Задачник по теории вероятностей
.pdfЗ а м е ч а н и е . Решение, приведенное выше, преследует учебные цели. Гораздо быстрее ведет к цели формула
я
М [X2] = I.fjc2sinxciA: = (n2 —4)/2, 2 О
Это же замечание относится и к задаче 393.
393.Случайная величина X задана плотностью распределекия /(х)==со5л: в интервале (О, я/2); вне этого интервала /(х)==0. Найти математическое ожидание функции K«ф(X) = X^
394.Случайная величина X задана плотностью рас пределения /(x)«(l/2)sinjc в интервале (О, л); вне этого интервала /(л:)=«0. Найти дисперсию функции
у= (р{Х) = Х^, используя плотность распределения g{y)^
Р е ш е н и е . Используем формулу
d
д
где с и d—концы интервала, в котором заключены возможные зна чения Y. Подставляя ^(y) = sin V^'y/i V^, М (К)«(л2^4)/2 (см.
задачу 392) |
и учитывая, что с = 0 и d^n^ (так как у « х * и О < х < л, |
то О < у < |
я*), получим |
о^ ^
Интегрируя сначала с помощью подстановки y = t^, а потом четырежды по частям, имеем
Подставив (•*) |
в (*), |
окончательно |
получим |
|
|
||||
|
|
D(X2)=(n*—16л2 + 80)/4. |
|
|
|||||
395. Случайная |
величина |
X задана плотностью |
рас |
||||||
пределения |
/(X) = |
COSA: В интервале |
(О, я/2); |
вне |
этого |
||||
интервала |
/(х) = 0. |
Найти |
дисперсию |
функции |
|||||
У к а 3 4 и^и е. |
Предварительно |
найти |
плотность распределения |
||||||
g(y)^coa V |
у/2 У |
у |
величины К = Х*; использовать формулу |
Р(У)^ J y^g{y)dy^[M{Y)]^
130
где Л1(К) = (л2—в)/4 (см. задачу 393). При вычислении интеграла сначала воспользоваться подстановкой y = t^t а затем интегрировать по частям.
396. Ребро куба измерено приближенно, причем а^х^Ь. Рассматривая ребро куба как случайную ве личину X, распределенную равномерно в интервале (а, Ь), найти: а) математическое ожидание объема куба; б) дисперсию объема куба.
У к а з а н и е . |
Предварительно найти плотность распределения |
|
|
^^^^^3(Ь^а)у^^^ |
|
случайной величины y=sX^. |
Использовать формулы |
|
M(Y)=^ |
yg(у) 6у, |
^(У)^1 УЧ{у) ^У-[М(К)12. |
в» |
|
а» |
397. Задана функция распределения F (х) случайной величины X. Найти функцию распределения G(y) слу чайной величины К==ЗХ + 2.
Р е ш е н и е . По определению функции распределения, G {у) = = Р (К < у). Поскольку функция ^ = 3JC+2—возрастающая, то не равенство Y < у выполняется, если имеет место неравенство X < х^
поэтому |
(*) |
0{у)^Р {Y < у)^Р{Х < x)^f{x). |
|
Из уравнения y=3jc+2 выразим х: |
|
х^(у^2)/3. |
(**) |
Подставив (**) в (*), окончательно получим |
|
0(y)^Fl(y-2)/3]. |
|
398. Задана функция распределения F (х) случайной величины X. Найти функцию распределения G (у) слу чайной величины К» — (2/3)Х4 - 2 .
Р е ш е н и е . По определению функции распределения,
0(y)=^P{Y <у).
Поскольку функция у = — (2/3)дг+2—убывающая, то неравенство Y < у выполняется, если имеег место неравенство X > х, ПОЭТОМУ'
G{y)==P(Y<y)=^P(X>x),
События X < X и X > X противоположны, поэтому сумма веро ятностей этих событий равна единице: Р {X < х)+Р (X > х)=»1. Отсюда
Р(Х > д:)=1—Р(А: < x)^l-^f(x)\
следовательно,
С/(//) = 1-/^(лг). |
(*) |
131
Из уравнения у=:—(2/3)дг+2 выразим х:
Х = 3{2^УУ2, (**)
Подставив (*•) в (*), окончательно получим C(y) = l - f [3(2--у)/21.
