Задачник по теории вероятностей

З а м е ч а н и е . Утверждение задачи следует немедленно из того, что сумма вероятностей событий^ образующих полную группу, равна единице. Приведенное доказательство преследует учебные цели.

183. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету р = 0,01. Сколько нужно купить билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью Р, не меньшей, чем 0,95?

= 3/0,01 =300. Итак, надо купить не менее 300 билетов, чтобы выиг­ рать хотя бы по одному из них.

§ 2. Простейший поток событий

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.

Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который

обладает следующими тремя свойствами: стационарностью, «отсутст­

Свойство €отсутствия последейстзия!^ состоит в том, что вероят­ ность появления k событий в любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Другими словами, предыстория потока не влияет на вероятности появле­ ния событий в ближайшем будущем.

Свойство ординарности состоит в том, что появление двух или более событий за малый промежуток времени практически невоз-

60

можно. Другими словами, вероятность появления более одного со­ бытия за малый промежуток времени пренебрежимо мала по срав­ нению с вероятностью появления только одного события.

Интенсивностью потока X называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Если постоянная интенсивность потока % известна, то вероят­ ность появления k событий простейшего потока за время / опреде­ ляется формулой Пуассона

184. Показать, что формулу Пуассона, определяющую вероятность появления k событий за время длитель­ ностью t

можно рассматривать как математическую модель про­ стейшего потока событий; другими словами, показать, что формула Пуассона отражает все свойства простей­ шего потока.

Р е ш е н и е . Из формулы (*) видно, что вероятность появления k событий за время длительностью /, при заданной интенсивности А., является функцией только k и t, что отражает свойстзо стационар­ ности простейшего потока.

Формула (*) не использует информации о появлении событий до начала рассматриваемого промежутка времени, что отражает свойство отсутствия последействия.

Покажем, что рассматриваемая формула отражает свойство орди­ нарности. Положив ^ = 0 и k=l, найдем вероятность непоявле­ ния событий и вероятность появления одного события:

p^(0) = e"^^ Р^(1)=Х/е-Ч Следовательно, вероятность появления более одного события

Р^(Л>1) = 1--[Р^(0)+РИ1)] = 1~[е-^ЧЯ/е"-^'1.

Используя разложение функции е"^^ в ряд Маклорена, после эле­ ментарных преобразований получим

что отражает свойство ординарности.

Итак, формула Пуассона отражает все три свойства простейшего потока, поэтому ее можно рассматривать как математическую модель этого потока.

61

185. Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчерский пункт в одну минуту, равно трем. Найти вероятность того, что за 2 мин поступит: а) четыре вызова; б) менее четырех вызовов; в) не менее четырех вызовов.

б) Событие «поступило менее четырех вызовов» произойдет, если наступит одно из следующих несовместных событий: 1) поступило три вызова; 2) поступило два вызова; 3) поступил один вызов; 4) не поступило ни одного вызова. Эти события несовместны, по­ этому применима теорема сложения вероятностей несовместных со* бытии:

Яз (k < 4) = Р , (3)+Я, (2) + Я, (1) + Я, (0) = б^е-* б^-е-* б е - *

= 0,0025.61 =0,1525.

в) События «поступило менее четырех вызовов» и «поступило не менее четырех вызовов» противоположны, поэтому искомая вероят­ ность того, что за 2 мин поступит не менее четырех вызовов,

Я(Л^4) = 1—Я(;^< 4) = 1—0,1525 = 0,8475.

что за 4 мин поступит: а) три вызова; б) менее трех вызовов; в) не менее трех вызовов. Поток вызовов пред­ полагается простейшим.

187. Доказать, что для простейшего потока событий

У к а з а н и е . Использовать теорему о сумме вероятностей про­ тивоположных событий:

При отыскании искомого предела применить правило Лопиталя.

62

§ 3. Числовые характеристики дискретных случайных величин

Характеристикой среднего значения случайной величины слу­ жит матема1ическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

М (X) = XiPi + X2P2+ * . . +ХпРп-

Если дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то

M(X)=^j;^XiPi,

причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами.

знак математического ожидания: М(СХ)==^СМ{Х).

С в о й с т в о 3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события Б одном испытании:

М(Х) = пр.

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее матема­ тического ожидания:

D(X) = Af[X—Af(X)j2. Дисперсию удобно вычислять по формуле

D(X) = iW(X2)~[M(X)]2.

Дисперсия обладает следующими свойствами.

С в о й с т в о 1. Дисперсия постоянной равна нулю: D(C)=0.

63

С в о й с т в о 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

D(X) = npq.

Средним квадратичеасим отклонением случайной величину на­ зывают квадратный корень из дисперсии:

а(Х):=}ГЩх).

188. Найти математическое ожидание дискретной слу­ чайной величины X, заданной законом распределения:

189. Найти математическое ожидание случайной вели­ чины Z, если известны математические ожидания X н Y:

а) Z = X4-2y, M(X) = 5, M(Y) = 3; б) Z = 3 X + 4 y , Л1(Х) = 2, Л1(К) = 6.

Р е ш е н и е , а) Используя свойства математического ожидания (математическое ожидание суммы равно сумме математических ожи­ даний слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания), получим

M(Z)r=M(X + 2Y)==M(X) + M(2V)==M(X) + 2M(Y)==

=5 + 2 3 = 11.

