ФОТП 2013

где М – масса вещества, кг; N – число молей вещества, моль; μ – молярная масса вещества, кг/моль.

Из следствия закона Авогадро известно, что 1 моль любого идеального газа занимает при н.у. объём 22,4 · 10–3 нм3/моль. Из этого следует, что плотность любого идеального газа при н.у. определяется соотношением:

где ρо – плотность газа при н.у., кг/нм3; μ – молярная масса газа, кг/моль. Воспользовавшись (4) можно вычислить объём, который газ (или га-

зовая смесь) будет занимать при н.у.:

где Vо – объём, который газ будет занимать при н.у., нм3; М – масса газа, кг.

Из определений средних теплоёмкостей (9.1) и (1), (2) получаем путём очевидных преобразований:

где М, V, N – масса, объём и число молей рассматриваемого вещества соответственно, кг, м3, моль.

Подставляя в правые части равенств (6) выражения, которые вытекают из (3) и (5) получаем формулы пересчёта теплоёмкостей для газов и газовых смесей, считая V = Vo (см. примечание табл. 1):

91

Для вычисления q0 t2 и q0 t1 в таблицах выбираем значение средней теплоёмкости при температуре t2 – это средняя теплоёмкость в интервале температур от 0 до t2 С: (cm )t02 .

Соответственно будем иметь:

где (cm )t01 – табличные данные средней теплоёмкости при температуре t1,

Дж/(кг · К).

После подстановки (11) и (12) в (9) окончательно получаем формулу:

По формуле для истинной теплоёмкости значение средней теплоёмкости в интервале температур от t1 до t2 определяется как среднеинтегральное от функции с(t) в данном интервале температур.

Пусть эмпирическая формула для истинной удельной теплоёмкости имеет вид, аналогичный (9.2):

где t – температура, oC; a1, a2 и a3 – известные для конкретного вещества коэффициенты.

Тогда формула для вычисления средней теплоёмкости в интервале температур от t1 до t2 имеет вид:

93

5.4. Теплоёмкость смеси идеальных газов

Рассмотрим идеальную газовую смесь, состоящую из n компонентов, масса которой М, кг. Для наглядности будем считать, что смесь нагревается в интервале температур равном одному градусу. Для нагрева такой смеси на один градус Цельсия (или Кельвина) необходимо температуру каждого из компонентов повысить на один градус.

Следовательно, к каждому компоненту необходимо подвести теплоту Qi, которая повысит температуру этого i-го компонента на один градус:

где mi – масса i-го компонента, кг; ci – удельная массовая теплоёмкость i-го компонента, Дж/(кг · К).

Очевидно, что количество теплоты, необходимое для нагрева всей смеси на один градус Qсм, равно сумме теплот, необходимых для нагрева каждого компонента:

С другой стороны по определению удельной массовой теплоёмкости смеси ссм имеем:

i 1

После деления обоих частей (19) на М получаем формулу для расчёта удельной массовой теплоёмкости смеси:

где gi – массовая доля компонента, кг/кг.

Так как химический состав смеси всегда задан, то значения массовых долей компонентов gi известны и по формуле (20) всегда можно рассчитать

ссм.

94

Повторив рассуждения для объёмных и мольных удельных теплоёмкостей, можно легко получить аналогичные формулы:

i 1

где cсм и μссм – удельные объёмная и мольная теплоёмкость смеси соответ-

ственно, Дж/(нм3 · К), Дж/(моль · К); ri – объемная доля i-го компонента смеси; ki – мольная доля i-го компонента смеси; c'i и μci – удельные объёмная и мольная теплоемкость i-го компонента смеси, Дж/(нм3 · К), Дж/(моль · К).

В формулах (21) и (22) следует учитывать, что объёмные доли численно равны мольным долям ri = ki (см. п. 3.2. Приложения 3).

Таким образом, при заданном химическом составе смеси значения ri известны и по формулам (21) и (22) всегда можно рассчитать и μссм.

Следует отметить, что по формулам (20) – (22) могут быть рассчитаны средние и истинные теплоёмкости как при постоянном давлении, так и при постоянном объёме.

