sopromat2

Построим эпюры Mp, M1(B) , M1(o) .

2.5.1. Определяем опорные реакции как от заданных внешних сил, так и от единичных обобщенных сил FB =1, Mo =1:

ΣFz = 0: Ho = q 4a + FB ;

Σm(o) = 0: Mo + VB 6a + q 4a2a = 0, VB = − (Mo +8qa2 )6a ;

Σm(В) = 0: Mo + q 4a 2a − Vo 6a = 0, Vo = (Mo +8qa2)6a .

2.5.2.Определяем опорные реакции раздельно для каждой системы сил:

– действие заданных внешних сил q:

– действие единичной обобщенной силы Mo =1:

Эпюры Mp, M1(B) , M1(o) представлены на рис. 10, 11, 12.

251

2.5.3. Определение перемещений. Горизонтальное перемещение узла В – В и угол поворота левого вертикального стержня в узле

o – θо определяем по формулам Мора (6) , (7). Вычисляем интегралы, входящие в формулы Мора (6) , (7), по правилу Верещагина. Длины

стержней о-1, 1-2, 2-B обозначаем l1, l2 , l3 соответственно.

Рис. 12. Эпюра M1(o).

2.5.4. Горизонтальное перемещение узла B:

Вычисляем интегралы по участкам, используя способ Верещагина (см. Приложение 12):

252

2.6. Определение перемещений статически определимой рамы с помощью теоремы Кастильяно. Расчетная схема статически определимой рамы представлена на рис. 9.

Требуется найти горизонтальное перемещение В узла В и угол поворота θо левого вертикального стержня в узле o.

Определение перемещений В, θо другим способом (по теореме

Кастильяно) служит проверкой правильности найденных В, θо по формуле Мора.

253

Пометим стержни рамы цифрами 1, 2, 3 в кружочках, как показано на рис. 13.

По теореме Кастильяно обобщенное перемещение j в направлении

действия обобщенной силы Pj , приложенной в точке j , определяется частной производной от потенциальной энергии системы U по

обобщенной силе Pj :

Составляем выражение для потенциальной энергии (без учета влияния продольных и поперечных сил):

Участок 0 – 1 (стержень 1; рис.14):

254

M1(z1) = – Mo – Ho·z1 = – Mo – (4qa + FB)·z1.

Участок 1 – 2 (стержень 2; рис.15):

Участок B – 2 (стержень 3; рис.16):

M3 (z3) =− 12 qz32 − FBz3.

255

Вычисляем угол поворота θо левого вертикального стержня в узле O

(формулы (12), (13)) совпадают с вычисленными значениями по формуле Мора (формулы (8), (9)), следовательно, эти значения правильные.

2.7. Построение эпюры деформированного состояния рамы.

256

Задание № 13. Расчеты плоских статически неопределимых рам

1.Формулировка задания. Для рам, расчетные схемы которых представлены на рис.1,а,б,в,г, требуется построить эпюры изгибающих моментов (M), продольных (N) и перерезывающих (Q) сил, а также произвести статическую и кинематическую проверки правильности решения.

Нагрузка на рамы: F = 10 кН, M = 10 кН·м, q = 5 кН/м. Размеры указаны в метрах.

Номер расчетной схемы выбирается по коду из трех цифр n2n1n0, выданному преподавателем; n2, n1, n0 – три цифры кода студента: n2 – первая слева цифра, n1 – вторая слева цифра, n0 – последняя цифра кода.

Три цифры кода студента n2n1n0 образуют трехзначное число. Номер расчетной схемы определяется делением числа n2n1n0 на 30 с остатком и равен этому остатку. Обозначим номер расчетной схемы символом № , остаток – δ. Пусть результатом деления числа n2n1n0 на 30 с остатком будет 30·k + δ, где k – целое число; тогда № = δ.

Например, если n2 = 5, n1 = 3, n0 = 9, то n2n1n0 = 539; деление числа 539 на 30 с остатком дает: 30·17 + 29, δ = 29 и № = 29.

2.Основные понятия. Рама – это стержневая конструкция, стержни которой, в основном, жестко соединены между собой. Некоторые стержни могут соединяться с помощью шарниров. Оси стержней рамы могут пересекаться между собой под произвольными углами.

Плоская рама – такая, оси стержней которой и внешние силы, включая и опорные реакции, лежат в одной плоскости.

В общем случае, в поперечных сечениях стержней плоских рам возникают изгибающие моменты M, продольные N и перерезывающие Q силы. В задании рассматривается случай, когда внешние силы действуют в плоскости рамы.

Для расчета рамы на прочность и жесткость надо знать распределение силовых факторов N, Q, M по длине стержней, а также деформации стержней рамы.

Зная распределение N, Q, M по длине стержней можно выполнить расчеты их на прочность.

Силы N, Q и изгибающий момент М будем называть обобщенными силами или силовыми факторами.

Для придания плоской раме геометрической неизменяемости и неподвижности необходимо закрепить ее на “основании” с помощью как минимум трех не параллельных и не пересекающихся в одной точке стержневых связей. Возникает плоская система сил, для которой можно составить три независимых уравнения равновесия.

Эти три связи являются необходимыми и достаточными, а все другие связи, сверх необходимых, соединяющие систему с "основанием", являются как бы лишними. Если система соединена с "основанием" только необходимыми связями, то реакции в 3-х необходимых связях могут быть

258

определены с помощью 3-х уравнений равновесия, которые можно составить для плоской системы сил.

Рис.1,а. Расчетные схемы 1÷6.

Если, кроме того, и внутренние усилия в системе могут быть определены только из уравнений равновесия, то система называется

статически определимой.

Если же реакции в опорных связях или какие-либо внутренние усилия в системе не могут быть определены только из уравнений равновесия, то система называется статически неопределимой.

259