lineynaya_algebra

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Учебно-методическое пособие для студентов первого курса бакалавриата, обучающихся по

заочной форме по направлениям 38.03.01 «Экономика»,

38.03.02«Менеджмент», 38.03.03 «Управление персоналом»

и38.03.05 «Бизнес-информатика»

Под редакцией профессора Н.Ш. Кремера

Факультет «Прикладная математика и информационные технологии» Кафедры «Математика-1», «Математика-2»

Москва – 2014

ББК 22.3

Введение, методические указания и рекомендации по изучению дисциплины подготовил профессор Н.Ш. Кремер

Варианты контрольных работ подготовили:

lоц. Борисова Л.Р., доц. Путко Б.А., ст. преп. Федорова Н.И., доц. Шевелев А.Ю.

Учебно-методическое пособие обсуждено на заседаниях кафедр «Математика-1». «Математика-2»

Зав. кафедрой «Математика-1» профессор В.Б.Гисин Зав. кафедрой «Математика-2» доцент В.Г.Феклин

Линейная алгебра. Учебно-методическое пособие для студентов первого курса бакалавриата, обучающихся заочной форме по направлениям 38.03.01 «Экономика», 38.03.02 «Менеджмент», 38.03.03 «Управление персоналом» и 38.03.05 «Бизнес-информатика» / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера ‒ М.: Финуниверситет, 2014.

Вучебно-методическом пособии приведен обзор основных понятий

иположений дисциплины «Линейная алгебра», даны методические рекомендации по их изучению, выделены типовые задачи с решениями, представлены контрольные вопросы для самопроверки и задачи для самоподготовки по данным дисциплинам, приведены варианты контрольных работ (с примерами их решений) для студентов первого курса бакалавриата направлений «Экономика», «Менеджмент», «Управление персоналом» и «Бизнес-информатика», а также методические указания по их выполнению.

ББК 22.3

2

ПРЕДИСЛОВИЕ

В соответствии с федеральными государственными стандартами (ФГОС-3) студенты первого курса бакалавриата направлений «Экономика», «Управление персоналом», «Менеджмент» и «Бизнесинформатика» изучают дисциплину математического цикла «Линейная алгебра».

Цель изучения дисциплины состоит в освоении математического аппарата линейной алгебры, позволяющего анализировать, моделировать и решать прикладные (экономические) задачи, при необходимости с применением ПЭВМ.

Из требований к результатам освоения и условиям реализации основной образовательной программы и компетенций, установленных ФГОС-3 по указанным направлениям вытекают следующие задачи изучения дисциплины «Линейная алгебра»: выработка навыков моделирования реальных (экономических) объектов и процессов с использованием математического аппарата линейной алгебры, освоение приемов исследования и решения математически формализованных задач; развитие логического и алгоритмического мышления студентов; повышение уровня их математической культуры; развитие навыков самостоятельной работы по изучению учебной и научной литературы.

В соответствии с ФГОС-3 по направлениям «Экономика», «Менеджмент», «Управление персоналом» «Бизнес-информатика», квалификация (степень) бакалавр, в процессе изучения дисциплины «Линейная алгебра» предполагается формирование ряда общекультурных компетенций (ОК):

–владеть культурой мышления, способностью к обобщению,

анализу, восприятию информации, постановки цели и выбору путей ее достижения1 (ОК-1);

–способность логически верно, аргументированно и ясно строить устную и письменную речь (ОК-6) и др.

В соответствии с ФГОС-3 по направлению «Экономика» процесс изучения дисциплины «Математический анализ» направлен на формирование следующих профессиональных компетенций (ПК):

вобласти расчетно-экономической деятельности –

способность собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для расчета экономических и социально-экономических показателей, характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов

(ПК-1);

1 В ФГОС-3 по направлениям «Управление персоналом» и «Бизнес-информатика» эта компетенция имеет код «ОК-5».

3

способность выполнять необходимые для составления экономических разделов планов расчеты, обосновывать их и представлять результаты работы в соответствии с принятыми в организации стандартами (ПК-3);

в области аналитической, научно-исследовательской деятельности –

способность осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для решения поставленных экономических задач (ПК-4);

способность выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы

(ПК-5);

способность на основе описания экономических процессов и явлений строить стандартные теоретические и эконометрические модели, анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты

(ПК-6);

способность использовать для решения аналитических и исследовательских задач современные технические средства и информационные технологии (ПК-10);

в области организационно-управленческой деятельности –

способность использовать для решения коммуникативных задач современные технические средства и информационные технологии (ПК12);

в области педагогической деятельности –

способность преподавать экономические дисциплины в образовательных учреждениях различного уровня, используя существующие программы и учебно-методические материалы (ПК-14);

способность принять участие в совершенствовании и разработке учебно-методического обеспечения экономических дисциплин (ПК-15).