399. Задана функция распределения F (х) случайной величины X. Найти функцию распределения С((/) слу чайной величины К, если: а) К = 4X4-6; б) К = —5Х+ 1; в) V==aX + b.
§ 2. Функция двух случайных аргументов
Если |
каждой паре возможных |
значений случайных величин X |
||
и У соответствует одно возможное значение случайной величины Z, |
||||
то Z называют функцией двух случайных аргументов X и У и пишут |
||||
|
|
2 = ф(Х, К). |
|
|
Если |
X |
и У—д и с к р е т н ы е |
независимые случайные вели |
|
чины, то, |
для того чтобы найти распределение функции |
Z = X + yf |
||
надо найти все возможные значения Z, для чего достаточно сложить |
||||
каждое возможное значение X со всеми возможными значениями У; |
||||
вероятности |
найденных возможных |
значений Z равны произведениям |
||
вероятностей складываемых значений X и У. |
|
|||
Если |
X и У — н е п р е р ы в н ы е независимые случайные вели |
|||
чины, то |
плотность распределения ^(г) суммы Z=^x4-y |
(при усло |
||
вии, что |
плотность распределения |
хотя бы одного из аргументов |
задана в интервале (— оо, оо) одной формулой) может быть найдена по формуле
ос
г(г)= |
5 |
fi{x)ft(z-x)dx. |
|
— » |
|
либо по равносильной формуле |
|
|
|
X |
|
йГ(г)= |
J |
ft(2-y)f^(y)dy. |
— X
где /i и /-2 — плотности распределения аргументов; если возможные значения аргументов неотрицательны, то плотность распределения g{z) величины Z==X-\'y находят по формуле
г
о
либо по равносильной формуле
г
g(z)^lfi{2-y)h(y)dy.
о
в том случае, когда обе плотности fi(x) и fziy) заданы на
конечных |
интервалах, для отыскания плотности |
g(z) величины |
Z = X + y |
целесообразно сначала найти функцию |
распределения |
132
0(г), а затем продифференцировать ее по г:
д(г) = 0'{г).
Если X и У — независимые случайные величины, заданные соот ветствующими плотностями распределения fi(x) и fiiy)* то вероят ность попадания случайной точки (Л', Y) в область D равна двойному интегралу по этой области от произведения плотностей распреде ления:
Р [{X, К) с D) = \ J Л (л) /2 (у) 6х dy.
iD)
400.Дискретные независимые случайные величины X
иУ заданы распределениями:
X |
1 |
3 |
У |
2 |
4 |
|
Р |
0,3 |
0,7 ' |
Р |
0,6 |
0,4 |
|
Найти распределение |
случайной величины 2 = Х + У. |
|||||
Р е ш е н и е . |
Для |
того чтобы составить |
распределение величины |
|||
Z = X-TY, надо найти |
все возможные |
значения Z и их вероятности. |
Возможные значения Z есть суммы каждого возможного значе ния X со всеми возможными значениями Y:
|
2i = |
l - p 2 = 3 ; 22=1 + 4 = |
5; гз = 3-|-2 = 5; 24 = 3 + 4 = 7. |
|||||
Найдем вероятности этих возможных значений. Для того чтобы |
||||||||
Z = 3, |
достаточно, |
чтобы величина |
X |
приняла |
значение Xi=l и |
|||
величина |
У — значение ^1=2. |
Вероятности этих |
возможных значе |
|||||
ний, как следует |
из данных |
законов |
распределения, соответственно |
|||||
равны 0,3 и 0,6. Так как аргументы |
X м Y независимы, то события |
|||||||
Х = \ |
и К = 2 независимы и, следовательно, вероятность их совмест |
|||||||
ного наступления |
(т. е. вероятность события 2 = 3) по теореме умно |
|||||||
жения |
равна 0,3 0,6 = 0,18. |
|
|
|
|
|
||
Аналогично найдем: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Р ( 2 = 1 + |
4 = |
5) ==0,3 0,4 = 0,12; |
|
||
|
|
|
Р (2 = 3 + |
2 = 5) =0,7 |
0,6 = 0,42; |
|
||
|
|
|
Я (2 = 3 + 4 = |
7)=0,7 . 0,4=0,28. |
|
Напишем искомое распределение, сложив предварительно веро ятности несовместных событий 2 = ^2 = 5, 2 = 2я = 5 (0,12 + 0,42 = 0,54):
2 |
3 |
5 |
7 |
Р |
0,18 |
0,54 |
0,28 |
Ко н т р о л ь : 0,18 + 0,54 + 0,28=1.
