Задачник по теории вероятностей

число отказавших элементов; б) вероятность наивероятнейшего числа отказавших элементов; в) вероятность от­ каза прибора, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы четыре элемента.

§5. Производящая функция

Впредыдущих параграфах этой главы рассматривались испыта­ ния с о д и н а к о в ы м и вероятностями появления события; рассмот­

Ф2 (г) = (piZ + qi) {ргг + ^2) == PiP^z^ + (Pi<72 + Р^Ях) г + gi<7«.

событие At и т. д.), то изменяется лишь истолкование коэффициен­ тов при различных степенях z. Например, в приведенном выше раз­ ложении коэффициент р\р% определяет вероятность появления двух событий Ах и i4a.

159. Устройство состоит из трёх независимо работаю­ щих элементов. Вероятности безотказной работы элемен­ тов (за время t) соответственно равны: pi=:0,7; р, = 0,8; р, = 0,9. Найти вероятности того, что за время i будут работать безотказно: а) все элементы; б) два элемента; в) один элемент; г) ни один из элементов.

Р е ш е н и е . Вероятности безотказной работы элементов соот­ ветственно равны: pi=0,7; Pi==0,8; P8==0f9» поэтому вероятности того, что элементы откажут, <7i=0»3; ^2 ==0,2; 1/3=0,1.

50

Часть вторая

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Глава четвертаи

ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

§ 1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Законы биномиальный и Пуассона

Дш:/ср^тяо£2 называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа (т. е. между двумя соседними возможными значениями нет возможных значений), кото­ рые эта величина принимает с определенными вероятностями. Дру­ гими словами, возможные значения дискретной случайной величины можно перенумеровать. Число возможных значений дискретной слу­ чайной величины может быть конечным или бесконечным (в послед­ нем случае множество всех возможных значений называют счетным).

Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины X может быть, задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения х/, а вторая—вероятности р/:

где 2^'='-

Если множество возможных значений X бесконечно (счетно), то ряд Pi4-P2+*** сходится и его сумма равна единице.

Закон распределения дискретной случайной величины X может быть также задан аналитически (в виде формулы)

P(X^Xi)^if(Xi)

или с помощью функции распределения (см. гл. VI, § 1).

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки Мх {Хх\ Рх)* Mz (X2f Р2). • • •» ^п (Хт Рп) (д^|—-возможные значения X, Pi—соответствующие вероятности) и соединяют их от­ резками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Биномиальным называют закон распределения дискретной слу­ чайной величины X—числа появлений события в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р; вероятность возможного значения Х = А; (числа k появлений события) вычисляют по формуле Бернулли:

52

Если число испытаний велико, а вероятность р появления со­ бытия в каждом испытании очень мала, то используют приближенную формулу

где k—число появлений события в п независимых испытаниях, Х^=^пр (среднее число появлений события в п испытаниях), и говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

164, Дискретная случайная величина X задана зако­ ном распределения:

X 1 3 6 8

р0,2 0,1 0,4 0,3

Построить многоугольник распределения.

Р е ш е н и е . Построим прямоугольную систему координат, при­ чем по оси абсцисс будем откладывать возможные значения jc/, а по оси ординат—соответствующие вероятности р,-. Построим точки

Mi(\; 0,2), Л12(3;0,1), Л!з(6;0,4) и Л14 (8; 0,3). Соединив эти точки отрезками прямых, получим искомый многоугольник распределения (рис. 5).

165. Дискретная случайная величина X задана зако­ ном распределения:

Построить многоугольник распределения.

166. Устройство состоит из трех независимо работаю­ щих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

53

Р е ш е н и е . Дискретная случайная величина X (число отказав­ ших элементов в одном опыте) имеет следующие возможные значе* ния: д?1=0 (ни один из элементов устройства не отказал), Jt2 = l (отказал один элемент), дгз==2 (отказали два элемента) и дг4==3 (от­ казали три элемента).

Отказы элементов незаоисимы один от другого, вероятности от­ каза каждого элемента равны между собой, поэтому применима фор­

К о н т р о л ь : 0,729+0,243+0,027+0,001 = 1.

167.В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X—числа нестандартных деталей среди четырех отобранных и по­ строить многоугольник полученного распределения.

168.Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X—числа появлений «герба» при двух бросаниях монеты.

169.Две игральные кости одновременно бросают два раза. Написать биномиальный закон распределения ди­ скретной случайной величины X—числа выпадений чет­ ного числа очков на двух игральных костях.

170.В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Обставить закон распре­

деления числа стандартных деталей среди отобранных *Ч

Р е ш е н и е . Случайная величина X—число стандартных деталей среди отобранных деталей—имеет следующие возможные значения: jci=:0; ^2=1; JCs = 2. Найдем вероятности возможных значений X по формуле (см. задачу 17, гл. 1, § 1)

P(x=ife)=d-cXJiS/cXf

(Л^—число деталей в партии, п—число стандартных деталей в пар­ тии, m—число отобранных деталей, k—число стандартных деталей

*> Рассматриваемый закон называют гипергеометрическим. См.: Г м у р м а н В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., 1977, гл. VI, § 8.