В соответствии с ФГОС-3 по направлениям «Менеджмент» и «Управление персоналом» процесс изучения дисциплины «Линейная алгебра» направлен на формирование не отмеченной выше общекультурной компетенции –

владение методами количественного анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-16 (ОК-15))

и профессиональной компетенции

в области информационно-аналитической деятельности –

умение применять количественные и качественные методы анализа при принятии управленческих решений … (ПК-31);

методами оценки и прогнозирования профессиональных рисков (ПК-

45).

В соответствии с ФГОС-3 по направлению «Бизнес-информатика» процесс изучения дисциплины «Линейная алгебра» направлен на формирование следующих профессиональных компетенций (ПК) –

4

вобласти научно-исследовательской деятельности

–использование основных методов естественно-научных дисциплин для теоретического и экспериментального исследования (ПК-19);

–использование соответствующих математического аппарата и инструментальных средств для обработки, анализа и систематизации информации по теме исследования (ПК-20);

–подготовка научно-технических отчетов, презентаций, научных публикаций по результатам выполненных исследований (ПК-21).

В результате изучения дисциплины студент должен:

а) знать основные понятия матричного анализа, векторной алгебры и аналитической геометрии, используемые в экономических исследованиях

ипри изучении других дисциплин естественнонаучного и профессионального циклов;

б) уметь применять методы линейной алгебры и строить математические модели прикладных (экономических) задач;

в) владеть навыками решения задач линейной алгебры.

Знания, полученные студентами в процессе изучения дисциплины

«Линейная алгебра», необходимы для изучения дисциплин математического и естественнонаучного цикла («Математический анализ», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Методы оптимальных решений», «Исследование операций», «Эконометрика»), а также ряда дисциплин профессионального цикла.

Для освоения данной дисциплины в вузе читаются лекции и проводятся практические занятия. В то же время основной формой обучения в условиях заочного вуза является самостоятельная работа с учебником и учебными пособиями (с. 45). Дополнительно для самостоятельного изучения дисциплины «Линейная алгебра» рекомендуются интернет-ресурсы: компьютерная обучающая программа (КОПР), обзорная лекция, электронная учебно-методическая литература и др., размещенные на сайте университета.

По дисциплине «Линейная алгебра» студенты бакалавриата всех направлений должны выполнить две контрольные работы № 1 и № 2 (задания к которым приводятся в данном пособии). Контрольная работа №1 (в соответствии с учебным графиком) может быть существенно дополнена за счет частичного использования (КОПР). По каждой контрольной работе проводится собеседование. В процессе изучения

работ и собеседований по ним, компьютерное тестирование, посещение занятий) и результаты экзамена.

5

. Содержание дисциплины и

методические рекомендации по ее изучению

Ниже по каждой теме приводится учебно-программный материал, который должен изучить студент со ссылками на рекомендованные (в качестве основной литературы) учебники и учебные пособия.

Контрольные вопросы по каждой теме представлены ниже в разделе «Вопросы для самопроверки».

Рекомендуемые по каждой теме задачи с решениями и для самостоятельной работы приводятся ниже в разделе «Задачи для самоподготовки».

Вопросы организации компьютерного тестирования, основные типы и примеры тестовых заданий по данной дисциплине рассматриваются в брошюре «Математический анализ и линейная алгебра. Методические указания по компьютерному тестированию» ([Электронные ресурсы, 3]).

Вопросы выполнения контрольных работ с частичным использованием КОПР рассматриваются в брошюре «Математика. Методические указания по проведению и выполнению контрольных работ с использованием КОПР» ([Электронные ресурсы, 4]).

Тема 1. Матрицы и определители

Понятие матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Действия с матрицами. Транспонирование матриц. Квадратные матрицы. Определители квадратных матриц 2-го, 3-го и n-го порядков. Алгебраическое дополнение. Свойства определителей. Теорема Лапласа. Обратная матрица и алгоритм ее вычисления. Понятия минора n-го порядка матрицы. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы. Теорема о ранге матрицы максимальном числе ее линейно-независимых строй

(столбцов)1 ([1или 5, § 1.1–1.6]; [2 или 6, § 1.1 – 1.4], или [3, § 1.1 – 1.11], или [4, § 1.1 – 1.11] ).

