^==0,9 в соотношение (*)» окончательно |
||
получим 0,06 < а < |
1,14. |
|
|
515.Произведено 10 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой физической вели чины, причем «исправленное» среднее квадратическое отклонение s случайных ошибок измерений оказалось равным 0,8. Найти точность прибора с надежностью 0,95. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.
516.Производятся независимые испытания с одина
ковой, но неизвестной вероятностью р появления собы тия А в каждом испытании. Найти доверительный интер вал для оценки вероятности р с надежностью 0,95, если в 60 испытаниях событие А появилось 15 раз.
Р е ш е н и е . По условию, л = 6 0 , т = 15, у = 0,95. Найдем отно-.
сительную |
|
частоту |
появления события |
А: a/ = m//i = 15/60 = 0,25. |
|||
Найдем |
/ |
из |
соотношения |
Ф(/) = 7/2=0,95/2 =0,475. По таб |
|||
лице функции |
Лапласа (см. приложение 2) находим / = 1,96. |
||||||
Найдем |
границы |
искомого доверительного интервала: |
|||||
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
Подставив |
в |
эти |
формулы |
л = 60, |
а; = 0,25, / = 1,96. получим |
||
р,=0,16, |
/[72=0,37. |
|
|
|
Итак, искомый доверительный интервал 0,16 < р < 0,37.
179