sopromat2

Если внутренние усилия в статически неопределимой системе могут быть определены только из уравнений равновесия, то система называется

внешне статически неопределимой.

Если же реакции в опорных связях статически неопределимой системы могут быть определены из уравнений равновесия, а внутренние усилия не могут быть определены из уравнений равновесия, то система называется внутренне статически неопределимой.

Отличие внешне статически неопределимых систем от внутренне статически неопределимых систем разъяснено в Задании № 11 “Расчеты статически неопределимых балок”.

ВЗадании № 13 “Расчеты плоских статически неопределимых рам” рассматриваются внешне статически неопределимые системы, то есть такие системы, в которых реакции в опорных связях не могут быть определены только из уравнений равновесия, но внутренние усилия после определения опорных реакций могут быть определены только из уравнений равновесия.

3. Методы расчета статически неопределимых рам. Число “лишних” опорных связей определяет степень статической неопределимости внешне статически неопределимых рам.

Вслучае небольшого числа “лишних” опорных связей для их определения можно воспользоваться теоремой Кастильяно.

Вобщем случае применяют методы строительной механики, например, метод сил.

3.1. Метод сил для расчета статически неопределимых рам.

Вэтом методе за "лишние" неизвестные принимают обобщенные силы, поэтому метод называется методом сил. Для внешне статически неопределимой системы за "лишние" неизвестные принимают реакции в

Будем считать "лишними" связи на опоре B. Эти связи препятствуют перемещениям сечения рамы по направлению осей y, z прямоугольной системы координат и повороту сечения рамы относительно оси, перпендикулярной к плоскости рамы.

263

Отбрасываем "лишние" связи рамы и прикладываем неизвестные реакции – "лишние" неизвестные X1 = VB, X2 = HB, X3 = MB по направлениям отброшенных связей. Эта процедура приводит к выбору основной системы (рис.3).

Основная система должна быть статически определимой и геометрически неизменяемой,

Рис.3. Основная система.

полученной отбрасыванием "лишних" связей из исходной системы. Основная система, нагруженная внешними силами P = {q, F, Me, …} и реакциями отброшенных связей X1 = VB, X2 = HB, X3 = MB , называется эквивалентной системой (рис.4). Ее напряженно-деформированное состояние (НДС) совпадает с НДС исходной

расчетной схемы.

Рассмотрим схему деформирования эквивалентной системы (рис.5). Под действием P и X = {X1, X2, X3} сечение B получит перемещения

Рис.4. Эквивалентная система.

по направлениям X1, X2, X3 – 1(P, X), 2(P, X), 3 (P, X), которые по принципу независимости действия сил можно найти отдельно от Р и отдельно от X, а затем сложить. Зная, что в действительности

1(P, X) = 0;

2(P, X) = 0; (1)

3(P, X) = 0,

Рис.5. Схема деформаций.

мы получим 3 уравнения совместности перемещений. Система из трех уравнений равновесия и трех уравнений совместности перемещений позволяет определить все опорные реакции V0, H0, M0, VB, HB, MB.

Аналогичным образом для n раз статически неопределимой системы получим n уравнений совместности перемещений:

264

По принципу независимости действия сил можно отделить перемещения, зависящие только от P, от перемещений, зависящих только от X:

Далее, еще раз воспользовавшись принципом независимости действия сил (обобщенным законом Гука), можно разложить j(X) на составляющие, зависящие только от каждой неизвестной Xm , и результаты

сложить. Мы получим

n

j(X) = ∑ δjmXm , (4) m=1

где δjm – удельные перемещения j-ой точки в основной системе по направлению силы Xj под действием единичной силы Xm = 1,

приложенной в точке m. Удельные перемещения j-ой точки основной системы можно вычислить по формуле Мора:

Перемещение j-ой точки под действием обобщенной силы P в

изгибающих моментов, перерезывающих и продольных сил, обусловленных действием на основную систему обобщенной единичной силы X j= 1, приложенной в j-ой точке по направлению обобщенного

касательных напряжений в поперечном сечении.

Подставляя в (3) выражения (4) придем к канонической системе уравнений метода сил:

265

n

∑ δ jmXm+ jp = 0; j = 1, 2, …n. (7) m=1

Система уравнений (7) – хорошо обусловленная линейная алгебраическая система n-го порядка с квадратной матрицей коэффициентов δjm . Решив эту систему относительно “лишних” неизвестных X1, X2, …, Xn, подставив их в уравнения равновесия, можно найти остальные опорные реакции и построить эпюры внутренних усилий – N, Q, M.

В развернутой записи система уравнений (7) имеет вид:

Определив из системы уравнений (7) или (8) X1, X2, …Xn, можно построить эпюры M, N, Q в исходной расчетной схеме по принципу независимости действия сил:

Методика определения N, Q, M в стержнях рам изложена в Задании

№12 “Расчет статически определимых рам”.