401.Дискретные случайные величины X и У заданы распределениями:
а) |
X |
10 |
12 |
16 |
Y |
1 |
2 . |
|
Р |
0.4 |
0.1 |
0,5' |
Р |
0.2 |
0.8' |
б) |
X |
4 |
10 |
|
Y |
1 |
7 |
|
Р |
0.7 |
0,3' |
|
Р |
0,8 |
0,2- |
Найти распределение случайной, величины 2 = Х + У
133
402. Независимые случайные величины X я Y заданы плотностями распределений:
/iW = e-^ (0<АГ<оо). f,iy)^(1/2)е-У/^ (0<у<оо).
Найти композицию этих законов, т. е. плотность распре деления случайной величины Z=X +К.
Решение. |
Так как |
возможные значения аргументов неотри |
|||||
цательны, то применима формула |
|
|
|
|
|||
|
|
|
ж |
|
|
|
|
|
|
giz)=^Utix)fz(z-x)dx. |
|
||||
Следовательно, |
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполнив элементарные преобразования, получим |
|||||||
|
|
г(г) = е-^/М1-е-'/«1. |
|||||
Здесь г^О, так как Z^X-^-Y |
и возможные значения X н Y |
||||||
неотрицательны. |
|
|
в |
интервале (О, оо), вне этого |
|||
Итак, ^(г)=е"'^/* [1—e"^^*J |
|||||||
интервала ^(z)==0. |
|
|
|
|
о» |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рекомендуем для контроля убедиться, что \ g(z)dj = l. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
403. Независимые случайные величины X и Y заданы |
|||||||
плотностями распределений: |
Му) = |
{1/5)е-У/^{0^у<оо). |
|||||
/iW = (l/3)e-*/» (0<х<оо), |
|||||||
Найти |
композицию этих законов, т. е. плотность распре |
||||||
деления случайной величины Z=»X + Y. |
|||||||
404. Независимые нормально распределенные случай |
|||||||
ные величины X и Y заданы плотностями распределений: |
|||||||
|
ft W = (1/К2^) e--V2, |
f^ (у) ^ (1/J/-2H) e-^va. |
|||||
Доказать, что крмпозиция |
этих |
законов, т. е. плот |
|||||
ность |
распределения |
случайной |
величины Z = X + Y^ |
||||
также есть нормальный закон. |
|
|
00 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Используем формулу |
g(z)^= \ /i (х) /а (г—х) dx. |
|||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0D |
|
|
|
|
134
Выполнив элементарные выкладки, получим
GO
— 00
Дополнив показатель степени показательной функции, стоящей под знаком интеграла, до полного квадрата, вынесем е^'^* за знак интеграла:
00
— 00
Учитывая, что интеграл Пуассона, стоящий в правой части равен
ства, равен 1^д , окончательно |
имеем g(z)— |
^^^ ^^ * |
|
|
У2п |
|
|
Рекомендуем для контроля |
00 |
g(z)d2=li |
Для |
убедиться, что \ |
|||
|
— 00 |
•/ и принять во |
|
этого следует воспользоваться подстановкой г=}^2 |
|||
|
со |
У 2л . |
|
внимание, что интеграл Пуассона \ e'"^*''^d/= |
|
||
Заметим, что в рассматриваемой задаче легко убедиться, |
что |
||
M(Z) = M(X) + M(Y) |
и а(2)=/"а2(Л:) + а2(К). |
|
Можно доказать, что эти формулы справедливы и при композиции общих нормальных законов (т. е. если математическое ожидание отлично от нуля и среднее квадратическое отклонение не равно единице).
405. Заданы плотности распределений независимых равномерно распределенных случайных величин X и V:
/i(jc)=l/2 в интервале (0,2), вне этого интервала
/2(^) = 1/2 в интервале (0,2), вне этого интервала /a(t/) = 0.
Найти функцию распределения и плотность распределе ния случайной величины Z = X + Y. Построить график плотности распределения g{2).
Р е ш е н и е . По условию, возможные значения X определяются неравенством О < х < 2, возможные значения V — неравенством О < 1/ <2. Отсюда следует, что возможные случайные точки (X; У) расположены в квадрате О ABC (рис. 9, а).
