linalgebra

- места, на которых находятся угловые элементы матрицы. Обозначим через a1, . . . , am первые m строк матрицы.

Допустим, что существует нетривиальное соотношение линейной зависимости

λ1a1 + . . . + λnan = 0.

Пусть λj - первый по порядку не равный нулю коэффициент. Как нетрудно заметить,

kj-я координата вектора λ1a1 + . . . + λnan равна λj и, следовательно, λj = 0. Полученное противоречие доказывает, что строки a1, . . . , am линейно независимы.

Лемма 6.12. Пусть B Matk×m è A Matm×n. Тогда линейная оболочка строк матрицы BA содержится в линейной оболочке строк матрицы A и, следовательно,

Лемма 6.13. При элементарных преобразованиях матрицы линейная оболочка ее строк не меняется и, следовательно, ее ранг не меняется.

Доказательство. Пусть над матрицей A произведено элементарное преобразование. По

лемме 6.10, это элементарное преобразование соответствует умножению слева на некоторую элементарную матрицу B. Обратное преобразование тоже будет элементарным и

оно соответствует умножению слева на некоторую элементарную матрицу B′. Нетрудно

24 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

7. Обратная матрица

Пусть A Matn×n. Матрицу A называют невырожденной, если ее ранг равен n. Матрицу B Matn×n называют обратной к матрице A, åñëè

Алгоритм для нахождения обратных к невырожденным матрицам. Пусть

A Matn×n - невырожденная матрица. Сначала выписываем матрицу

Затем элементарными преобразованиями приводим эту матрицу к главному ступенчатому виду. Из невырожденности матрицы A следует, что при этом получится матрица

()

26 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Для разложения определителя |A| по строке выбираем любую, скажем i-ю строку и

Для разложения определителя |A| по столбцу выбираем любой, скажем i-й столбец и тогда

По сути эти формулы индуктивны: они сводят вычисление определителя матрицы размера n × n к вычислению определителей матриц размера (n − 1) × (n − 1).

Пример 8.2.

2((−2)(−28) + (−1)16) = 80.

Определители матриц специального вида.

Определитель матрицы имеющей нулевую строку или нулевой столбец равен нулю. Определитель матрицы имеющей степенчатый вид равен произведению диагональных элементов.

Пример 8.3.

Для нахождения определителя матрицы производим над ней элементарные преобразования по строкам и столбцам. При этом учитываем следующие правила изменения определителя матрицы при этих преобразованиях.

•При умножении строки (столбца) матрицы на λ определитель умножается на λ.

•При перестановке местами строк (столбцов) матрицы определитель меняет знак.

•При прибавлении к строке (столбцу) матрицы другой строки (столбца), умноженной на λ, определитель не меняется.

Цель таких преобразований - упростить матрицу так, чтобы можно было найти ее определитель. Например, если привести матрицу к ступенчатому виду, то ее определитель будет равен произведению диагональных элементов.

Получили определитель матрицы имеющей ступенчатый вид. Этот определитель равен произведению диагональных элементов, то есть равен 2(−1)3 = −6.

Теорема 8.5. Определитель матрицы не равен нулю тогда и только тогда, когда она невырождена.

Теорема 8.6. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей:

|AB| = |A||B|.

Теорема 8.7. Пусть A - квадратная матрица для которой существует обратная A−1.

Тогда

|A−1| = |A|−1.

Теорема 8.8. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы:

ãäå Mij - определитель матрицы, полученной из матрицы A вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

28 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

II. Критерий единственности решения системы линейных уравнений.

Теорема 8.9. Система из n линейных уравнений от n переменных имеет единственное

решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы не равен нулю.

III. Формулы Крамера.

Рассмотрим систему линейных уравнений

Это означает, что система (8.1) имеет единственное решение. В этом случае имеются явные формулы для нахождения этого единственного решения. А именно:

Пример 8.10. Рассмотрим систему линейных уравнений

{

2x1 + 7x2 = 1 x1 + 5x2 = 7

Множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных:

R C.

Комплексное число вида a = a + 0i называется вещественным, а число вида bi = 0 + bi называется мнимым. Сопряженным комплексному числу z = a + bi называют a − bi и обозначают через z.

Пример 9.4. Числа

0, 1, −3, π

- вещественные;

i, −i, 10i, πi

- мнимые;

1 + i, 3 − i, 1 + 0.000001i, e + πi

не являются ни вещественными, ни мнимыми.

Лемма 9.5.

(z) = z;

z ± w = z ± w;

z · w = z · w;

( z ) = z . w w

Лемма 9.6. Пусть z - комплексное число. Тогда

(1)z = z z - вещественное;

(2)z = −z z - мнимое;

(3)zz является вещественным неотрицательным числом, причем zz = 0 тогда и только тогда, когда z = 0.

Пусть z = a + bi - комплексное число. Определим модуль числа z êàê

Äëÿ z ≠ 0 определим главный аргумент arg(z) [0, 2π) числа z как как угол на который повернется вектор (0, z), если его вращать по часовой стрелке пока он не совпадет по направлению с вектором (0, 1):

Äëÿ z ≠ 0 определим аргумент Arg(z) комплексного числа z как множество углов вида

Arg(z) = arg(z) + 2πk, k Z.