54

среди отобранных), находим:

P(X—a\—^ll£l—J— L.

^ ^ ^~ do "10 - 9/(1 - 2) - 45*

п . у o.__,Cg-Cg_8-7/(l-2)_28 Составим искомый закон распределения:

К о н т р о л ь : 1/45+16/45 + 28/45=1.

171.В партии из шести деталей имеется четыре стан­ дартных. Наудйчу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X — числа стандартных деталей среди отобранных.

172.После ответа студента на вопросы экзаменацион­ ного билета экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы. Преподаватель прекращает задавать дополни­ тельные вопросы, как только студент обнаруживает не­ знание заданного вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный дополнительный вопрос, равна 0,9. Требуется: а) составить закон распределения случайной дискретной величины X — числа дополнитель­

данных дополнительных вопросов—имеет следующие возможные зна­ чения: д?1=1, д:2 = 2, лсз==3, . . . , ;c/fe = Aj, . . . Найдем вероятности этих возможных значений.

Величина X примет возможное значение Xf^l (экзаменатор задаст только один вопрос), если студент не ответит на первый воп­ рос. Вероятность этого возможного значения равна 1—0,9 = 0,1. Таким образом, Р(Х = 1)=0,1.

Величина X примет возможное значение дгг'^2 (экзаменатор за­ даст только два вопроса), если студент ответит на первый вопрос (вероятность этого события равна 0,9) и не ответит на второй (вероят­ ность этого события равна 0,1). Таким образом, Р (Х=2)=0,9-0,1=0,09.

Аналогично найдем Р(Х = 3) = 0,9а.0,1=0,081, . . . , Я ( Х = ^^) = 0,9Л'^.0,1, . . .

Напишем искомый закон распределения:

55

б) Наивероятнейшее число ^о заданных вопросов (наивероятнейшее возможное значение Л^), т. е. число заданных преподавателем вопросов, которое имеет наибольшую вероятность, как следует из закона распределения, равно единице.

173.Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0,8. Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не промахнется. Требуется: а) соста­ вить закон распределения дискретной случайной величины X—числа патронов, выданных стрелку; б) найти наиве­ роятнейшее число выданных стрелку патронов.

174.Из двух орудий поочередно ведется стрельба по цели до первого попадания одним из орудий. Вероятность попадания в цель первым орудием равна 0,3, вторым — 0,7. Начинает стрельбу первое орудие. Составить законы рас­ пределения дискретных случайных величин X и Y—числа израсходованных снарядов соответственно первым и вто­ рым орудием.

Р е ш е н и е . Пусть события At и В/—попадание в цель соот­ ветственно первым и вторым орудием при i-u выстреле; Л/ и Bi —

промахи.

Найдем закон распределения случайной величины X—числа израсходованных первым орудием снарядов. Первое орудие израсхо­ дует один снаряд' (Х=1), если оно попадет в цель при первом выстреле, или оно промахнется, а второе орудие при первом выстреле попадет в цель:

Р1 = Р ( Х = 1 ) = Р^(Л1 + Л1В1) = Р(Л1) + Р(Л1Вх) = = ЯН1) + Я(Л1).Р(В,) = 0,3 + 0,7.0,7 = 0,79.

Первое орудие израсходует два снаряда, если оба орудия при первом выстреле промахнутся, а при втором выстреле первое ору­ дие попадет в цель, или если оно промахнется, а второе орудие при втором выстреле попадет в цель:

Р2 = Р(Х = 2) = Р (А^гАг+'А^^гВг)^^

= 0,7.0,3.0,3 + 0,7.0,3.0,7.0.7 = 0,21 (0,3 + 0,49) = 0,79.0,21. Аналогично получим

P(X=ife) = 0,79.0,21*-i.

Искомый закон распределения дискретной случайной величины X—числа снарядов, израсходованных первым орудием:

стрельба из второго орудия не будет произведена: p, = P(K = 0) = P H i ) = 0,3.

56

Второе орудие израсходует лишь один снаряд, если при первом выстреле оно попадет в цель, или если оно промахнется, а первое орудие попадет в цель при втором выстреле:

P2 = P ( K = l ) = PMiBi+"3iBi^2) = 0,7.0.7+0.7.0,3.0,3 = 0.553. Вероятность того, что второе орудие израсходует два снаряда,

РЗ = Р (>" = 2) = Р (Л1л;Л"2^2 + ^1^1^2^2^4з).

Выполнив выкладки, найдем Рз = 0,553-0,21. Аналогично получим

Р (У = /?) = 0,553.0,21*-!.

Искомый закон распределения дискретной случайной величины Y — числа снарядов, израсходованных вторым орудием:

К о н т р о л ь : 2 Pi=0»3 +(0,553/1--0,21) = 0,3+ (0,553/0,79) =

=0,3 + 0,7=1 .

