Задачник по теории вероятностей
.pdfчимости |
0,01 проверить |
нулевую гипотезу HQ. а = ао = |
= 130 при конкурирующей гипотезе Н^: а =7^ 130. |
||
б) Решить эту задачу при конкурирующей гипотезе |
||
Н^: а> |
130. |
средний вес таблетки лекарства |
в) Установлено, что |
сильного действия должен быть равен ао = 0,50 мг. Выбо
рочная проверка |
121 таблетки полученной партии лекар |
|
ства показала, |
что средний вес таблетки |
этой партии |
х = 0,53 мг. Требуется при уровне значимости 0,01 про |
||
верить нулевую гипотезу Я^: а = ао = 0,50 |
при конкури |
рующей гипотезе Н^: а > 0,50. Многократными предвари тельными опытами по взвешиванию таблеток, поставляе мых фармацевтическим заводом, было установлено, что вес таблеток распределен нормально со средним квадратическим отклонением а = 0,11 мг.
576. а) По выборке объема п, извлеченной из нормаль ной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением о, найдена выборочная средняя X. При уровне значимости а требуется: 1) найти крити ческую область, если проверяется нулевая гипотеза Н^: а = ао о равенстве генеральной средней а гипотетическому значению а^ при конкурирующей гипотезе Н^: а > QQ] 2) найти функцию мощности рассматриваемого критерия, приняв в качестве аргумента гипотетическое значение генеральной средней a = ai(ai>ao); 3) убедиться, что увеличение объема выборки влечет увеличение мощности
критерия; 4) |
убедиться, что увеличение уровня значимо |
сти влечет увеличение мощности критерия. |
|
Р е ш е н и е . |
1) Конкурирующая гипотеза имеет вид а > GQ» |
поэтому критическая область—правосторонняя. Используя правило 2» найдем критическую точку ^кр из равенства Ф(«^р)=(1—2а)/2. Сле
довательно, |
правосторонняя критическая |
область определяется не |
|
равенством |
и > «кр, |
или подробнее |
7==" > "крОтсюда |
|
|
а У п |
|
При этих |
значениях |
выборочной средней нулевая гипотеза отвер- |
гаетсяг в этом смысле х = «кр {^1 V^«) + ao можно рассматривать как критическое значение выборочной средней.
2) Для того чтобы вычислить мощность рассматриваемого крите рия, предварительно найдем его значение при условии справедливости конкурирующей гипотезы (т. е. при a = ai), положив JC = WKP W V^)^
|
UKvi<y/V^)+ao'-ai |
^^ |
ах —ар |
o/Vn |
olVn |
**^ |
olVn ' |
220
Таким образом,
^=^'кр-^^. где Х = (а,--ао) V^/<y-
При t/ > WKP—^ нулевая гипотеза отвергается, поэтому мощ ность рассматриваемого критерия при a — ai равна
1^Р=.Р(С/ > акр — М=1~Я((/ < I/KP—М =
= 1 —1Я(—00 <и <0)+Р(0< |
и < г/кр —Я) = |
|
= 1~10,5+Ф(акр~М]=0.5-Ф(1гкр—X). |
||
Каждому значению ai |
соответствует определенное значение мощ |
|
ности, поэтому мощность |
критерия есть функция от ai\ обозначим |
|
ее через Л1 (oi). |
|
критерия |
Итак искомая мощность правостороннего |
jii(a,) = O,5~0(wKp-—^)»
где Ф(д:) —функция Лапласа, A, = (ai—До) V^/cf, ^кр находят из ра
венства Ф (Ыкр) = (1—2«)/2- |
|
объема |
выборки влечет увеличе |
|||||||
3) Убедимся, что |
увеличение |
|||||||||
ние мощности критерия. |
Действительно, |
из |
соотношения к |
= |
||||||
= (^1—UQ) V^li/o видно, что увеличение |
объема выборки приводит |
|||||||||
к увеличению величины к, |
а значит к уменьшению величины аргу |
|||||||||
мента WKD—к и тем самым к уменьшению значения функции Лапласа |
||||||||||
ф(Икр — А,) (Ф(х) — возрастающая |
функция) |
и, |
следовательно, |
к |
||||||
увеличению мощности 1—Р=0,5—Ф (^кр—^)- |
|
влечет уве |
||||||||
4) Убедимся, что |
увеличение |
уровня |
значимости а |
|||||||
личение |
мощности |
|
критерия. |
Действительно, |
из |
соотношения |
||||
0(WKP) = |
(1—2а)/2 |
видно, |
что увеличение |
а приводит к уменьше |
||||||
нию «кр, а значит |
к |
уменьшению величины |
аргумента и^р—Я и в |
|||||||
итоге к увеличению мощности 1—р=0,5—Ф |
("кр—к). |
|
|
б) По выборке объема п = 16, извлеченной из нор мальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением а = 4, при уровне значимо сти 0,05 проверяется нулевая гипотеза Н^: а==а^ = 2 о равенстве генеральной средней а гипотетическому зна чению ао = 2 при конкурирующей гипотезе Н^: а > 2. Требуется: 1) найти мощность правостороннего критерия проверки рассматриваемой гипотезы для гипотетического значения генеральной средней а = «1 = 3, 2) найти объем выборки n^j при котором мощность критерия равна 0,6.
