linalgebra

Для числа z = 0 аргумент и главный аргумент не определены. Для комплексного числа z ≠ 0 имеем представление в виде

ãäå φ Arg(z) и такое представление называют тригонометрической формой комплексного числа z.

Пример 9.7.

i = cos (π2 ) + i sin (π2 ), 1 + i = √2 (cos (π4 ) + i sin (π4 ))

Лемма 9.8 (Формула для умножения комплексных чисел в тригонометрической форме) .

При умножении комплексных чисел их модули умножают, а аргументы складывают. Другими словами, если

z = |z|(cos(φ) + i sin(φ)), w = |w|(cos(ψ) + i sin(ψ)),

òî

zw = |z||w|(cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ)).

Доказательство. Вычисляем:

z · w = |z|(cos(φ) + i sin(φ)) · |w|(cos(ψ) + i sin(ψ)) =

|z||w|((cos(φ) cos(ψ) − sin(φ) sin(ψ)) + i(cos(φ) sin(ψ) + sin(φ) cos(ψ))) =

|z||w|(cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ)).

Следствие 9.9. Åñëè

z = |z|(cos(φ) + i sin(φ)),

òî

z−1 = |z|−1(cos(−φ) + i sin(−φ)).

Доказательство. Действительно,

|z|(cos(φ) + i sin(φ)) · |z|−1(cos(−φ) + i sin(−φ)) = |z| · |z|−1(cos(0) + i sin(0)) = 1.

Следствие 9.10 (Формула для деления комплексных чисел в тригонометрической форме). При делении комплексных чисел их модули делят, а аргументы вычитают. Другими словами, если

32 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Следствие 9.11 (формула Муавра). Åñëè

z = |z|(cos(φ) + i sin(φ)),

òî

zn = |z|n(cos(nφ) + i sin(nφ)).

Рассмотрим уравнение

zn = c,

ãäå n - натуральное число, c некоторое комплексное число. Решить это уравнение в комплексных числах это значит найти все комплексные числа z, удовлетворяющие этому уравнению. Алгоритм решения уравнения zn = c состоит в следующем.

(1) Åñëè c = 0, то, очевидно, уравнение zn = c решение имеет единственное решение z = 0.

(2) Рассмотрим случай, когда c ≠ 0. Пусть z решение уравнения zn = c. Представим оба числа c è z в тригонометрической форме:

А теперь заметим, что среди решений (9.2) есть повторяющиеся. Например, решение (9.2) при k = 0 совпадает с решением при k = n. Исключив повторяющиеся решения получим

10. Многочлены

Вещественный многочлен от переменной t - это выражение вида f(t) = fntn + fn−1tn−1 + . . . + f1t + f0, fi R;

множество таких многочленов обозначают через R[t]. Комплексный многочлен от переменной t - это выражение вида

f(t) = fntn + fn−1tn−1 + . . . + f1t + f0, fi C;

множество таких многочленов обозначают через C[t].

−∞

Естественным образом определяется сложение, вычитание и умножение многочленов.

Лемма 10.2. Для любых многочленов f, g выполнено

(1)deg(f + g)6max{deg(f), deg(g)};

(2)deg(fg) = deg(f) + deg(g).

Разделить многочлен f на многочлен g с остатком это значит найти разложение f(t) = s(t)g(t) + r(t),

ãäå s(t), r(t) - многочлены, причем deg(r) < deg(g). В такой ситуации многочлен s называют частным, а многочлен r называют остатком от деления f íà g. Хорошо известен

способ деления с остатком многочленов деление "уголком".

Пусть f(t) - многочлен. Если f(t) = s(t)g(t), то говорят, что многочлен f(t) делится на многочлен g(t) (также в этом случае говорят, что многочлен g(t) делит многочлен f(t)). Число t0 называют корнем многочлена f(t), åñëè f(t0) = 0.

Теорема 10.3 (теорема Безу). Остаток от деления многочлена f(t) на многочлен t −t0 равен f(t0).

Доказательство. Разделим с остатком:

(10.1) f(t) = s(t)(t − t0) + r0.

Так как степень остатка должна быть меньше deg(t − t0) = 1, то эта степень равна 0 или −∞, т.е. остаток r0 должно быть константой. Подставив t = t0 в (10.1) получим

f(t0) = s(t0)(t0 − t0) + r0

òî åñòü,

f(t0) = r0.

Следствие 10.4. Многочлена f(t) делится на t − t0 тогда и только тогда, когда t0 является корнем многочлена f(t).

Пусть f(t) - многочлен, t0 - корень многочлена f(t). Согласно следствию теоремы Безу, это означает, что f(t) делится на t − t0. Корень t0 называют корнем кратности m

многочлена f(t), åñëè

f(t) = (t − t0)mg(t), ãäå g(t0) ≠ 0.