3.2.Определение “лишних” неизвестных с помощью теоремы Кастильяно. В случае один-два раза внешне статически неопределимых рам для определения реакций “лишних” опорных связей целесообразно использовать формулу Кастильяно, с помощью которой можно выразить обобщенное перемещение сечения балки по направлению реакции “лишней” опорной связи.

Общая схема применения формулы Кастильяно состоит в следующем.

После замены “лишней” опорной связи в точке m ее реакцией X составляются аналитические выражения для изгибающих моментов, продольных и перерезывающих сил, обусловленных действием на стержневую систему заданных сил, а также обобщенной силы Pm ≡ X,

приложенной в точке m по направлению обобщенного перемещения m. Составляются уравнения равновесия рамы под действием заданных

сил P = {q, F, M, …}, а также обобщенной силы Pm ≡ X.

266

В дополнение к уравнениям равновесия рамы составляются

перерезывающих сил на j-ом участке, обусловленных действием на стержневую систему заданных сил, а также обобщенной силы Pm , приложенной в точке m по направлению обобщенного перемещения m; n

– число участков, на которые поделена рама; lj – длина участка с номером j ; E, G – модули упругости и сдвига; Aj , Jj – площадь поперечного сечения и осевой момент инерции сечения j-го стержня; kQ – коэффициент влияния формы поперечного сечения стержня на распределение касательных напряжений в поперечном сечении.

Зная действительные перемещения сечений рамы, приравнивают выраженные по формуле Кастильяно перемещения действительным значениям перемещений и получают столько уравнений совместности перемещений, сколько отброшено “лишних” связей.

В практических расчетах рам, состоящих из стержней, длина которых превышает высоту поперечного сечения в десять и более раз, влиянием продольных (N) и перерезывающих (Q) сил на перемещения

Совокупности уравнений равновесия рамы и уравнений совместности перемещений достаточно для определения реакций всех опорных связей.

4. Примеры расчета плоских статически неопределимых рам.

Пример 1. Применение метода сил. Рама, расчетная схема которой представлена на рис.6, нагружена горизонтальной равномерно распределенной нагрузкой q = 10 кН/м и сосредоточенной вертикальной силой F = 20 кН. Размеры рамы: а = 2 м, b = 4 м, l = 6 м; осевые моменты

инерции стержней J2 = 2J1. Модуль упругости E.

Требуется построить эпюры изгибающих моментов М, перерезывающих Q и продольных N сил.

Рама один раз статически неопределимая.

267

Выбираем основную систему, заменив жесткое соединение стержней AC и BD в точке B на шарнирное (рис.7). Реакцию отброшенных связей – изгибающий момент MB – обозначаем буквой X1 (рис.8). На рис.7 пунктиром отмечено так называемое “внутреннее волокно” стержней, по знаку напряжений в котором определяется знак изгибающего момента: растягивающему напряжению соответствует положи-

тельный изгибающий момент. Каноническое уравнение метода сил в данном случае имеет вид:

определяемые по формуле Мора, в которой влияние попереч ных и

Рис.6. Исходная расчетная схема.

продольных сил на эти коэффициенты не учитывается. Коэффициент δ11 определяют в основной системе при действии единичной обобщенной силы X1= 1 по упрощенной формуле

системе при действии обобщенных заданных сил P={q, F}:

268

Рассматриваем равновесие всей рамы : ∑Fy = 0; VA + VD = 0, VD = –

VA ;

∑Fz = 0; HA + HD = 0, HD = – HA .

Рассматриваем равновесие стержня BD: ∑m(B) = 0; VD ·l + X1 = 0,

VD = – 1/ l.

Опять рассматриваем равновесие всей рамы:

VA = 1/ l, HA = 1/b, VD = – 1/ l, HD = – 1/b.

Обобщенная сила X1= 1 не вызывает в стержне BC изгибающих

моментов, поэтому аналитические выражения для изгибающих моментов M1строим только для стержней AB (участок 1) и DB (участок 2).

Обозначим координаты на осях стержней AB, DB через s1 , s2 , и будем отсчитывать их от узлов A, D соответственно. Тогда аналитические выражения для изгибающих моментов M1примут

вид:

M1(s1) = s1/b, M1(s2) = s2/l. (15) По выражениям (15) на рис.10 построена единичная эпюра M1.

Переходим к построению эпюры изгибающих моментов в основной системе при действии заданных сил P = {q, F}.

Рис.10. Единичная эпюра M1.

Определяем опорные реакции VA, HA, VD, HD в основной системе при действии заданных сил P = {q, F}.

Рассматриваем равновесие стержня BD:

270