Р е ш е н и е . |
1) Используем формулу |
|
|
|
|
|
1—Р = 0,5—Ф(«кр—^). |
|
(•) |
||
По правилу 2 найдем критическую |
точку |
правосторонней кри |
|||
тической области |
WKP = 1,65. |
|
ai = 3, |
а© = 2 , п = 1б, |
|
Вычислим А,, учитывая, |
что, по условию, |
||||
а = 4: |
|
_ |
_ |
|
|
A, = (ai —ао) |
}/*п/а = (3—2) |/'l6/4 = |
l. |
|||
Подставив 1/,(р = |
1,65 и Х = |
1 в формулу |
(•), получим |
1—р =0,5—Ф (1,65 —1) =0,5—Ф (0.65),
221
По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим Ф (0,65)= = 0,2422. Искомая мощность 1—Э =0,5—0,2422=0,2578.
2) Для отыскания снового» объема выборки /ti, при котором |
||||
мощность критерия равна 0,6, |
найдем «новое» значение параметра X |
|||
(обозначим |
его через |
Х^) из соотношения 0,6=0,5—Ф(1,65—Xi). |
||
Отсюда |
|
Ф(Х1 —1,65) =0,1 . |
|
|
|
|
|
||
По таблице |
функции |
Лапласа |
(см. приложение 2) |
находим Xi — |
— 1,65=0,253. Следовательно, |
Xi=J,903. |
|
||
Учитывая, 4ToX|=(ai—а©) |
^^/ti/o, причем, по условию, a i = 3 , |
|||
аф=2, о = 4, получим 1,903 = (3—2) V ^ / 4 . Отсюда |
искомый объем |
|||
выборки /ii = 58. |
|
|
|
|
в) По выборке объема п = 9, извлеченной |
из нормаль |
ной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением а = 4, при уровне значимо сти 0,05 проверяется нулевая гипотеза HQI а = а^=15 о равенстве генеральной средней а гипотетическому зна чению ао==15 при конкурирующей гипотезе а > 15. Тре буется: 1) найти мощность правостороннего критерия для гипотетического значения генеральной средней а = = а^=17; 2) найти объем выборки п^, при котором мощ ность критерия равна 0,8.