Алгоритм для нахождения кратности корня многочлена. Пусть f(t) много- член, t0 число. Вычисляем производные f(i)(t) и значения f(i)(t0) до тех пор, пока первое

34 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

значение, скажем f(m)(t0), окажется не равным нулю: f(0)(t0) := f(t0) = 0, f(1)(t0) := f′(t0) = 0, f(2)(t0) := f′′(t0) = 0,

.................,

f(m−1)(t0) = 0,

f(m)(t0) ≠ 0.

Тогда m и будет равно кратности корня.

Пример 10.5. f(t) = t4 + t, t0 = 2. Тогда f(t0) = 24 + 2 ≠ 0, òî åñòü m = 0, кратность корня t0 = 2 равна 0.

Пример 10.6. f(t) = t4 − 4t + 3, t0 = 1. Тогда

f(1) = 14 − 4 + 3 = 0,

f′(t) = 4t3 − 4, f′(1) = 4 − 4 = 0, f′′(t) = 12t2, f′′(1) = 12 ≠ 0.

Òî åñòü m = 2 и кратность корня t0 = 1 равна 2.

Теорема 10.7 (О рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами) . Рассмотрим многочлен

f(t) = fntn + . . . + f1t + f0

степени n с целыми коэффициентами и пусть pq рациональный корень этого много- члена, причем дробь p p делит f0, à q делит fn.

q несократима. Тогда

Из этой теоремы вытекает алгоритм для нахождения рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами. Например, допустим мы должны найти все рациональные корни многочлена

f(t) = 2t6 − 3t4 − 21t3 + 16t2 − 34.

Из теоремы следует, что все рациональные корни этого многочлена находятся среди чисел

±1, ±2, ±17, ±34, ±12, ±172 .

Проверив каждое число из этого списка (конечное число проверок) мы найдем все рациональные корни этого многочлена.

Следствие 10.8. Рассмотрим нормированный многочлен

f(t) = tn + fn−1tn−1 + . . . + f1t + f0

степени n с целыми коэффициентами. Тогда каждый рациональный корень этого многочлена является целым числом делящим f0.

Теорема 10.9 (Основная теорема алгебры) . Многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет n комплексных корней (с учетом кратностей)

Следствие 10.10. Всякий многочлен

f(z) = fnzn + . . . + f1z + f0

степени n с комплексными коэффициентами можно разложить в произведение f(z) = fn(z − z1)n1 · . . . · (z − zm)nm ,

ãäå n1 + . . . + nm = n, z1, . . . , zm - корни многочлена f(z), n1, . . . , nm - кратности корней.

11. Определение и свойства операторов

До этого места мы рассматривали пространство Rn как пространство строк длины n.

Начиная с этого места мы будем рассматривать пространство Rn как пространство столбцов высоты n.

(Линейный) оператор в векторном пространстве V - это отображение

φ : V → V

такое, что для всех чисел λ, µ и всех векторов a, b V выполнено

•φ(a + b) = φ(a) + φ(b);

•φ(λa) = λφ(a).

Нетрудно заметить, что каждый оператор отображает 0 в 0. Действительно,

φ(0) = φ(0 · 0) = 0 · φ(0) = 0.

Пример 11.1. Определим оператор φ формулой

φ(a) = 0.

Этот оператîр называют нулевым оператором. Нулевой оператор переводит все пространство в 0. Нулевой оператор обозначают через 0.

Пример 11.2. Определим оператор E формулой

E(a) = a

Этот оператор называют единичным оператором или тождественным оператором.

Пример 11.3. Фиксируем число λ и определим оператор формулой

(λE)(a) = λa

Этот оператор называют оператором гомотетии. Оператор гомотетии "равномерно растягивает" пространство V . Ïðè λ = 0 оператор λE является нулевым оператором. При

λ = 1 оператор λE является единичным оператором.

Пример 11.5. В R3 рассмотрим плоскость π 0 и прямую L 0, не лежащую в этой плоскости. Пусть

pr ;L : R3 → R3

36 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

- проекция пространства R3 на плоскость π параллельно прямой L. Тогда pr ;L является оператором. Например, если плоскость π есть плоскость xy, а прямая L åñòü îñü z, òî

prxy;z y = y .

z0

размера n × n определяет отображение (которое мы обозначим той же буквой)

Нетрудно проверить, что отображение (11.1) является оператором. Также несложно про- верить, что каждый оператор в Rn имеет вид (11.1). Таким образом, каждому оператору

â Rn соответствует некоторая матрица. Итак,

операторы в Rn = матрицы размера n × n.

Например, оператору поворота Φ соответствует матрица

Для всякого оператора φ : V → V определены

• ÿäðî

Ker(φ) := {a V | φ(a) = 0};

• образ

Im(φ) := {φ(a) V | a V }.

Примеры 11.8. (1)

Лемма 11.9. Ядро и образ оператора являются подпространствами в V .

