sopromat2

г) вычисляют гибкость стержня λ = l , где µ – коэффициент,

imin

учитывающий способ закрепления концов стержня и называемый коэффициентом приведения длины стержня.

Т а б л и ц а 1

Исходные данные к расчету центрально сжатого стержня на устойчивость

Примечание: основные допускаемые напряжения σadm (допускаемые напряжения в расчетах на прочность) принимаются равными: для стали – 160; для чугуна – 100; для дерева – 10 МПа.

Условиям закрепления стоек на рис. 1 соответствуют следующие теоретические коэффициенты приведения длины стержня:

–схема 1 (оба конца шарнирно опёрты), µ = 1;

–схема 2 (нижний конец защемлён, верхний – свободен), µ = 2;

–схема 3 (оба конца защемлены), µ = 0,5;

–схема 4 (нижний конец защемлён, верхний – шарнирно опёрт), µ = 0,7;

–схема 5 (с тремя шарнирными опорами), µ = 0,5.

Вдеревянных конструкциях не удается осуществить жёсткую заделку, так как древесина имеет низкий модуль упругости поперёк

волокон. Поэтому, по существующим нормам, принимают µ = 0,8 для деревянных стоек с одним заделанным, а вторым – шарнирным концом (схема 4 на рис.1) и µ = 0,65 для деревянных стоек с обоими заделанными концами (схема 3 на рис.1);

93

д) по гибкости λ из таблицы Приложения 10 находят величину коэффициента ϕ; если значение λ попадает в интервал [a, a+10], то коэффициент ϕ определяют линейной интерполяцией:

для неуказанных в таблице значений λ, превышающих максимальное

Если расхождение меньше 5%, то выбранные размеры считают удовлетворительными и на этом заканчивают подбор размеров поперечного сечения. Если расхождение больше 5%, то выбирают новые размеры поперечного сечения и повторяют проверку.

При второй и последующих попытках можно изменять значения коэффициента ϕ, постепенно сужая диапазон выбора.

Для стержней из прокатных профилей выгоднее назначать новые размеры поперечного сечения. Если вычисленные напряжения σ больше допускаемых σadm,st , то размеры поперечного сечения надо увеличить, а если меньше – их надо уменьшить. При этом площадь поперечного сечения при каждой следующей попытке целесообразно изменять на величину 0,5·δ·А, где δ – расхождение напряжений, взятое в долях единицы, А – ранее выбранная площадь поперечного сечения.

Попытки повторяются до тех пор, пока не будет выполнено одно из условий:

–либо найдется такой размер поперечного сечения, для которого расхождение напряжений будет меньше 5%;

–либо будут найдены два таких соседних размера в сортаменте, для меньшего из которых напряжения сжатия превышают допустимые больше чем на 5 %, а для большего – напряжения при сжатии меньше допускаемых. В этом случае останавливаются на большем размере.

94

В расчётах стержней на устойчивость необходимо располагать числовыми значениями осевых моментов инерции Jx, Jy относительно главных центральных осей x, y поперечных сечений стержня.

Поперечные сечения нестандартной формы разбивают на простейшие фигуры (сечения из прокатных профилей – на двутавры, швеллеры, уголки; из непрокатных профилей – на прямоугольники, треугольники, трапеции, круги, круговые сегменты и т.п.), для которых имеются числовые данные в сортаментах или формулы в таблицах для расчёта геометрических характеристик этих фигур: координат центра площади – xc, yc; площадей – Ai; моментов инерции Jxi , Jyi сечения относительно собственных центральных осей xi , yi . В Приложении 1 представлены геометрические характеристики прямоугольной трапеции (трапеции с двумя прямыми углами), прямоугольного треугольника, кругового сегмента и полукруга.

Согласно теореме о параллельном переносе осей координат главные центральные моменты инерции Jx, Jy вычисляют по формулам:

где Jxi, Jyi – моменты инерции каждой отдельной части составного сечения относительно собственных центральных осей xi, yi, параллельных главным центральным осям всего сечения x, y; ai – расстояние между осями xi и x; bi – расстояние между осями yi и y; Ai – площадь отдельной части составного сечения.

Координаты xc, yc центра площади составного сечения определяют по формулам:

составного сечения относительно каких-либо осей x0, y0, параллельных главным центральным осям x, y всего сечения; A – площадь всего составного сечения.

В задании на расчёт сжатого стержня каждый тип сечения имеет ось симметрии (рис.2).

Ось симметрии сечения является его главной осью. Вторая главная ось перпендикулярна первой и проходит через центр площади сечения.

Для вычисления главных моментов инерции сечения поступают следующим образом:

–вычерчивают на масштабной бумаге поперечное сечение;

–проводят центральные оси xi и yi каждой отдельной части составного сечения, параллельные, соответственно, главным осям х и y;

–по формулам (7) определяют координаты xc, yc центра площади составного сечения и проводят главные оси инерции всего сечения х и у;

95

– вычисляют и указывают на чертеже размеры аi и bi между осями xi и x,

yi и y;

– для каждой отдельной части составного сечения вычисляют или

требуется найти размер е, т.е. то расстояние, на которое необходимо раздвинуть элементы сечения так, чтобы главные моменты инерции были бы одинаковыми. От расстояния е зависит лишь момент инерции Jy, следовательно, нужно подбирать только Jx. После того как размеры сечения подобраны, значение e определяется из уравнений

J − 2J

Jy = 2(Jy1 + b12A1 ) = Jx ; b1 = x y1 , 2A1

е = 2(b1 – z0) (тип 7 на рис.2), e = 2(b1 + z0 – c) (тип 8 на рис.2),

где c – ширина полки швеллера; z0 – расстояние от собственной центральной оси yi швеллера до наружной поверхности стенки швеллера.