577. а) По выборке объема п, извлеченной из нор мальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением а, найдена выборочная средняя X. При уровне значимости а требуется найти функцию мощности критерия проверки нулевой гипо тезы HQI а = а^ о равенстве генеральной средней а гипо
тетическому |
значению а^ при конкурирующей |
гипотезе |
|
Р е ш е н и е . |
Конкурирующая гипотеза |
имеет вид |
а Ф а^^ по |
этому критическая область—двусторонняя. |
Используя |
правило 1, |
найдем критическую точку Ккр из равенства Ф(|/кр)==(^—а)/2. Следовательно, двусторонняя критическая область определяется неравенством \V \> £/кр, УЛЛ\^ подробнее
I о/ К л I
Найдем мощность рассматриваемого критерия, т. е. вероятность попадания критерия в критическую область при допущении, что справедлива конкурирующая^гипотеза а^^а^Ф а^\
'-'-"(f^h "-'•-'")•
Преобразуем выражение, стоящее под знаком модуля:
222
где 6 = |
r=r,A,= -i—7п= . Используя |
эти соотношения, получим |
|||
1 ~ Р = Р ( | 6 + Х | |
> t/Kp)=P Ф+К > «кр)+Р ( ^ + ^ |
< ~ - « к р ) - |
|||
|
= Р (6 > и^^^К) |
+ Р (6 < -~«кр-Я.) |
= |
||
= [ 1 - Ф ( « к р - М ] + Ф ( - " к р - > ' ) = 1 - Ф ( « к р - > ^ ) - Ф ( " к р + ^ ) . |
|||||
Таким |
образом, |
мощность |
двустороннего критерия при a = ai |
||
равна |
1 - р |
= 1~-[Ф("кр->^) + |
Ф("кр+>^)], |
|
|
|
|
где X = (ai —До) >^^/^-
Каждому значению ai соответствует определенное значение мощ
ности, поэтому мощность критерия есть |
функция от ai; |
обозначим |
ее через Я2 (fli). |
|
|
Итак, искомая мощность двустороннего критерия |
|
|
Я2 (ai) = 1 — [Ф (WKP —>-)+ Ф («КР + А.)], |
|
|
где Ф(х)—функция Лапласа, X = (ai-—а©) |
J^AZ/O, «кр находят из ра |
|
венства Ф (г/кр) == (1 —а)/2. |
|
|
б) По выборке объема п=16, |
извлеченной |
из нор |
мальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением а = 5, при уровне значимо сти 0,05 проверяется нулевая гипотеза. HQI а = а^ = 20 о равенстве генеральной средней а гипотетическому зна чению ао = 20 при конкурирующей гипотезе Я^: а =5*^20. Найти мощность двустороннего критерия проверки рас сматриваемой гипотезы для гипотетического значения
генеральной |
средней |
ai = 24. |
|
|
|
|
Р е ш е н и е . Используем |
формулу |
|
|
|
|
|
|
1^^==1--[Ф(и^^^Х)+Ф(и^^ |
|
+ к)1 |
(•) |
||
По правилу 1 найдем |
критическую |
точку |
t/Kp = |
l,96. |
||
Вычислим |
X, учитывая, что, |
по |
условию, ai = 24, ао==20, |
|||
л = 16, а==5: |
|
|
|
|
|
|
X = (ai—ао) |
»^п/а = (24—20) |/'Тб/5 = |
3.2. |
||||
Подставив |
«кр==1»9б |
и >i=3,2 |
в формулу |
(*), получим |
1—р = 1—[Ф (1.96—3,2) + Ф (1,96+3,2)] = 1 + Ф (1,24)—Ф (5,16).
По таблице функции Лапласа (см. приложение |
2) находим |
Ф(1, 24)=0,3925, Ф(5,16) = 0,5. Искомая мощность |
1—в==1 + |
+ 0,3925—0,5 = 0.8925. |
|
в) По выборке объема n = 36, извлеченной из нор мальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением о = 6, при уровне значи мости 0,01 проверяется нулевая гипотеза Н^: а = а^,=«15
223
при конкурирующей гипотезе Н^: афа^. Найти мощ ность двустороннего критерия проверки рассматриваемой гипотезы для гипотетического значения генеральной средней a = ai=12 .
578. а) По выборочной медиане X при уровне значи мости а проверяется нулевая гипотеза Н^\ а^а^ о ра венстве генеральной средней а гипотетическому значе
нию «о при конкурирующей гипотезе ЯхГ афа^. |
Найти |
||||
функцию мощности |
Яз (а^) |
рассматриваемого |
двусторон |
||
него критерия. |
|
|
|
|
|
У к а з а н и е . При |
больших |
значениях |
объема |
выборки выбо |
|
рочная медиана X распределена |
приближенно |
нормально |
с матема |
||
тическим ожиданием М (X) и средним квадратическим отклонением |
б) По выборке объема п = 50, извлеченной из нормаль ной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением а ==5, при уровне значимо сти 0,05 проверяется нулевая гипотеза Н^^: а = ао=18 о равенстве генеральной средней а гипотетическому зна чению По = 1 8 при конкурирующей гипотезе Н^: аф\Ъ. Сравнить мощности двусторонних критериев п^(а^) и ^8 (^i) при «1 = 20. Можно ли предвидеть результат срав нения мощностей, не производя вычислений?
