Задачник по теории вероятностей

Р е ш е н и е , а) Вероятность отказа первого элемента Pi^fi (6)= 1 —e-o.w в::^ I --е~»Д2 ^ I —0,887=*О,ИЗ.

Зероятность отказа второго элемента

P,-s= 1 —е~»-о»«а- I — е ~ м ^ 1 —0.741 =^0,259.

Искомая вероятность того, что оба элемента откажут, по теореме умножения вероятностей

PiPa--0,113.0.259 = 0,03.

б) Вероятность безотказной работы первого элемента <7i = /?, (6)-=e-0'02.e=^e-Ms=0,887.

Вероятность безотказной работы второго элемента (7i = /?i(6)-=e-o.o» «-:е-«»з^0.741.

Искомая вероятность безотказной работы обоих элементов </1-^» = 0,887 0,741 =0,66.

в) Вероятность того, что откажет только один элемент ^1^2+ PWi = 0,ll3.0.741 4-0,259 0,887 = 0,31.

г) Вероятность того, что хотя бы один элемент откажет /> = 1 — q^q^ ^ 1 —0,66 = 0,34.

370. Испытывают три элемента, которые работают независимо один от другого. Длительность времени без­ отказной работы элементов распределена по показатель­ ному закону: для первого элемента T^i (О = 1—е'"®»^^; для второго F^(t) = — e~^'*^ для третьего элемента F^{t) ^ = 1—e•^»з^ Найти вероятности того, что в интервале времени (О, 5) ч откажут: а) только один элемент; б) только два э^пемента; в) все три элемента.

371. Производится испытание трех элементов, работаю­ щих независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов pacпpeдev^eнa по показа­ тельному закону: для первого элемента А (0==0»l^~••*^ для второго /з (/) ==0,2e""^'•*^ для третьего элемента /, (/)» ==0,3€"®•'^ Найти вероятности того, что в интервале времени (О, 10) ч откажут: а) хотя бы один элемент; б) не менее двух элементов.

У к а з а н и е . Воспользоваться результатами, полученными при решении задачи 370.

372. Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством 7? (О*=*е^^^^ где положительное число X,—интенсивность отказов. Дока­ зать характеристическое свойство показательного закона

120

надежности: вероятность безотказной работы элемента в интервале времени длительностью / не зависит от вре­

Р(Д) = е~^^*. P ( ^ ) - - e - ^ ^ Я(Ла)-е-^''<^»^'>=е-'-^*.е~ ^^

Найдем условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно в интервале (t^, ^о + О при условии, что он уже прора­ ботал безотказно в предшествующем интервале (О, /9)'

Так как в полученной формуле не содержится /о, а содержится только t, то это и означает,' что время работы в предшествующем интервале не влияет на величину вероятности безотказной работы на последующем интервале, а зависит только от длины t последую­ щего интервала (/в4-О» что и требовалось доказать.

Другими словами, условная вероятность Р^ {В) безотказной ра­ боты в интервале времени длительностью /, вычисленная в предполо­ жении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безусловной вероятности Р (В).

Глава седьмая

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО

иДВУХ СЛУЧАЙНЫХ АРГУМЕНТОВ

§1. функция одного случайного аргумента

Если каждому возможному значению случайной величины X соответствует одно возможное значение случайной величины Y^ioY

называют функцией случайного аргумента X и записывают К = ф (X).

различные значения К, причем вероятности соответствующих зна­ чений X м Y одинаковы. Другими словами, возможные значения Y находят из равенства

где Jt/-T-возможные значения X; вероятности возможных значений Y находят из равенства

P(Y = yi)-^P(X^Xi),

Если же К = ф(Х)—немонотонная функция, то, вообще говоря, различным значениям X могут соответствовать одинаковые значе-

121

яня Y (так будет, если возможные значения X попадут в интервал, в котором функция ф (X) не монотонна). В этом случае для отыска* яия вероятностей возможных значений г следует сложить вероятности тех возможных значений Х^ при которых К принимает одинаковые значения. Другими словами, вероятность повторяющетося значения Y равна сумме вероятностей тех возможных значений Х^ при кото* рых Y принимает одно и то же значение.

Если X—н е п р е р ы в н а я с л у ч а й н а я в е л и ч и н а , за* данная плотностью распределения /(х), и если ^а=:ф(дг)—дифферен­ цируемая строго возрастающая или строго убывающая функция, обратная функция которой х = ф (^), то плотность распределения g(^) случайной величины Y находят из равенства

Если функция ^=ф(-^) в интервале возможных значений X не монотонна, то следует разбить этот интервал на такие интервалы, в которых функция ф(дг) монотонна, н найти плотности распределен НИИ giiy) для каждого из интервалов монотонности, а затем пред­ ставить g{y) в виде суммы:

^ (У) ==2^1 (У).

Например, если функция ф(х) монотонна в двух интервалах, в ко­ торых соответствующие обратные функции равны ф1(у) и 1^2 (^)f i^

^ХУ) = / [*i Ы] - | *1(У) 1+/ [*t {y)VWi (У) |.

373. Дискретная случайная величина X задана зако­ ном распределения:

Найти закон распределения случайной величины К = ЗХ.