190.Используя свойства метематического ожидания,

доказать, что: а) М{Х — Y) = M{X)—М (У); б) матема­ тическое ожидание отклонения X—Л1(Х) равно нулю.

191. Дискретная случайная величина X принимает

Найти А:, И р,, зная, что М{Х)==8.

192. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: Xi = —1, х^ = 0, дГа = Ь ^ также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: Л1(Х) = 0,1, М(Х^)==0,9. Найти вероятности

64

ние, что Л1(ЛГ)=0,1, Л1(Х*)=0,9, составим следующую систему

( ~ l ) V i + 0 « . p 2 + l ^ P 3 = 0,9.

Решив эту систему, найдем искомые вероятности: Pi==0,4, Ра = 0 , 1 , р , = 0 , 5 .

193.Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: л:, = 1, дса = 2, ;Сз = 3, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: Л1 (Х) = 2,3, М(Х^) = 5,9. Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X.

194.В партии из 10 деталей содержится три нестан­ дартных. Наудачу отобраны две детали. Найти матема­ тическое ожидание дискретной случайной величины X — числа нестандартных деталей среди двух oTo6paHjfiHX.

У к а з а н и е . Воспользоваться решением задачи 17, гл. 1, § 1.

б) Доказать, что математическое ожидание дискрет­ ной случайной величины X—числа появлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых ве­ роятность появления события равна р—равно произве­ дению числа испытаний на вероятность появления собы­ тия в одном испытании, т. е. доказать, что математи­ ческое ожидание биномиального распределения М(Х)^пр.

196. Найти математическое ожидание дискретной слу­ чайной величины X—числа таких бросаний пяти играль­ ных костей, в каждом из которых на двух костях по­ явится по одному очку, если общее число бросаний равно двадцати.

Р е ш е н и е . Воспользуемся формулой

М(Х)=^пР.

65

где п—общее число испытаний (бросаний пяти костей); X—число появлений интересующего нас события (на двух костях из пяти появится по одному очку) в п испытаниях; Р—вероятность появления рассматриваемого события в одном испытании.

По условию, /1=20. Остается найти Р—вероятность того, что на гранях двух из пяти костей появится по одному очку. Эту вероятность вычислим по формуле Бернулли, учитывая, что вероят­ ность появленияодного очка на грани одной кости рае 1/6 я, сле­ довательно, вероятность непоявления q=^l—l/ess5/6:

--.<»)-!. (i)"-(l)=f^=^-

Искомое математическое ожидание

iM (X) = пР = 20 ~ 2ы 3.

197. Устройство состоит из п элементов. Вероятность отказа любого элемента за время опыта равна р. Найти математическое ожидание числа таких опытов, в каждом из которых откажет ровно m элементов, если всего про­ изведено iV опытов. Предполагается, что опыты незави­ симы один от другого.

Подставив (**) в (*), получим искомое математическое ожидание:

198.Бросают п игральных костей. Найти математи­ ческое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно т шестерок» если общее число бросаний равно N.

199.Бросают п игральных костей. Найти математи­ ческое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях.

Решение. Обозначим через X сумму числа очков, которые выпадут на всех гранях, через X/ (/=1, 2, ..., п) — число выпавших очков на грани /-й кости. Тогда, очевидно,

66

М (;^1) = Ы / 6 + 2.1/6 + 3.1/6 + 4.1/6 + 5.1/6 + 6.1/6 = 7/2. (•••) Подставив (***) в (••), окончательно получим

М(Х)^(7/2)п.

202. События i4i, Л^, ... , Л„ несовместны и образуют полную группу; вероятности появления этих событий соот­ ветственно равны /?!, /7j, ..., рп- Если в итоге испытания появляется событие Л/ (i = 1, 2, ..., п), то дискретная случайная величина X принимает возможное значение х^, равное вероятности pi появления события Л/. Доказать, что математическое ожидание случайной величины X имеет наименьшее значение, если вероятности всех событий одинаковы.

Найдем математическое ожидание X:

67

Рассматриваемые события образуют полную группу, поэтому P i + P s +

203. Доказать, что математическое ожидание диск­ ретной случайной величины заключено между наимень­ шим и наибольшим ее возможными значениями.

Обозначим наименьшее и наибольшее возможные значения X соот­ ветственно через т н М. Тогда

М {X)^XiPi+x^p2+ .. .+XnPn<Mpi + Mp2+ ... +Mp„ =

Итак,

М{ХХМ. С)

Аналогично легко вывести, что

М(Х)^т. (•*)

Объединяя (*) и (•*), окончательно получим

пКМ (ХХМ.

204. Дискретная случайная величина X принимает k положительных значений jc^, х,, ...^Xf^c вероятностями, равными соответственно Pi, р^, . • . , р/^. Предполагая, что возможные значения записаны в' возрастающем порядке, доказать, что

Р е ш е н и е . Принимая во внимание, что

68

получим

....''М(?.)"'1;+-+(^'Г-^+-1

= Um

Так как по условию возможные значения X записаны в возрас* тающем порядке, т. е. лг/< Xk («' = 1, 2, ...,Аг—1), то

Ita f ^ y * ' = 0 и lira ( ^ V = 0 .

Следовательно,

n^i'^ Л1(х-) --^*-

205. Доказать, что если случайные величины Xi, X,,

... , Х„ независимы, положительны и одинаково распре­ делены, то

69