Б. Дисперсия генеральной совокупности неизвестна. Если дис персия генеральной совокупности неизвестна (например, в случае малых выборок), то в качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину
|
Г = (Х-ао) |
VniS, |
^^-.f^n,x'i^[^niXiYln |
исправленное среднее квадра- |
|
где S = T / = |
^-—j |
тическое отклонение. Величина Т имеет распределение Стьюдента с k = n—1 степенями свободы.
Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу HQI а=^а^ О равенстве неизвестной ге неральной средней а (нормальной совокупности с неизвестной дисПерсией) гипотетическому значению а^ при конкурирующей гипо тезе Hi: а Ф ао, надо вычислить наблюдаемое значение критерия
и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по за данному уровню значимости а, помещенному в верхней строке таб лицы, и числу степеней свободы k=n—1 найти критическую точку
'двуст. кр v^9 ^)-
224
Если |
I Т'набд I </двуст. кр — ^^f^ оснований отвергнуть нулевую |
|||
гипотезу. |
Если |
\ Г„абл I > ^двусг. кр — нулевую |
гипотезу отвергают. |
|
Правило 2. |
При конкурирующей гипотезе |
Н^: а > OQ по уровню |
||
значимости а, |
помещенному в нижней строке таблицы приложе |
|||
ния 6, |
и |
числу степеней свободы к = п—1 |
находят критическую |
|
точку /правост. кр (ot» ^) правосторонней критической области. Earn |
||||
Т'набл < |
^правост. кр — ^^^^ оснований отвергнуть нулевую гипотезу. |
Если Гцабл > ^правост. кр—нулевую гипотезу отвергают.
Правило 3. При конкурирующей гипотезе Hi. а < OQ сначала находят «вспомогательную» критическую точку (по правилу 2) ^правост. кр (cti ^) ^ полагают границу левосторонней критической оэласти ^ICBOCT. кр=—^правост. кр* Если Тнабл ^—^правост. кр нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Тцабл < —^правост. кр — нулевую гипотезу отвергают.
579. а) По выборке объема /г =16, извлеченной из нормальной генеральной совокупности, найдены выбо
рочная средняя |
J C = 1 1 8 , 2 H |
«исправленное» среднее квад- |
|||||
ратическое |
отклонение |
s = 3,6. |
Требуется |
при |
уровне |
||
значимости |
0,05 |
проверить нулевую гипотезу |
Н^: а =^^ |
||||
^ ^ 0 = 1 2 0 |
при |
конкурирующей |
гипотезе Н^: а=7^120. |
||||
Ре ш е н и е. Найдем наблюдаехмое значение критерия |
|
||||||
|
_(х^ао) / п |
- |
(118,2—120) Т^Тб _ |
^ |
|
||
/| . абл - |
- |
|
зТб |
--^' |
|
По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид а Ф а©, поэтому критическая область — двусторонняя.
По таблице критических точек распределения Стьюдента (см. приложение 6), по уровню значимости а=0,05, помещенному в верхней строке таблицы, и по числу степеней свободы /?=л—1 =
=г= 16—1=15 находим критическую точку ^двуст. кр (0»^5; |
15) = 2,13. |
||||
Так как |
| Т'пабл I < |
^двуст. кр—нет |
основании отвергнуть |
нулевую |
|
гипотезу. |
Другими |
словами, выборочная средняя |
jf= 118,2 незна |
||
чимо отличается от |
гипотетической |
генеральной |
средней |
ао = 120. |
а) Решить эту задачу, приняв в качестве конкури рующей гипотезы Н{. а < а о = 1 2 0 .
