linalgebra
.pdfЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
|
Содержание |
|
1. |
Пространство Rn |
1 |
2. |
Определение и примеры векторных пространств |
2 |
3. |
Базис и размерность векторного пространства |
6 |
4. |
Алгоритмы для нахождения базисов |
9 |
5. |
Векторные пространства со скалярным произведением |
11 |
6. |
Матрицы и действия над ними |
17 |
7. |
Обратная матрица |
24 |
8. |
Определители и их свойства |
25 |
9. |
Комплексные числа |
29 |
10. |
Многочлены |
32 |
11. Определение и свойства операторов |
35 |
|
12. Собственные векторы и собственные значения операторов |
38 |
|
13. |
Квадратичные формы |
40 |
14. Квадратичные формы в евклидовом пространстве |
43 |
|
Дополнение 1. Формулы перехода |
45 |
|
Дополнение 2. Ортогональные матрицы |
47 |
|
Дополнение 3. Словарь некоторых терминов |
48 |
1. Пространство Rn
Пространства R1, R2 è R3 определяют геометрически. А именно: R1 := множество векторов на прямой, на которой
зафиксирована система координат ;
R2 := множество векторов на плоскости, на которой зафиксирована система координат ;
R3 := множество векторов в пространстве, в котором зафиксирована система координат .
Эти пространства также можно определить алгебраически. Рассмотрим, например, пространство R2. Сопоставляя каждому вектору из R2 его координаты (x, y), получаем
(1.1) |
R2 := {(x, y) | x, y R}. |
||
Аналогично пространства R1 è R3 можно определить формулами |
|||
(1.2) |
R1 |
:= |
{(x) | x R}, |
|
R3 |
:= |
{(x, y, z) | x, y, z R}. |
Пространство Rn ïðè n > 3 |
невозможно определить геометрически; его определяют |
|
алгебраически аналогично (1.1) |
и (1.2). А именно, |
|
(1.3) |
Rn := {(x1, . . . , xn) | xi R}. |
1
2 |
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА |
Пространство Rn называют n-мерным координатным пространством , а его элементы (строки длины n из действительных чисел) называют векторами. Пространство Rn èíî- гда неправильно называют n-мерным арифметическим пространством, а его элементы - n-мерными арифметическими векторами . Вектор
(0, . . . , 0) Rn
называют нулевым вектором и обозначают через 0.
Âпространствах R1, R2 è R3 геометрически определены операции сложения векторов
èумножения векторов на числа. Вот несколько примеров:
R1 |
: |
(2) + (−3) = (−1), (0) + (5) = (5), 5(−1) = (−5), |
|
R2 |
: |
(1, |
3) + (1, −2) = (2, 1), 4(0, 2) = (0, 8), |
R3 |
: |
(1, |
1, 1) + (−1, −3, 2) = (0, −2, 3), (−2)(−2, 0, 1) = (4, 0, −2). |
Эти операции естественным образом обобщаются на Rn. А именно, определим
(1) сумму векторов (x1, . . . , xn) è (y1, . . . , yn) êàê
(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) := (x1 + y1, . . . , xn + yn);
(2) произведение вектора (x1, . . . , xn) на число λ R êàê
λ(x1, . . . , xn) := (λx1, . . . , λxn).
Например, в R5 имеем:
(2, −1, 3, −3, 0) + (1, −2, −2, 5, 1) = (3, −3, 1, 2, 1),
3(−1, 2, 1, −2, 6) = (−3, 6, 3, −6, 18).
2. Определение и примеры векторных пространств
Абстрактное векторное пространство определяют следующим образом.
Определение 2.1. Векторным пространством называют множество V (элементы которого называют векторами) с отмеченным вектором 0 V (который называют нулевым вектором) такое, что
• для любых векторов a, b V определена их сумма a + b;
•для любого вектора a V и любого числа λ R опрелено их произведение λa;
•выполнены следующие свойства:
(1)a + b = b + a;
(2)(a + b) + c = a + (b + c);
(3)a + 0 = a;
(4)для любого вектора a существует вектор −a такой, что a + (−a) = 0;
(5)λ(a + b) = λa + λb;
(6)(λ + µ)a = λa + µa;
(7)(λµ)a = λ(µa);
(8)1a = a.
Векторные пространства иногда неправильно называют линейными пространствами.
Основным примером векторного пространства для нас будет определенное выше пространство Rn.