175.Два бомбардировщика поочередно сбрасывают бомбы на цель до первого попадания. Вероятность попа­ дания в цель первым бомбардировщиком равна 0,7, вто­ рым—0,8. Вначале сбрасывает бомбы первый бомбарди­ ровщик. Составить первые четыре члена закона распре­ деления дискретной случайной величины X—числа сбро­ шенных бомб обоими бомбардировщиками (т. е. ограни­ читься возможными значениями X, равными 1, 2, 3 и 4).

176.Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содер­ жит ровно пять бракованных книг.

Р е ш е н и е . По условию, л =100 000, р = 0,0001, k = 5. Собы­ тия, состоящие в том, что книги сброшюрованы неправильно, неза­ висимы, число п велико, а вероятность р мала, поэтому восполь­ зуемся распределением Пуассона

Я„(Л)=Я*е-^Л.

Найдем л:

Я, = п р = 100 000 0,0001 = 10. Искомая вероятность

Яюоооо (5) = 10».е-10/5 =10».0,000045/120 = 0.0375

177. Устройство состоит из 1000 элементов, работаю­ щих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

У к а з а н и е . Принять е-^ = 0,13534.

57

178.Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 дета­ лей окажется ровно четыре бракованных.

179.Завод отправил на базу 500 изделий. Вероят­ ность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятности того, что в пути будет повреждено изделий:

а) ровно три; б) менее трех; в) более трех; г) хотя бы одно.

Найдем вероятность того, что будет повреждено ровно 3 (k = 3) изделия:

Pj^^Q (3) = е - V 3 ! =0,36788/6 = 0,0613.

б) Найдем вероятность того, ято будет повреждено менее трех изделий:

P6oo(0) + P5oo(0 + /'50o(2) = e - i + e ' - i + ^ - V 2 « = (5/2)^-1 = (5/2). 0,36788 = 0,9197.

в) Найдем вероятность Р того, что будет повреждено более трех изделий. События «повреждено более трех изделий» и «повреждено не более трех изделий» (обозначим вероятность этого события че­ рез Q) — противоположны, поэтому Р 4*4 = 1. Отсюда

P = l ^ Q = l-«[P,^o(0) + P60o(I) + ^60o(2)+P5oo(3)]. Используя результаты, полученные выше, имеем

Р = 1 — [0,9197 + 0,0613] =0,019,

г) Найдем вероятность Pf того, что будет повреждено хотя бы одно изделие. События «повреждено хотя бы одно изделие» и «ни одно из изделий не повреждено» (обозначим вероятность этх>го события через Qi)—противоположные, следовательно, Pi + Qi = l. Отсюда искомая вероятность того, что будет повреждено хотя бы одно изделие, равна

Pi = l_(3i==l^P5oo(0) = l—6-1=1—0,36788=0,632.

180. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность. того, что при перевозке бутылка ока­ жется разбитой, равна 0,003. Найти вероятности того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно две; б) менее двух; в) более двух; г) хотя бы одну.

У к а з а н и е . Принять е-"^ = 0,04979.

58

181. а) Устройство состоит из большого числа неза­ висимо работающих элементов с одинаковой (очень малой) вероятностью отказа каждого элемента за время Т. Найти среднее число отказавших за время Т элементов, если вероятность того, что за это время откажет хотя бы один элемент, равна 0,98.

Р е ш е н и е . Из условия задачи следует (поскольку число эле­ ментов велико, элементы работают независимо и вероятность отказа каждого элемента мала), что число отказов распределено по закону Пуассона, причем требуется найти параметр А, (среднее число отка­ зов).

Вероятность того, что откажет хотя бы один элемент, по усло­ вию равна 0,98, следовательно (см. задачу 179, п. г), 1 — е~^ = 0,98. Отсюда

е-^== 1—0,98=0,02.

По таблице функции е"* находим Х=3,9. Итак, за время Т работы устройства откажет примерно четыре элемента.

б) Найти среднее число X бракованных изделий в партии изде­ лий, если вероятность того, что в этой партии содержится хотя бы одно бракованное изделие, равна 0,95. Предполагается, что число бракованных изделий в рассматриваемой партии распределено по закону Пуассона.

Ук а з а н и е . Принять е*^ =0,05.

182.Доказать, что сумма вероятностей числа появле­

ний события в независимых испытаниях, вычисленных по закону Пуассона, равна единице. Предполагается, что испытания производятся бесчисленное количество раз.

Р е ш е н и е . В силу закона Пуассона

P„(^fe)=X*e""V^!.

Используем разложение функции е^ в ряд Маклорена:

e^ = l+;t/n+;cV2! + . -

Известно, что этот ряд сходится при любом значении х, поэтому, положив ;с==Я, получим

OP

Найдем искомую сумму вероятностей 2 Рп (^)» учитывая, что е"

не зависит от ^ и, следовательно, может быть вынесено за знак суммы:

59