580. Проектный контролируемый размер изде^1ий, изготовляемых станком-автоматом, а = а^ = ЪЬ мм. Изме рения 20 случайно отобранных изделий дали следующие результаты:
контролируемый размер .v,- |
34,8 |
34,9 |
35,0 |
35,1 |
35,3 |
частота (число изделий) п^- |
2 |
3 |
4 |
6 |
5 |
Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н^\ a = aQ = 35 при конкурирующей гипотезе Н^: аф35.
225
Р е ш е н и е . Найдем средний размер изделий выборки:
^ _ ^/1/лг/ |
^2 . 34,8Н - 3 . 34,9+4»35,0+в'35,14 - 5 - 35,3 _ дд ^^ |
|
"^ п |
20 |
•- » • |
Найдем исправленную дисперсию. Для упрощения расчета пе рейдем к условным вариантам «/=10х/—351. В итоге получим рас пределение:
|
„ . |
—3 — 2 — 1 0 |
2 |
|
|||
|
Л/ |
2 |
3 |
4 |
6 |
5 |
|
Найдем исправленную дисперсию условных вариант |
|||||||
3 I ] ^ / ^ ? - [ 2 ] n / t / / ] V n |
54->[->61^/20 |
_ _ , , , , |
|||||
^«== |
TTTi |
|
= |
Г9 |
|
2'^^^- |
|
Следовательно, |
исправленная |
дисперсия |
первоначальных вариант |
||||
|
«Х =2,747/102 =0.027. |
|
|
||||
Отсюда «исправленное» |
среднее |
квадратическое |
отклонение sjf «= |
||||
= /0Т027 = 0,16. |
|
|
|
|
|
|
|
Найдем наблюдаемое |
значение |
критерия: |
|
|
|||
^ |
_ ( 7 - f l o ) |
/ 7 i _ |
(35,07-35,0) |
/ 2 0 _ , Q. |
|||
^набл |
|
— |
О^Тб |
|
' |
По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид а Ф QQ, поэтому критическая область—двусторонняя. По таблице критических точек распределения Стьюдента (см. приложение 6), по уровню значимо сти а«=0,05, помещеннохму в верхней строке таблицы, и по числу степенен свободы k = n—1=20—1 = 19 находим критическую точку ^двуст. кр (0»^5; 19) =«2,09. Так как Гнабл < ^двуст. кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, станок обеспечи вает проектный размер изделий.
§ 7. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей
с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки}
Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нор мально, причем их дисперсии неизвестны. Из этих совокупностей извлечены зависимые выборки одинакового объема /г, варианты ко торых соответственно равны Х(И ^/.Введем следующие обозначения:
dj^=»Xi—yi — разности вариант с одинаковыми номерами,
d = « 2 Д^/М—средняя разностей вариант с одинаковыми номерами,
Srf=« 1/ ^ |
i^^—=! |
«исправленное» среднее квадрати |
ческое отклонение.
Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу HQI М (Х) = М (Y) о равенстве двух средних нормальных совокупностей X и Y с неизвестными диспер сиями (в случае зависимых выборок одинакового объема) при конку* рирующей гипотезе Нх\ М{Х) Ф М(У), надо вычислить наблюдаемое
226
значение критерия:
и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по за* данному уровню значимости а, помещенному в верхней строке таб лицы, и числу степеней свободы k = n—1 найти критическую точку
^двуст. кр Са; ^)' ^сли I Т„абл I < ^двуст. кр—нет оснований отверг нуть нулевую гипотезу. Если |Гнабл1 > ^двуст. кр—нулевую гипотезу отвергают.
581. Двумя приборами в одном и том же порядке измерены шесть деталей и получены следующие резуль таты измерений (в сотых долях миллиметра):
-^1 = 2, л:а = 3, л:з = 5, Х4==6, д:5 = 8, л:в=10; i/i=10, f/2 = 3, £/з==6, 1/4 = 1, 1/5 = 7, |/в=4.
При уровне значимости 0,05 установить, значимо или незначимо различаются результаты измерений, в пред положении, что они распределены нормально.