2. Примеры расчета.

Пример 1. Для деревянной стойки (расчетная схема 3 на рис.1) при l = 3 м, k=1, F=180кН, σadm=10 МПа подобрать квадратное поперечное сечение.

Первое приближение. Назначаем ϕ = 0,5 и вычисляем требуемую площадь поперечного сечения:

a = A = 360 ≈ 19см.

Принимаем в соответствии с сортаментом сторону квадрата а = 18 см. Проверяем пригодность выбранного размера а = 18 см:

а) площадь поперечного сечения А = а2 = 182 = 324 см2;

96

д) из таблицы Приложения 10 для дерева находим:

ϕ|λ=30 = 0,93; ϕ|λ=40 = 0,87;

ϕ|λ=30+7,36 = ϕ|λ=30 – 0,1. 7,36 (ϕ|λ=30 – ϕ|λ=40) =

= 0,93 – 0,1 . 7,36 (0,93 – 0,87) = 0,886; е) допускаемое напряжение на устойчивость

σadm,st = ϕ σadm = 0,886 10 = 8,86 МПа;

ж) действующие в стержне напряжения

з) сопоставляем напряжения в стержне с допускаемыми напряжениями на устойчивость:

Такая значительная недогрузка недопустима и следует уменьшить размеры сечения.

97

Второе приближение. Уменьшаем площадь поперечного сечения на величину 0,5·δ·А = 0,5 . 0,37 . 324 = 60 см2. Тогда А = 324 – 60 = 264 см2 и а = 264 = 16,2 см.

Выбираем в соответствии с сортаментом а = 15 см и производим проверку. В результате проверки получим σ = 8 МПа < σadm,st = 8,34 МПа; δ = 4,1 % < 5%. Окончательно принимаем а = 15 см.

Пример 2. Для стальной колонны (расчетная схема 2 на рис.1) при l = 4 м,

k = 1, F = 2000 кН , σy = 240 МПа, σadm = 160 МПа подобрать сечение, состоящее из четырех неравнополочных уголков (рис.3).

Первое приближение. Назначаем ϕ = 0,5 и вычисляем требуемую площадь поперечного сечения:

Требуемая площадь сечения одного уголка Аi = 250:4 = 62,5 см2. Из сортамента неравнополочных уголков (Приложение 8) выбираем уголок № 25/16 с геометрическими характеристиками: Аi = 63,6 см2; Jxi = 4091 см4; Jyi = 1333 см4 ; ai = 25 – 8,14 = 16,86 см; bi = 16 – 3,69 = 12,31 см (i = 1, 2, 3, 4).

Производим проверку:

а) площадь всего сечения А = 4 . 63,6 = 254,4 см2;

б) главные моменты инерции сечения Jx и Jy (рис.3):

Jx = 4 (Jxi + ai2 Ai) = 4[4091 + + (16,86)2 . 63,6] = 88680 см4;

Jy = 4 (Jyi + bi2 Ai) = 4[1333 + (12,31)2 . 63,6] = 43883 см4; следовательно, Jmin = Jy = 43883 см4;

в) минимальный радиус инерции

98

д) из таблицы Приложения 10 для стали при σy = 240 МПа находим:

ϕ|λ=60 = 0,805; ϕ|λ=70 = 0,754;

ϕ|λ=61 = ϕ|λ=60+1 = 0,805 – 0,1·(0,805 – 0,754) = 0,8;

е) допускаемое напряжение на устойчивость

σadm,st = ϕ·σadm = 0,8 160 = 128 МПа;

ж) действующие напряжения:

A254,4 10−4

з) сопоставляем действующие напряжения с допускаемыми:

σ = 78,6МПа < σadm,st = 128 МПа;

стержень с выбранным сечением недогружен; и) вычисляем расхождение напряжений:

Выбранный размер уголка не подходит, так как запас устойчивости превышает 5%.

Второе приближение. Уменьшаем площадь поперечного сечения на 0,5·δ·А = 0,5 0,385 254,4 = 49 см2.

Принимаем Аi = 1/4 (254,4 – 49) = 51,35 см2. Выбираем из сортамента (Приложение 8) уголок № 20/12,5×1,6 с геометрическими характеристиками: Ai = 49,8 см2, Jxi = 2026 см4, Jyi = 617 см4; ai = 20 – 6,71 = 13,29 см; bi = 12,5 – 2,99 = 9,51 см (i = 1, 2, 3, 4) и повторяем расчёт.

а) площадь всего сечения A = 4·49,8 = 199,2 см2 ;

б) главные моменты инерции сечения Jx и Jy (рис.3):

Jx = 4 (Jxi + ai2 Ai) = 4[2026 + (13,29)2 . 49,8] = 43288 см4;

Jy = 4 (Jxi + bi2 Ai) = 4[617 + (9,51)2 . 49,8] = 20483 см4;

99

следовательно, Jmin = Jy = 20483см4;

в) минимальный радиус инерции

г) гибкость стержня при µ = 2:

д) из таблицы Приложения 10 для стали при σy = 240 МПа находим:

ϕ|λ=80 = 0,686; ϕ|λ=70 = 0,754;

ϕ|λ=79 = ϕ|λ=80+1 = 0,686 + 0,1·(0,754 – 0,686) = 0,693;

е) допускаемое напряжение на устойчивость

з) сопоставляем действующие напряжения с допускаемыми:

σ = 100 МПа < σadm,st = 111 МПа;

стержень с выбранным сечением недогружен;

и) вычисляем расхождение напряжений:

adm,st

Выбранный размер уголка не подходит, так как запас устойчивости превышает 5%.

Третье приближение. Уменьшаем площадь поперечного сечения на 0,5·δ·А = 0,5 0,095 199,2 = 9,43 см2.

100