Приложение 6

6.1. Существование энтропии у реальных (не идеальных) газов

Как уже отмечалось (раздел 2) для реальных (не идеальных) газов уравнением Клапейрона (2.1) пользоваться нельзя. Уравнение состояния для этих газов имеет другой вид, например, вид уравнения Ван-дер- Ваальса (2.5):

Докажем существование энтропии у газа, уравнение состояния которого имеет вид (1). Для этого запишем уравнение первого закона термодинамики и сразу обе части уравнения разделим на Т:

95

Из (1) выразим р и подставим в (2), одновременно раскрыв дифференциал du (T, υ):

Из математики известно, что необходимым и достаточным условием того, чтобы правая часть являлась полным дифференциалом некоторой непрерывной функции двух переменных Т и υ, то есть была бы равна ds (T, υ), является выполнение следующего равенства:

При выполнении дифференцирования в правой части средний член исчезает, а последний даёт υ2aT 2 . Из первого члена возникают два выра-

жения, первое из которых взаимно уничтожается с левой частью, в то вре-

96

Выражение (6) показывает, как у реальных газов внутренняя энергия зависит от удельного объёма. (Напомним, что у идеальных газов эта зави-

симость отсутствует: uυ 0 .)

Таким образом, при условии, что выражение (6) выполняется, можно утверждать, что в правой части (3) будем иметь:

где s – некоторая непрерывная функция двух параметров состояния Т и υ,

то есть функция состояния, Дж/(кг · К).

Полученное выражение (7) является доказательством существования энтропии у реальных газов, имеющих уравнение состояния (1).

Аналогичным образом доказывается существование энтропии для общего случая у реальных газов, для которых имперические уравнение состояния имеет вид:

6.2. Существование энтропии у систем, находящихся в жидком или твёрдом состояниях

В процессах нагрева или охлаждения при постоянном давлении тела, находящимся в жидком или твёрдом состояниях, можно рассматривать как практически не сжимаемые. То есть все процессы, которые с ними происходят можно считать происходящими при постоянном удельном объёме υ = const. Соответственно dυ = 0.

Для такого случая первый закон термодинамики принимает вид:

du = dq – p dυ = dq

dq = du.

Как уже отмечалось, в силу несжимаемости удельные истинные теплоёмкости при постоянном давлении и постоянном объёме у твёрдых и жидких тел практически равны. Таким образом, для любого процесса, происходящего с твёрдым или жидким телом, можем записать:

97

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………..

1.Термодинамическая система. Основные параметры состояния системы

2.Уравнение состояния идеального газа. Идеальная газовая смесь ...............

3.Термодинамические процессы.........................................................................

4.Внутренняя энергия термодинамической системы.......................................

5.Энтальпия...........................................................................................................

6.Эквивалентность теплоты и работы. историческая справка ........................

7.Особенности процессов передачи энергии в форме теплоты и аботы...........

8. . Первый закон термодинамики для замкнутой термодинамической

системы………………………………………………………………………...

9.Первый закон термодинамики в дифференциальном виде. Формула для расчёта механической работы при изменении объёма системы

10.Понятие теплоёмкости....................................................................................

10.1.Теплоёмкость газов...................................................................................

10.2.Теплоёмкость твёрдых и жидких тел......................................................

11. ...........................................................................................................................

Библиографический список..................................................................................

Приложение 1 .................................................................................................

Приложение 2 .................................................................................................

2 . 1 . Уравнение Клапейрона....................................................................

2 . 2 . Понятие моль вещества ..................................................................

2 . 3 . Закон Авогадро ....................................................................................

2 . 4 . Уравнение Клапейрона - Менделеева ....................................

Приложение 3 .................................................................................................

3 . 1 . Смеси идеальных газов...................................................................

3 . 1 . 1 . Парциальные давления в газовой смеси. Закон

Дальтона ............................................................................................................

3 . 1 . 2 . Приведённый объём компонентов газовой смеси.

Закон Амага .....................................................................................................

3 . 2 . Химический состав газовой смеси...........................................

3 . 3 . Газовая постоянная идеальной газовой смеси .................

3 . 4 . Кажущаяся молярная масса идеальной газовой смеси

3 . 5 . Удельный объём или плотность газовой смеси ...............

3 . 6 . Соотношение между массовыми и объёмными долями

идеальной газовой смеси .........................................................................

Приложение 4 .................................................................................................

Приложение 5 .................................................................................................

5 . 1 . Удельные объёмные и мольные теплоёмкости .................

99

5 . 2 . Соотношения между удельными теплоёмкостями для

газов и газовых смесей .............................................................................

5 . 3 . Расчёт значений средних теплоёмкостей ............................

5 . 4 . Теплоёмкости смеси идеальных газов...................................

Приложение 6 .................................................................................................

6 . 1 . Существование энтропии у реальных ( не идеальных)

газов .....................................................................................................................

6 . 2 . Существование энтропии у систем, находящихся в

жидком или твёрдом состояниях ........................................................

Приложение 7 .................................................................................................

Приложение 8 .................................................................................................

Приложение 9 .................................................................................................

................................................................................................................................

100