Р е ш е н и е . |
Найдем |
разности |
di=Xi—t//; |
вычитая |
из |
чисел |
|||
первой строки числа второй, получим: |
|
|
|
|
|||||
di=—8, |
с/2 = 0, ^з = —I. ^4 = 5, |
d^=l, de = 6. |
|
|
|||||
Найдем |
выборочную |
среднюю, |
учитывая, |
что 2jdi^3: |
d =« |
||||
= 3/6 - 0,5 . |
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
Найдем «исправленное» среднее квадратическое отклонение s^, |
|||||||||
учитывая, что ^di |
= \27 |
и ^ ^ / д = 3 : |
|
|
|
|
|||
Найдем наблюдаемое |
значение критерия: |
|
|
|
|||||
|
Гнабл-^- }^л/5^ = 0,5. |
|/'67V^25J=0,24. |
|
|
|||||
По таблице |
критических точек распределения |
Стьюдента |
(см. при |
||||||
ложение 6), |
по |
уровню |
значимости |
0,05, |
помещенному |
в верхней |
|||
строке таблицы, |
и |
числу |
степеней свободы |
k = n—1=6—1=5 |
на |
||||
ходим критическую точку |
/двуст. кр (0»05; 5) = 2,57. |
|
|
||||||
Так как Гцабл < ^двуст. кр — и^т |
оснований |
отвергнуть нулевую |
|||||||
гипотезу. Другими словами; средние результаты измерений |
разли |
||||||||
чаются незначимо. |
|
|
|
|
|
|
|
||
582. На двух |
аналитических весах, в одном и том же |
порядке, взвешены 10 проб химического вещества и по лучены следующие результаты взвешиваний (в мг):
Xf |
25 |
30 |
28 |
50 |
20 |
40 |
32 |
36 |
42 |
38 |
У1 |
28 |
31 |
26 |
52 |
24 |
36 |
33 |
35 |
45 |
40 |
При уровне значимости 0,01 установить, значимо или незначимо различаются результаты взвешиваний, в пред положении, что они распределены нормально.
227
583. Физическая подготовка 9 спортсменов была про верена при поступлении в спортивную школу, а затем после недели тренировок. Итоги проверки в баллах ока зались следующими (в первой строке указано число бал лов, полученных каждым спортсменом при поступлении в школу; во второй строке — после обучения):
Xi |
76 |
71 |
57 |
49 |
70 |
69 |
26 |
65 |
59 |
У1 |
81 |
85 |
52 |
52 |
70 |
63 |
33 |
83 |
62 |
Требуется при уровне значимости 0,05 установить, |
|||||||||
значимо или незначимо |
улучшилась |
физическая подго |
товка спортсменов, в предположении, что число баллов
распределено |
нормально. |
|
|
произвела |
в одном и |
|||||||
584. |
Химическая лаборатория |
|||||||||||
том же |
|
порядке |
анализ |
8 |
проб |
двумя |
методами. |
|||||
Получены |
следующие |
результаты |
(в |
первой строке |
||||||||
указано |
содержание |
некоторого |
вещества |
в |
процентах |
|||||||
в каждой |
пробе, |
определенное |
первым методом; во вто |
|||||||||
рой строке—вторым методом): |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Xf |
15 |
20 |
16 |
22 |
24 |
14 |
18 |
20 |
|
|
|
|
у^ |
15 |
22 |
14 |
25 |
29 |
16 |
20 |
24 |
|
Требуется при уровне значимости 0,05 установить, зна чимо или незначимо различаются средние результаты анализов, в предположении, что они распределены нор мально.
585. Две лаборатории одним и тем же методом, в одном и том же порядке, определяли содержание угле рода в 13 пробах нелегированной стали. Получены сле дующие результаты анализов (в первой строке указано содер жание углерода в процентах в каждой пробе, полученное пер вой лабораторией; во второй строке — второй лаборато рией):
xi |
0,18 |
0,12 |
0,12 |
0,08 |
0,08 |
0,12 |
0,19 |
0,32 |
0,27 |
||||
У: |
0,16 |
0,09 |
0,08 |
0,05 |
0,13 |
0,10 |
0,14 |
0,30 |
0,31 |
||||
|
|
|
х^ |
0,22 |
0,34 |
0,14 |
0,46 |
|
|
||||
|
|
|
У: |
0,24 |
0,28 |
0,11 |
0,42 |
|
|
Требуется при уровне значимости 0,05 установить, значимо или незначимо различаются средние результаты анализа в предложении, что они распределены нормально.