Приведем еще примеры векторных пространств.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА |
3 |
Пример 2.2. Множество {0}, состоящее только из нулевого вектора 0, является векторным
пространством (его называют нулевым пространством). В нулевом пространстве 0+0 = 0
è λ0 = 0.
Пример 2.3. Рассмотрим множество многочленов от переменной t (обозначим его через R[t]). Тогда R[t] является векторным пространством.
Пример 2.4. Фиксируем натуральное число n и рассмотрим множество многочленов сте-
ïåíè íå âûøå n от переменной t (обозначим его через R[t]6n). Тогда R[t]6n является векторным пространством.
Пример 2.5. Пусть x1, . . . , xn - переменные. Линейной функцией от x = (x1, . . . , xn) называют функцию вида
f(x) = f(x1, . . . , xn) = a1x1 + . . . + anxn,
ãäå a1, . . . , an R. Рассмотрим множество всех линейных функций. Естественным образом определены суммы линейных функций и произведения линейных функций на числа. Относительно этих операций множество линейных функций от x1, . . . , xn является век- торным пространством. Нулевым вектором является нулевая функция, то есть функция
f(x) = 0x1 + . . . + 0xn = 0.
Èç ñâîйств (1) (8) векторных пространств несложно вывести, что для любых векторов a1, . . . , an векторного пространства и любых чисел λ1, . . . , λn R корректно определен вектор
λ1a1 + . . . + λnan.
Лемма 2.6. Для любых векторов a, a1, . . . , an и любых чисел λ, λ1, . . . , λn R выполнены следующèå ñâойства.
(1)λ0 = 0.
(2)0a = 0.
(3)(−λ)a = −(λa).
(4)λ(−a) = −(λa).
(5)(λ1 + . . . + λn)a = λ1a + . . . + λna.
(6)λ(µ1a1 + . . . + µnan) = (λµ1)a1 + . . . + (λµn)an.
Доказательство. При доказательстве мы будем использовать свойства (1) (8) из определения векторных пространств.
Сначала докажем, что
(2.1) |
|
+ b = |
|
+ |
|
= b = |
|
|
a |
a |
c |
c. |
Действительно, к правой и левой частям равенства a + b = a + c прибавим −a. Получим a + b + (−a) = a + c + (−a).
Упрощаем левую и правую части этого равенства:
ë.÷. = a + b + (−a) = b + a + (−a) = b,
ï.÷. = a + c + (−a) = c + a + (−a) = c
и, следовательно, b = c.
Докажем (1). Имеем:
λ0 + λ0 = λ(0 + 0) = λ0 = λ0 + 0
и из (2.1) следует λ0 = 0.
4 |
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА |
Докажем (2). Имеем:
0a + 0a = (0 + 0)a = 0a = 0a + 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è èç (2.1) |
следует 0 |
a |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Докажем (3). Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λa |
+ (−λ)a = (λ + (−λ))a = 0a = 0 = λa + (−(λa)) |
|
|||||||||||||||||||
è èç (2.1) |
следует (−λ) |
|
|
|
). |
|
|||||||||||||||||
a |
= −(λa |
|
|||||||||||||||||||||
Аналогично доказывают остальные свойства. |
Определение 2.7. Пусть V - векторное пространство. Подмножество L V называют подпространством пространства V , åñëè
(1)для любых векторов a, b L их сумма a + b лежит в L;
(2)для любого вектора a L и любого числа λ R их произведение λa лежит в L.
Подпространства векторного пространства называют также линейными подпространствами.
Пример 2.8. Пространство V является подпространством самого себя.
Пример 2.9. Подмножество {0} V , состоящее из нулевого вектора, является подпространством (его называют нулевым подпространством).
Теорема 2.10. Подпространство векторного пространства является векторным пространством.
Доказательство. Мы должны доказать, что если L - подпространство векторного пространства V , òî L само по себе является векторным пространством, т.е. для L выполнены
свойства, указанные в определениè векторных пространств.
Нулевым вектором в L является 0 нулевой вектор пространства V . Мы должны только проверить, что 0 L. Для этого берем какой-нибудь a L и получаем: 0a = 0 (Лемма
2.6 (2)) è 0a L (свойство (2) определения подпространств) и, следовательно, 0 L. Сумму векторов из L определим складывая их как векторы из V . Мы должны только
проверить, что складывая так векторы из L мы будем получать векторы из L. Íî â ýòîì
как раз и состоит свойство (1) подпространств.