Рассмотрим оператор φ : V → V . Пусть e1, . . . , en базис пространства V . Разложим образ φ(ei) по базису e1, . . . , en:

(коэффициенты разложения вектора φ(ei) образуют i-ый столбец матрицы Φ). Матрица Φ называется матрицей оператора φ в базисе e1, . . . , en. Подчеркнем, что матрица оператора зависит от базиса, с помощью которого она определяется.

Пример 11.10. Матрицей нулевого оператора в любом базисе является нулевая матрица.

Пример 11.11. Матрицей оператора гомотетии λE в любом базисе является диагональная

Пример 11.13. В примере 11.7 мы идентифицировали операторы в Rn и матрицы раз- ìåðà n × n. При этой идентификации матрица A, соответствующая оператору, является матрицей этого оператора в стандартном базисе пространства Rn.

Пусть φ, ψ : V → V - операторы. Тогда определены следующие операторы.

• φ + ψ сумма операторов определяется формулой

(φ + ψ)(a) = φ(a) + ψ(a).

• φ ◦ ψ композиция операторов определяется формулой

(φ ◦ ψ)(a) = φ(ψ(a)).

• λφ произведение оператора на число определяется формулой

(λφ)(a) = λφ(a).

Пример 11.14. Для любого оператора φ выполнено

φ + 0 = φ.

(сумма оператора с нулевым оператором совпадает с самим оператором).

Пример 11.15. Для любого оператора φ выполнено

φ ◦ E = E ◦ φ = φ.

(композиция оператора с единичным оператором совпадает с самим оператором).

Пример 11.17. Рассмотрим проекцию pr ;L пространства R3 на плоскость π 0 параллельно прямой L 0. Тогда

pr ;L ◦ pr ;L = pr ;L.

Пример 11.18. Рассмотрим операторы поворота пространства R2. Тогда

Φ ◦ Φ = Φ + .

Теорема 11.19. Пусть φ, ψ : V → V - операторы. Рассмотрим матрицы Φ, Ψ этих операторов в некотором базисе e1, . . . , en пространства V . Тогда

•Матрицей оператора φ + ψ является Φ + Ψ.

•Матрицей оператора φ ◦ ψ является ΦΨ.

•Матрицей оператора λφ является λΦ.

12. Собственные векторы и собственные значения операторов

Пусть φ : V → V оператор. Собственным вектором оператора φ называют вектор 0 ≠ a V такой, что

φ(a) = λa,

ãäå λ - число, которое называют собственным значением оператора φ, соответствующим собственному вектору a.

Пример 12.1. Рассмотрим нулевой оператор. Тогда любой ненулевой вектор является его собственным вектором с собственным значением равным 0.

Пример 12.2. Рассмотрим единичный оператор. Тогда любой ненулевой вектор является его собственным вектором с собственным значением равным 1.

Пример 12.3 (Обобщение предыдущих примеров) . Рассмотрим оператор гомотетии λE.

Тогда любой ненулевой вектор является его собственным вектором с собственным значе- нием равным λ.

Пример 12.4. Рассмотрим проекцию pr ;L пространства R3 на плоскость π 0 параллельно прямой L 0. Тогда любой вектор 0 ≠ a L является его собственным вектором с собственным значением равным 0. Также любой вектор 0 ≠ a π является его собственным вектором с собственным значением равным 1.

Пример 12.5. Рассмотрим оператор поворота Φ пространства R2. Тогда у этого оператора нет собственных векторов.

Алгоритм для нахождения собственных векторов и собственных значений операторов в Rn.

Пусть матрица

• Вычисляем характеристический многочлен χA(λ) матрицы A по формуле

ßñíî, ÷òî χA(λ) является многочленом степени n.

•Находим корни λ1, . . . , λm характеристического многочлена χA(λ). Эти корни как раз

èбудут собственными значениями матрицы A.

•Для каждого собственного значения λi находим соответствующие собственные векторы. А именно: собственные векторы, соответствующие собственному значению λi, íà- ходим решая уравнение

Лемма 12.6. Пусть φ : V → V - оператор, a1, . . . , am - собственные векторы операто- ðà φ, соответствующие собственным значениям λ1, . . . , λm соответственно. Предпо- ложим, что среди собственных значений λ1, . . . , λm нет совпадающих. Тогда векторы a1, . . . , am линейно независимы.

Доказательство. Доказываем индукцией по m. Ïðè m = 1 лемма очевидна.

Пусть m > 1 è

- соотношение линейной зависимости. Мы должны доказать, что все коэффициенты равны нулю. Применив оператор φ к правой и левой частям равенства (12.1) получим

φ(c1a1 + . . . + cm−1am−1 + cmam) = c1φ(a1) + . . . + cm−1φ(am−1) + cmφ(am) =

Отсюда и из (12.1) следует, что cmam = 0 и, следовательно, cm = 0. Таким образом,