228
§ 8. |
Сравнение |
наблюдаемой |
относительной |
частоты |
||||||||||||||||
с гипотетической вероятностью появления события |
||||||||||||||||||||
Пусть по достаточно большому числу п независимых испытаний, |
||||||||||||||||||||
в каждом из которых вероятность р |
появления |
события постоянна, |
||||||||||||||||||
по неизвестна, |
найдена |
относительная частота |
т,п. |
Требуется |
при |
|||||||||||||||
заданном |
уровне |
значимости |
а |
проверить |
нулевую гипотезу, |
со |
||||||||||||||
стоящую в том, что неизвестная |
вероятность р равна |
гипотетической |
||||||||||||||||||
вероятности ро- |
Для |
того чтобы при заданном уровне значимости |
||||||||||||||||||
Правило |
1. |
|||||||||||||||||||
а проверить |
нулевую |
гипотезу |
Н^: р^=р^ |
о равенстве |
|
неизвестной |
||||||||||||||
вероятности |
р гипотетической |
вероятности |
Ро 'Ф'^ |
конкурирующей |
||||||||||||||||
гипотезе Hi. р Ф Ро» надо вычислить наблюдаемое значение |
критерия |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
___\(mln)—pQ] |
Vn |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V РоЯо |
|
|
|
|
|
|
|
||
и по таблице |
функции |
Лапласа |
найти |
критическую |
точку «кр "^ |
|||||||||||||||
равенства |
|
|
|
|
|
Ф(«кр)-(1—а)/2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Если |
|
|6'нзбл1<"кр — ^^'^ |
оснований |
отвергнуть |
нулевую гипо |
|||||||||||||||
тезу. Если I (Уиабл I > "кр — нулевую гипотезу отвергают. |
|
|
||||||||||||||||||
Правило 2. |
При |
конкурирующей |
гипотезе Hi. р > р^^ находят |
|||||||||||||||||
критическую точку правосторонней критической области из ра |
||||||||||||||||||||
венства |
|
|
|
|
|
|
Ф(«кр) = |
(1-2а)/2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Если |
(/цабл < ^кр — «^'^^ оснований отвергнуть нулевую |
гипотезу. |
||||||||||||||||||
Если |
6/„абл > "кр — нулевую |
гипотезу |
отвергают. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Правило 3. При |
конкурирующей |
гипотезе |
Hi: р < р^^ находят |
|||||||||||||||||
сначала |
^вспомогательнуюу^ |
критическую |
точку и^^^ по |
правилу |
2, а |
|||||||||||||||
затем |
полагают |
границу |
левосторонней |
критической |
области |
|||||||||||||||
Whp — — "кр- Если |
6/„абл >—"кр — «^^ |
оснований отвергнуть |
нуле |
|||||||||||||||||
вую гипотезу. |
Если |
6/набл <—"кр — нулевую гипотезу |
отвергают. |
|||||||||||||||||
3 а м е ч а н и е. |
Удовлетворительные |
результаты |
|
обеспечивает |
||||||||||||||||
выполнение неравенства |
np^q^ > 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
586. По 100 независимым испытаниям найдена отно сительная частота т/м = 0,14. При уровне значимости 0,05 требуется проверить нулевую гипотезу Я©: р = Ро^ -^0,20 при конкурирующей гипотезе Hi', р =5^0,20.
Р е ш е н и е . Найдем наблюдаемое значение критерия, учитывая, что до ^ 1 —Ро = 1 —0,20 = 0,80:
|
_(m/n~Po). V^n |
|
(0,14-0,20). УШ) |
_ |
|
|
|
^ иабл — |
г |
— |
г |
— |
"~" * »^* |
|
|
УР^ЯЬ |
|
V^0,20.0,80 |
|
|
По условию, конкурирующая гипотеза имеет |
вид р Ф ро» по |
|||||
этому |
критическая |
область — двусторонняя. Найдем |
критическую |
|||
точку |
w^p по равенству |
|
|
|
|
ф(м^р) = (1~.а)/2=-(1-~0,05)/2 = 0,475.
По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим
229