Произведение вектора из L на число определим умножая его на число как вектор из V . Мы должны только проверить, что умножая так вектор из L на число мы будем получать вектор из L. Но в этом как раз и состоит свойство (2) подпространств.
Наконец, мы должны доказать, что для векторов из L выполнены свойства (1) (8). Но это очевидно, так как эти свойства выполнены для векторов из V è L V .
Опишем две важные конструкции подпространств.
Подпространства в Rn как множества решений систем однородных линейных уравнений.
Пусть x1, . . . , xn - переменные. Линейным уравнением с x1, . . . , xn называют уравнение âèäà
(2.2) |
a1x1 + . . . + anxn = b, |
ãäå a1, . . . , an, b R. Линейное уравнение (2.2) называют однородным, если b = 0. Рассмотрим систему
|
|
|
(2.3) |
a....................................11x1 |
+ . . . + a1nxn = b1 |
|
|
|
|
|
+ + amnxn = bm |
|
am1x1 |
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА |
5 |
линейных уравнений с x1, . . . , xn и положим
L = {x = (x1, . . . , xn) | x1, . . . , xn удовлетворяют системе (2.3) }.
Теорема 2.11. L является подпространством в Rn тогда и только тогда, когда b1 =
. . . = bm = 0 (то есть когда система (2.3) состоит из однородных уравнений).
Доказательство. Допустим, что L является подпространством в Rn. Мы должны дока- çàòü, ÷òî b1 = . . . = bm = 0. Заметим, что L, как всякое подпространство, содержит нулевой вектор (0, . . . , 0). Таким образом, (0, . . . , 0) удовлетворяет системе уравнений (2.3), то есть,
(2.4)
Видно, что левая часть каждого уравнения системы (2.4) равна 0. Значит и правая часть каждого уравнения системы (2.4) равна 0, то есть,
b1 = . . . = bm = 0.
Допустим, что b1 = . . . = bm = 0. Мы должны доказать, что L является подпространством в Rn. Для этого мы должны проверить, что L удовлетворяет свойствам (1) и (2)
определения подпространств. Проверим свойство (1). Для любых
x′ = (x′1, . . . , x′n), x′′ = (x′′1, . . . , x′′n) L
мы должны проверить, что
x′ + x′′ = (x′1 + x′′1, . . . , x′n + x′′n) L.
Другими словами, мы должны проверить, что для любых решений x′, x′′ Rn системы (2.4) их сумма x′ + x′′ тоже будет решением системы (2.4). Для этого заметим, что так êàê x′ è x′′ - решения системы (2.4), то
aj1x′1 + . . . + ajnx′n = 0, aj1x′′1 + . . . + ajnx′′n = 0
для каждого j = 1, . . . , m. Сложив эти уравнения, получим
(aj1x′1 + . . . + ajnx′n) + (aj1x′′1 + . . . + ajnx′′n) = 0
èëè
aj1(x′1 + x′′1) + . . . + ajn(x′n + x′′n) = 0.
для каждого j = 1, . . . , m. Но это как раз означает, что x′ +x′′ является решением системы
(2.4). |
|
Аналогично проверяют свойство (2). |
Подпростраíства как линейные оболочки векторов.
Пусть a1, . . . , an векторы векторного пространства V . Всякий вектор вида
λ1a1 + . . . + λnan,
ãäå λ1, . . . , λn R называют линейной комбинацией векторов a1, . . . , an
òàìè λ1, . . . , λn. Множество всех линейных комбинаций векторов a1, . . . , an называют их линейной оболочкой и обозначают через a1, . . . , an . Таким образом,
a1, . . . , an := {λ1a1 + . . . + λnan | λ1, . . . , λn R}.
Теорема 2.12. Линейная оболочка a1, . . . , an является подпространством в V .
6 |
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА |
|
|||||||||
|
3. Базис и размерность векторного пространства |
||||||||||
Пусть V |
- векторное пространство и |
|
1, . . . , |
|
n V . Если для некоторых λ1, . . . , λn R |
||||||
a |
a |
||||||||||
выполнено |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
λ1 |
|
1 + . . . + λn |
|
n = 0, |
||||||
|
a |
a |
òî ýòî ñоотношение называют соотношением линейной зависимости между векторами a1, . . . , an. Ясно, что всегда выполнено тривиальное соотношение линейной зависимости
0a1 + . . . + 0an = 0.
