sopromat2

Подставляем (а), (b), (с) в выражение (32) и получаем соотношение

Приравнивая (d) к нулю, получаем в дополнение к уравнениям (29)÷(31) еще одно уравнение для определения опорных реакций.

53,49 VB – 107,317 HB = 2986,67. (33) Решив систему уравнений (29)÷(31), (33) находим опорные реакции:

Проверяем уравновешенность реакций и внешних сил, действующих на раму (рис. 16):

∑m(A) = Vo 4 − Ho 4 − VB 1+ HB 4 − F 3 − q 4 2 =

=188 4 −18,34 4 + 108 − 81,66 4 −100 3 − 20 8 = 0.

реакции в основной системе при действии X1 =1 в точке В.

281

∑Fz = 0; Ho − X1 = 0, Ho =1.

Составив аналитические выражения для функции M1 по участкам, строим единичную эпюру изгибающих моментов M1 (рис. 22).

Далее необходимо построить эпюру изгибающих моментов в основной

Рис. 22. Единичная эпюра изгибающих моментов.

системе под действием системы заданных сил Р = {F, q } – эпюру Mp. Попутно построим эпюры продольных Np и перерезывающих Qp сил.

Прикладываем к основной системе заданные силы F, q (рис.23) и

составляем аналитические выражения для функции Mp по участкам. 2.1.Определение опорных реакций. Обозначаем опорные реакции

символами Vo, Ho, VB. Составляем уравнения равновесия, из решения которых находим опорные реакции:

ΣFz = 0: Ho = F = 100 кН;

Σm(B) = 0: Vo 5 – 100 7 – 20 4 (2 + 1) = 0;

Vo = 700 + 240 =188 кН ; 5

Σ m(o) = 0: VB 5 + 100 7 – 20 4 2 = 0;

Vв = − 700 −160 = −108 кН . 5

Проверка: Σ Fy = 0: 188 – 20 4 – 108 = 0.

2.2. Определение внутренних сил в стержнях основной системы. Раму разбиваем на отдельные участки (стержни) и нумеруем их 1-2; 3-4; 5-6; 7-8. Используем локальные системы координат для стержней. Составляем аналитические выражения

Рис.23. Схема для определения усилий в основной системе.

282

для N, Q, M в локальных системах координат. Рассекаем раму по стержню 1-2 и отбрасываем часть рамы выше и правее стержня 1-2. В сечении

прикладываем реакции отброшенной части – усилия N12, Q12, M12 (см рис.24). Составляем уравнения равновесия выделенной части стержня 1-2,

из решения которых находим усилия N12, Q12, M12. Участок 1 – 2 (рис.24).

ΣF z1 = 0; N12 = –Vo = –188 кН;

ΣFy1 = 0; Q12 = –Ho = –100 кН;

Σm(c) = 0; M12 = –Ho z1 = –100·z1;

Для построения графика M12 достаточно иметь

Рис.24. Стержень 1-2.

Участок 3 – 4 (рис. 25).

Рис.25. Стержень 3-4. Для построения графика M34 достаточно иметь значения в двух точках:

Раскладываем реакцию VB на две составляющие

Угол β определяется как угол наклона стержня 7- 8 к вертикали: β = arctg(0,25) = 0,245 рад.

ΣFz3 = 0; N78 = VBcos β = 108 0,97 = 105 кН;

Σ Fy3 = 0; Q78 = VBsinβ = 108 0,242 = 26,14 кН;

Рис. 26. Стержень 7-8.

283

Изгибающий момент в стержне 5-6 – нелинейная функция; для

построения ее графика необходимо иметь не менее трех значений M56 в трех точках:

284

2.3. Построение эпюр внутренних сил (Np , Qp , Mp ) в основной системе. Используя построенные в п.2.2 аналитические выражения для N, Q, M строим по точкам эпюры Np , Qp , Mp (рис.28).

Рис.28. Эпюры внутренних усилий Np , Qp , Mp в основной системе.

2.4. Определение опорной реакции HB методом сил. Обозначим опорную реакцию HB символом X1: HB = X1. Для определения X1

Коэффициент δ11 определяют в основной системе при действии единичной обобщенной силы X1= 1, а коэффициент 1p –при действии

заданных сил P ={q, F}.

Единичная эпюра M1представлена на рис.22, эпюра Mp – на рис.28,в. Вычисляем по способу Верещагина EJδ11 :

285

Вычисляем по способу Верещагина EJΔ1p на стержнях 1-2 и 7-8 (рис. 23, рис.28,в.):

части (36) EJΔ1p на стержне 5-6 (рис. 23, рис.28,в.):

Из уравнения (34) находим HB = X1:

HB = – δ1p = – 8763, 278 = – 81,65 кН.

107,323

11

Вычисленное методом сил значение HB с точностью до второй цифры после запятой совпадает со значением HB , вычисленным с использованием теоремы Кастильяно, поэтому принимаем HB = – 81,655 кН.

2.5. Построение эпюр изгибающих моментов (М), продольных (N) и перерезывающих (Q) сил в исходной расчетной схеме. Используем зависимости (9), в правых частях которых остаются только по два

слагаемых. Эпюра M1представлена на рис.22.

Приложим в точке В основной системы единичную силу X =1

(рис.21) и построим единичные эпюры Q1 , N1. Опорные реакции в основной системе при действии X1 =1 в точке В определены выше:

VB = 0 ; Vo = 0; Ho =1.

Используя метод сечений, строим эпюры Q1 , N1(рис.29).

286

Умножив эпюры M1, Q1 , N1на X1 = – 81,655 кН, получим эпюры

M1 X1, Q1 X1 , N1 X1, сложив которые с эпюрами Mp , Qp , Np , найдем

эпюры изгибающих моментов (М), продольных (N) и перерезывающих (Q) сил в исходной расчетной схеме (рис.30).

Рис. 29. Эпюры Q1 , N1.

Рис. 30. Эпюры M , Q , N в исходной расчетной схеме.

2.6. Проверка равновесие узлов. Проверяем равновесие узлов, в которых сходятся стержни 1-2, 3-4 и 3-6, а также стержни 3-6 и 7-8.

287