По определению функции распределения,
С (г) = Я (Z < Z) = Р (X4- Y < г),
135
Неравенству х-{-у < г удовлетворяют те точки {х; у) плоскости хОу, которые лежат ниже прямой х-]-у = г (эта прямая отсекает на осях Ох и Оу отрезки, равные г); если же брать только возможные зна чения X и у^ то неравенство х-\ у < г выполняется только для точек, лежащих в квадрате ОABC ниже прямой х-гу = г.
£ Z X
Ч X
Рис. 9
С другой стороны, так как величины X l^ Y независимы, то
0{z)=^^h{x)U{y) dxdy=-j^^dxdy^
где 5 — величина той части площади квадрата ОЛВС, которая лежит ниже прямой х-\-у=^г. Очевидно, величина площади 5 зависит от значения г.
Если |
г<;0, T o S = 0 , т. е. G (г) ==(1/4).0 = 0. |
|
Если О < г < 2, то (рис. 9, а) G (z) =={\'4) S^ Q^^ = |
\/4Z^/2=Z^/S. |
Если 2 < г < 4, то (рис. 9, б) G (г)==(1/4) 5^^^^^^= 1 —(4—z)V8.
Площадь фигуры ОАНКС найдена как разность между площадью квадрата ОABC, которая, очевидно, равна 2 - = 4 , и площадью прямо угольного треугольника ЯВ/С: S^f^Qf^ = HB'^/2, причем ИВ =2 —
— ЛЯ = 2 —Д^ = 2 —(г—2)=4 —2.
Если 2г > 4, то G(e) = (l/4)So . 4«c=i/4 - 4=l . Итак, искомая функция распределения такова:
Опри z < 0 ,
0{г)'. |
г«/8 |
при О < г < 2, |
|||
1 - ( 4 - г ) 2 / 8 |
при |
2 < |
2 < 4, |
||
|
|||||
|
1 |
при |
2 > |
4. |
Найдем плотность распределения:
Опри 2 ^ 0 ,
^W=-< |
2/4 |
при о |
< |
2 < |
2, |
1 — 2/4 при 2 |
< |
2 < |
4, |
||
|
О |
при 2 > |
4. |
|
136
График плотности распределения g (г) изображен на рис. 10. Рекомендуем для контроля убедиться, что площадь, ограничен*
ная кривой распределения g(z), равна единице.
406. Заданы плотности равномерно распределенных независимых случайных величин X и Y: Д (х) == 1 в интер вале (О, 1), вне этого интервала f^ {х) == 0; /^ (у) == 1 в интер вале (О, 1), вне этого интервала fi{y)^0.
|
|
Рис. 10 |
|
|
|
|
|
Найти функцию |
распределения и плотность |
распре |
|||||
деления случайной |
величины Z = X+Y. |
Построить гра |
|||||
фик плотности распределения ^^(г). |
|
равномерно |
|||||
407. Заданы |
плотности |
распределений |
|||||
распределенных |
независимых случайных величин X и У^: |
||||||
/I(JK:)=S1/2 В интервале (1,3), вне |
этого |
интервала |
|||||
^i(^)^0; /2(1/)== 1/4 в интервале (2,6), |
вне этого |
интер |
|||||
вала /^ (у) = 0 . |
Найти функцию распределения |
и |
плот |
||||
ность распределения случайной величины Z^X + Y. |
|||||||
Построить график плотности |
распределения |
g{z). |
|
|
Глава восьмая
СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
§ 1. Закон распределения двумерной случайной величины
Двумерной называют случайную величину (X, К), возможные значения которой есть пары чисел (JC, у). Составляющие X и У, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.
Двумерную величину геометрически можно истолковать как слу
чайную |
точку |
М {X; У) на |
плоскости |
хОу либо |
как случайный |
вектор |
ОМ. |
|
|
|
|
Дискретной называют двумерную величину, составляющие кото |
|||||
рой дискретны. |
|
двумерную |
величину, |
составляющие |
|
Непрерывной называют |
|||||
которой |
непрерывны. |
|
|
|
|
Законом распределения вероятностей двумерной случайной вели |
|||||
чины называют |
соответствие |
между возможными значениями и их |
|||
вероятностями. |
|
|
|
|
137
Закон распределения дискретной двумерной случайной величины может быть задан: а) в виде таблицы с двойным входом, содержа щей возможные значения и их вероятности; б) аналитически, напри мер в виде функции распределения.