Если выполнåно хотя бы одно нетривиальное соотношение линейной зависимости, то век- òîðû a1, . . . , an называют линейно зависимыми. Если выполнено только тривиальное со-
отношение линейной зависимости, то векторы a1, . . . , an называют линейно независимы- ìè.
Пример 3.1. Векторы (1, 0, −1), (3, 2, 1), (4, 1, 0) R3 линейно зависимы, так как
(1, 0, −1) + (3, 2, 1) + (−1)(4, 2, 0) = (0, 0, 0).
Векторы (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) R3, как нетрудно проверить, линейно независимы.
Пример 3.2. Пусть x1, x2, x3, x4 - переменные. Линейные функции
f1(x) = 2x1 + x2 − 3x3 − x4, f2(x) = −x1 + 2x2 + x3 + x4, f3(x) = 5x2 − x3 + x4
линейное зависимы. Действительно,
f1(x) + 2f2(x) − f3(x) = 0.
Пример 3.3. Пусть t - переменная. Многочлены
f1 = t2 − 4t + 3, f2 = 2t2 − 3t − 1, f3 = 4t2 − 11t + 5
(как элементы векторного пространства R[t]) линейное зависимы так как
2f1 + f2 − f3 = 0.
Говорят, что вектор v линейно выражается через векторы v1, . . . , vn, åñëè
v = µ1v1 + . . . + µnvn
для некоторых чисел µ1, . . . , µn.
Лемма 3.4. (1) Один вектор линейно зависим этот вектор равен 0.
(2)Два вектора линейно зависимы эти векторы пропорциональны, то есть, один из них линейно выражается через другой.
Доказательство. (1) "= ". Если вектор a линейно зависим, то имеется соотношение линейной зависимости
λa = 0.
ãäå λ ≠ 0. Умножив это соотношение на λ−1 получим 0 = λ−1(λa) = a.
" =". Если вектор a равен нулю, то, очевидно, 1a = 0 и, значит, вектор a линейно зависим.
(2) "= ". Если векторы a, b линейно зависимы, то имеется соотношение линейной за-
висимости |
|
(3.1) |
λa + µb = 0. |
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА |
7 |
ãäå λ ≠ 0 èëè µ ≠ 0. Åñëè λ ≠ 0, то умножив соотношение (3.1) на λ−1 получим a+λ−1µb =
0 èëè a = −λ−1µb, òî åñòü, a è b пропорциональны. Если µ ≠ 0, то умножив соотношение
(3.1) íà µ−1 получим µ−1λa + b = 0 èëè b = −µ−1λa, òî åñòü, a è b пропорциональны.
" =". Допустим векторы a è b пропорциональны. Если a = λb, òî a − λb = 0 и, значит, векторы a è b линейно зависимы. Если b = λa, òî λa − b = 0 и, значит, векторы a è b
линейно зависимы. |
|
Всякое упорядоченное подмножество векторов векторного пространства |
V называют |
системой векторов пространства V . Например, |
|
(1, 2, −3), (0, 0, 0), (2, 2, 1), (2, 2, 1) |
|
система векторов пространства R3 (в системе векторов может быть нулевой вектор и
равные векторы). Систему векторов называют линейно зависимой (соотв. линейно независимой), если векторы, входящие в эту систему линейно зависимы (соотв. линейно независимы).
Лемма 3.5. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов этой системы можно линейно выразить через остальные.
Доказательство. Если система векторов v1, . . . , vn линейно зависима, то
(3.2) λ1v1 + . . . + λnvn = 0,
причем не все λ1, . . . , λn равны нулю. Пусть λi ≠ 0. Тогда из (3.2) получаем
vi = − |
λ1 |
− . . . − |
λi−1 |
vi−1 − |
λi+1 |
vi+1 − . . . − |
λn |
|
|
λi |
v1 |
λi |
λi |
λi |
vn, |
то есть вектор vi линейно выражается через векторы v1, . . . , vi−1, vi+1, . . . , vn.
Наоборот, пусть вектор vi линейно выражается через векторы v1, . . . , vi−1, vi+1, . . . , vn, òî åñòü,
vi = µ1v1 + . . . + µi−1vi−1 + µi+1vi+1 + . . . + µnvn
для некоторых чисел µ1, . . . , µi−1, µi+1, . . . , µn. Тогда
µ1v1 + . . . + µi−1vi−1 − vi + µi+1vi+1 + . . . + µnvn = 0 |
|
||||
то есть, векторы v1, . . . , vn линейно зависимы. |
|
||||
Определение 3.6. Систему векторов |
|
1, . . . , |
|
n векторного пространства V |
называют |
a |
a |
базисом пространства V , если любой вектор из V можно единственным образом представить как линейную комбинацию векторов a1, . . . , an.