Р е ш е н и е . Найдем возможные значения величины Y = ЭХ. Имеем: у| = 3 - 1=3; у2 = 3-3=9; ул = 3-5==15. Видим, что различным возможным значениям X соответстпуют различные значения К. Это

Аналогично получим вероятности остальных возможных зиаче« НИИ Y*

Р(К = 9) = Р(Х==3) = 0,1; Я(К = 15) = Я(Х = 5) = 0,5.

Напишем искомый закон распределения К: К 3 9 15

р0,4 0,1 0,5

374.Дискретная случайная величина X задана зако­ ном распределения:

122

Найти закон распределения случайной величины К = Х*.

Р е ш е н и е . Найдем возможные значения Y:

Уз = 4 = 1^ = 1, У4=^1 = 2* = 4.

Итак, различным значениям X соответствуют одинаковые значе­ ния У. Это объясняется тем, что возможные значения X принадле­ жат интервалу, на котором функция К = Х^ не монотонна.

Найдем вероятности возможных значений К. Для того чтобы величина Y приняла значение К = 1, достаточно, чтобы величина X приняла значение Х = —1 или Х = 1. Последние два события не­ совместны, их вероятности соответственно равны 0,3 и 0,2. Поэтому вероятность события К = 1 по теореме сложения

P(K = 1 ) = P ( X = —1) + Р ( Х = 1)=0,3+0,2 = 0,5. Аналогично найдем вероятность возможного значения К = 4: р (Г = 4) = Р(Х = — 2) + /'(Х==:2) = 0,1+0,4=0,5.

Напишем искомый закон распределения величины К: Y 1 4

р0,5 0,5

376.Дискретная случайная величина X задана зако­ ном распределения: X я/4 я/2 Зя/4

р0,2 0,7 0,1

Найти закон распределения случайной величины K=sInX. 377. Задана плотность распределения f{x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале (а, Ь). Найти плотность распределения слу­

чайной величины К = ЗХ.

Р е ш е н и е . Так как функция у=3х дифференцируемая и строго возрастает, то применима формула

g(y)=/[t(y)] - l^'(y)| . С)

где у^(у)—функция, обратная функции у = 3д:. Найдем yii(y):

ур(у)=^х=у/3.

Найдем /[г|)(у)];

/W^(y)J=/(y/3). Г*)

123

Решение. Угол t можно рассматривать как случайную вели* чину, распределенную равномерно в интервале (—л/2, л/2), причем в этом интервале плотность распределения

'* ^~я/2~{—л/2) "^ я '

вне рассматриваемого интервала f{t)^0.

Из рис. 7 следует, что ордината у связана с углом / следующей зависимостью: ^ » 4 t g / . Эта функция в интервале {—^л/2, л/2) моно­ тонно возрастает, поэтому для отыскания искомой плотностя

124

383, Случайная величина X равномерно распределена в интервале (—я/2, л/2). Найти плотность распределе­ ния g{y) случайной величины Y = siT\X.

^'(у)^1/УТ=^.

Найдем искомую плотность распределения по формуле giy)^fl^{y)]\^'(y)\ .

Учитывая, что f (х) = 1/л (следовательно, / [if (у)] = 1/я) и |*'(у)|«1/К'1—У*, получим

В(у)^1/{л}ГГ:1у^).

125

Так как y = sinx, причем — л/2<д?<л/2, то ^1 < у < t # Таким образом, в интервале (—1, 1) имеем ^ (у) = 1/(я К 1"~У*)*> вне этого интервала g(y)«=0.

Контроль:

=2/л-л/2=1.

384.Случайная величина X распределена равномерно

винтервале (О, л/2). Найти плотность распределения g(y)

126

Подставляя (**) и (***) в (*), имеем

К о н т р о л ь :

=2/л-л/2=1.

387.Случайная величина X распределена равномерно

винтервале (—я/2, я/2). Найти плотность распределе­ ния gf(i/) случайной величины У = cos X.

Зов. Случайная величина X распределена нормально

сматематическим ожиданием, равным а, и средним квадратическим отклонением, равным а. Доказать, что линей­ ная функция Y= АХ + В также распределена нормально, причем

M{Y) = Aa + B, а(К) = |Л|а.

Р е ш е н и е . Напишем плотность распределения случайной вели­ чины X:

'а Y2n

Функция \1^Ах-\-В монотонна, поэтому применима формула g(y)=/I1'(y)]lt'(y)l- П

Найдем дг=з^(у) из уравнения у = Ах-^В'.

^(у) = (у—В)/А.

Найдем / [If (у)]:

1(у-В)/А-ау Гу-Ма+В)}»

127

128

случайной величины У=(1/4)Л'^.

392. Случайная величина X задана плотностью рас­ пределения / (л:) = (1/2) sin д: в интервале (О, я); вне этого интервала /(л:) = 0. Найти математическое ожидание слу­ чайной величины К==ср(Х) = Х*, определив предвари­ тельно плотность распределения g(Y) величины Y.

Найдем искомое математическое ожидание величины К, учитывая, что возможные значения Y заключены в интервале (О, л^) [так как у=д:« и О < д г < л , т о О < ^ < л*]:

AMy)=j.g(.)di,=-ij"^^^7^<^^-

ОО

Пользуясь подстановкой y^t^, получим

л

M{Y)=''-^[С/2 sin/d/.

Интегрируя дважды по частям, окончательно имеем M{Y)= М (Л«) = (л* — J)/2.

129