Функцией распределения |
вероятностей двумерной случайной |
|
величины называют функцию |
F (х, |
у), определяющую для каждой |
пары чисел (х, у) вероятность того, |
что X примет значение, меньшее |
X, и при этом Y примет значение, меньшее у: F{x, у)=гР{Х <х, У <у).
Геометрически это равенство можно истолковать так: F (х, у) есть вероятность того, что случайная точка (X, У) попадет в бесконеч ный квадрант с вершиной (х, у), расположенный .левее и ниже этой вершины.
Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция».
Функция распределения обладает следующими свойствами:
С в о й с т в о |
1. Значения функции распределения удовлетворяют |
||||||
двойному неравенству |
|
|
|
|
|
||
|
|
0 < F ( x , I/X1 . |
|
||||
С в о й с т в о |
2. |
Функция |
распределения есть неубывающая |
||||
функция по каждому аргументу: |
|
|
|
|
|||
|
Р{Х2, y)^f(xu |
|
у), |
если Х2 > Xi, |
|||
|
f (х, У2) ^ f |
{х, |
!/i), |
если У2 > Уг. |
|||
С в о й с т в о |
3. |
Имеют место предельные соотношения: |
|||||
1) |
F ( ~ o o , (/)=0, |
|
2) |
F(x, |
~ с о ) = 0 , |
||
3) /="(—00, — оо) = 0, |
4) |
F(oo, |
оо) = 1. |
||||
С в о й с т в о |
4. |
а) При у=оо |
функция распределения системы |
||||
становится функцией распределения составляюш,ей X: |
|||||||
|
|
F(x, |
оо) = Л(х). |
|
|||
б) При X = |
00 |
функция |
распределения |
системы становится |
|||
функцией распределения составляющей |
У: |
|
^(00» i / ) = ^ 2 ( l / ) -
Используя функцию распределения, можно найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник Xi < X < Хг,
У1<У < У2'
Р(хг<Х <Х2, У1<У < У2) == [F {Х2. У2) —F {Хи У2)] —
— {Р{Х2> yi) — F(xu yi)]'
Плотностью совместного распределения вероятностей (двумерной плотностью вероятности) непрерывной двумерной случайной вели чины называют вторую смешанную производную от функции распре деления:
f^^'^y^- дхду •
Иногда вместо термина «двумерная плотность вероятности» используют термин «дифференциальная функция системы».
Плотность совместного распределения можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямо-
138
угольник со сторонами Лд: и Л^ к площади этого прямоугольника, когда обе его стороны стремятся к нулю; геометрически ее можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью рас пределения*
Зная плотность распределения, можно найти функцию распре деления по формуле
уX
F(x.y)^ S S /<^' y)dxdy.
Вероятность попадания случайной точки (Х» Y) в область D определяется равенством
Р[(Х, K)c:D] = 55/(x, y)dxdy.
Ф)
Двумерная плотность вероятности обладает следующими свой* ствами:
С в о й с т в о 1. Двумерная плотность вероятности неотрица тельна:
fix, У)^0.
С в о й с т в о 2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности вероятности равен единице:
5J f{x,y)iixuy=^\.
—ао — 0 0
Вчастности, если все возможные значения (X, Y) принадлежат конечной области D, то
^\f(x,y)ux6y=^\.
(D)
408, Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:
Y |
|
X |
|
|
3 |
10 |
12 |
||
|
||||
4 |
0,17 |
0.13 |
0,25 |
|
5 |
0,10 |
0,30 |
0,05 |
|
Найти законы распределения |
составляющих X и Y. |
Р е ш е н и е . Сложив вероятности «по столбцам», получим веро ятности возможных значений X: р (3) =0,27, р (10) =0,43, р (12)=0,30.
Напишем закон распределения составляющей X:
X |
3 |
10 |
|
12 |
р |
0,27 |
0,43 |
|
0,30 |
К о н т р о л ь : 0,27+0,43+0,30 = 1. |
аналогично найдем распре |
|||
Сложив вероятности |
«по строкам», |
|||
деление составляющей Y: |
К |
4 |
|
5 |
|
|
|||
|
р |
0,55 |
0,45 |
139