Пример 3.7. Векторы
e1 = (1, 0, . . . , 0, 0), e2 = (0, 1, . . . , 0, 0),
..............................
en = (0, 0, . . . , 0, 1)
образуют стандартный базис пространства Rn.
Теорема 3.8. Пусть a1, . . . , an - система векторов векторного пространства V такая, что
(1)векторы a1, . . . , an линейно независимы;
(2)V = a1, . . . , an .
Тогда a1, . . . , an образует базис пространства V .
8 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Доказательство. Условие (2) означает, что любой вектор из V можно представить как линейную комбинацию векторов a1, . . . , an. Осталось проверить, что для каждого вектора такое представление единственно. Пусть v V è
(3.3) |
v = λ1 |
a |
1 + . . . + λn |
a |
n, v = µ1 |
a |
1 + . . . + µn |
a |
n. |
|
||||||||||
Вычтя второе равенство из первого получим |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 + . . . + (λn − µn) |
|
n. |
|
|||||||||||||
|
|
0 |
= (λ1 − µ1) |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
a |
a |
|
||||||||||||||||
Из этого равенства и линейной независимости векторов |
|
1, . . . , |
|
n вытекает, что |
|
|||||||||||||||
a |
a |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
λ1 = µ1, . . . , λn = µn. |
|
||||||||||||||
А это как раз означает, что разложения (3.3) совпадают. |
|
Векторное пространство V называют конечномерным, если у него существует конечный базис (т.е. базис, состоящий из конечного числа векторов). Пространство V называют бесконечномерным, если у него не существует конечного базиса.
Теорема 3.9. Рассмотрим конечномерное векторное пространство V и некоторый его
конечный базис a1, . . . , an. Пусть b1, . . . , bm V - произвольные линейно независимые векторы. Тогда
(1)m6n;
(2)m = n тогда и только тогда, когда система векторов b1, . . . , bm является базисом пространства V .
Доказательство. ....................................... |
|
Из теоремы 3.9 следует, что у конечномерного векторного пространства V всякий базис
содержит одно и то же число векторов; это число называют размерностью пространства V и обозначают через dim(V ). Например,
dim(Rn) = n
(см. пример 3.7). Если пространство V бесконечномерно, то его размерность dim(V ) полагают равной бесконечности. Например,
dim(R[t]) = ∞.
Далее в этом курсе мы рассматриваем только конечномерные векторные пространства.
Пусть V - конечномерное векторное пространство, e1, . . . , en базис пространства V .
Тогда всякий вектор |
a |
V |
можно представить как линейную комбинацию базисных |
||||||
векторов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.4) |
|
|
|
|
= λ1 |
|
1 + . . . + λn |
|
n. |
|
|
|
a |
e |
e |
По определению базиса, коэффициенты λ1, . . . , λn разложения (3.4) определены одно- значно. Эти коэффициенты называют координатами вектора a в базисе e1, . . . , en. Часто векторы записывают указывая их координаты в скобках через запятые:
a = (λ1, . . . , λn).
Теорема 3.10. (1) При сложении векторов их координаты складываются.
(2) При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА |
9 |
Доказательство. (1). Пусть λ1, . . . , λn - координаты вектора a è µ1, . . . , µn - координаты вектора b. Это означает, что
a = λ1e1 + . . . + λnen, b = µ1e1 + . . . + µnen
и, следовательно,
a + b = (λ1 + µ1)e1 + . . . + (λn + µn)en.
Таким образом, координатами вектора a+b являются λ1 +µ1, . . . , λn +µn и, следовательно,
при сложении векторов их координаты складываются. |
|
(2) доказывается аналогично. |
4.Алгоритмы для нахождения базисов
Âэтом параграфе мы укажем алгоритмы для нахождения базисов (под)пространств в трех важных случаях.
I. Алгоритм для нахождения базисов пространств решений систем однородных линейных уравнений.
Пусть x1, . . . , xn - переменные,
a11x1 + . . . + a1nxn = 0
(4.1) |
.................................... |
|
|
+ + amnxn = 0 |
|
|
am1x1 |
- система однородных линейных уравнений с x1, . . . , xn,
L = {(x1, . . . , xn) | x1, . . . , xn удовлетворяют системе уравнений (4.1) }
- множество решений системы (4.1). По теореме 2.11, L является подпространством в Rn. Всякий базис подпространства L называют фундаментальной системой решений
системы (4.1). Алгоритм для нахождения фундаментальной системы решений (базиса пространства L) состоит в следующем.
•Сначала элементарными преобразованиями привести систему (4.1) к главному ступенчатому виду.
•Затем выразить главные неизвестные через свободные.
•Наконец, выписать фундаментальную систему решений. Фундаментальная систе-
ма решений будет состоять из стольких векторов, столько будет свободных неизвестных.
Разберем пример применения этого алгоритма.
Пример 4.1. Найдем фундаментальную систему решений системы уравнений
{
x1 |
+ |
x2 |
+ x3 − |
x4 |
= |
0 |
2x1 |
+ |
x2 |
+ |
3x4 |
= |
0 |
Сначала приводим эту систему к главному степенчатому виду и получаем систему
{
x1 |
− |
x3 |
+ |
4x4 |
= |
0 |
|
x2 + |
2x3 |
− 5x4 |
= |
0 |
Главные неизвестные: x1, x2, свободные неизвестные: x3, x4. Далее выражаем главные неизвестные через свободные: {
(4.2) |
x1 |
= |
x3 |
− |
4x4 |
|
x2 |
= |
−2x3 |
+ |
5x4 |
И, наконец, выписываем фундаментальную систему решений (в данном случае она будет состоять из двух векторов). Для этого
10 |
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА |
(1)полагаем x3 = 1, x4 = 0 и из (4.2) находим x1 = 1, x2 = −2. Это дает вектор
(1, −2, 1, 0).
(2)полагаем x3 = 0, x4 = 1 и из (4.2) находим x1 = −4, x2 = 5. Это дает вектор
(−4, 5, 0, 1).
Таким образом, фундаментальной системой решений исходной системы уравнений будет система векторов (1, −2, 1, 0), (−4, 5, 0, 1).
II. Алгоритм для нахождения базисов линейных оболочек столбцов матриц.
Пусть дана матрица A. Укажем алгоритм для нахождения (a) столбцов, образующих
базис линейной оболочки столбцов этой матрицы и (b) разложения по ним остальных столбцов.
(1)Элементарными преобразованиями по строкам приводим матрицу A к главному ступенчатому виду. Полученную матрицу обозначим через A′.
(2)Пусть k1, . . . , kr номера столбцов матрицы A′, в которых расположены угловые элементы ступенек. Тогда в матрице A столбцы с этими же номерами k1, . . . , kr будут
образовывать базис линейной оболочки столбцов.
(3)В матрице A′ столбцы с номерами отличными от k1, . . . , kr разлагаем по столбцам
ñномерами k1, . . . , kr (это легко сделать, так как матрица A′ имеет главный ступенчатый
вид). Тогда в матрице A столбцы с номерами отличными от k1, . . . , kr раскладываются по столбцам с номерами k1, . . . , kr точно так же (с теми же коэффициентами).
Замечание 4.2. Как нетрудно заметить, при элементарных преобразованиях матрицы по строкам соотношения линейной зависимости между столбцами этой матрицы сохраняются, откуда и следует корректность приведенного выше алгоритма.
Пример 4.3. Найдем столбцы, образующие базис линейной оболочки столбцов матрицы
1 |
2 |
0 |
3 |
1 |
1 |
1 |
1 |
A = 2 |
1 |
3 |
4 . |
и разложим по ним остальные столбцы этой матрицы.
Сначала элементарными преобразованиями по строкам приводим матрицу A к главному ступенчатому виду и получаем
1 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
A′ = 0 |
1 |
−1 |
0 . |
В матрице A′ базис пространства столбцов образуют столбцы с номерами 1, 2 и 4. Разлагая по ним 3-ий столбец получаем
|
2 |
|
1 |
− |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|||
−1 |
= 2 0 |
+ ( 1) |
1 |
+ 0 0 . |
Следовательно, матрице A базис пространства столбцов образуют столбцы с номерами 1, 2 и 4. При этом разложение 3-го столбца имеет вид
3 |
= 2 |
2 |
+ ( 1) |
1 |
+ 0 |
4 . |
0 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
1 |
|
1 |
− 1 |
|
1 |