Надо хорошо уяснить, что матрица – прямоугольная таблица, составленная из тп чисел, расположенных в т строках и п столбцах. Необходимо знать, как устанавливаются размеры матрицы и ее порядок, уметь выполнять транспонирование матриц, алгебраические операции над ними (умножение матрицы на число, сложение, вычитание, умножение матриц).

1 Здесь и далее в тексте все указанные в скобках номера формул, страниц и задач относятся к учебникам и учебным пособиям [1] или [5] , [2] или [6], или [3], или [4], приведенным в разделе «Литература» (с. 45) и рассматриваемым в качестве основной литературы.

6

Относительные трудности возникают при усвоении операции умножения матриц. Необходимо твердо усвоить формальное правило умножения и связанное с ним условие существования произведения АВ матриц А и В: число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. Одна из особенностей операции умножения матриц состоит в том, что произведение матриц в общем случае некоммутативно, т.е. АВ ≠ ВА. Если матрицы А и В не квадратные, то это свойство очевидно, так как либо одно из произведений, АВ или ВА, не существует, либо АВ и ВА – матрицы разных размеров. Даже если А и В — квадратные матрицы, в общем случае АВ ≠ ВА, в чем нетрудно убедиться на любом частном примере. Другая особенность произведения матриц состоит в том, что произведение двух ненулевых матриц или квадрат ненулевой матрицы может оказаться нулевой матрицей.

Например, можно легко показать, что произведение матриц

есть нулевая матрица (сравните: во множестве действительных чисел произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю).

Следует четко уяснить, что если матрица – это таблица чисел, то определитель квадратной матрицы – это число, характеризующее эту матрицу и вычисляемое по определенным правилам. Необходимо уметь по этим правилам вычислять определители второго и третьего порядков.

При изучении свойств определителей особое внимание следует обратить на свойства 2, 4–6, 8 и особенно на теорему Лапласа ([1, или 5, или 3, § 1.3]). Необходимо уметь пользоваться этими свойствами при вычислении определителей четвертого и более высоких порядков.

Нужно знать определение присоединенной и обратной матриц, уметь их вычислять. Следует знать, что для существования матрицы А–1, обратной матрице А, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной (неособенной). Проверить правильность вычисления обратной матрицы можно, составив произведение АА–1 или А–1А. Если оно является единичной матрицей Е, то в соответствии с определением матрица А–1 вычислена правильно.

7

Ранг матрицы вводится в курсе как наивысший порядок отличных от

нулю, а среди миноров 1-го порядка 4 , 0 , 2 и т.д. есть отличные от нуля.

При этом надо учитывать, что введенный ранее и используемый в теореме Лапласа минор элемента квадратной матрицы n-го порядка есть минор (n–1)-го порядка данной матрицы.

В общем случае для определения ранга матрицы рекомендуется использовать метод элементарных преобразований, состоящий в том, что с помощью элементарных преобразований данную матрицу А приводят к ступенчатому виду, и число ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы есть искомый ранг матрицы А (см. [1, или 5, или 3, пример 1.13] ).

Важное значение имеет теорема о ранге матрицы, из которой следует, что ранг матрицы есть максимальное число ее линейно независимых строк (или столбцов), через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

Тема 2. Системы линейных уравнений

Система m линейных уравнений с n переменными (общий вид). Матрица системы. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Совместные (определенные и неопределенные) и несовместные системы. Теорема Крамера о разрешимости системы n линейных уравнений с n переменными. Решение такой системы: а) по формулам Крамера; б) методом обратной матрицы; в) методом Гаусса. Понятие о методе Жордана-Гаусса. Теорема КронекераКапелли. Условие определенности и неопределенности любой совместной системы линейных уравнений. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные. Базисное решение. Система линейных однородных уравнений и ее решения. Понятие о модели Леонтьева. ([1или 5, § 2.1 – 2.7]; [2 или 6, § 2.1, 2.5], или [3, § 2.1 – 2.8], или [4, § 2.1 – 2.8]).

При изучении материала темы следует освоить матричную форму записи заданной системы n линейных уравнений с n переменными и уметь переходить к этой форме от общего вида системы и наоборот. Необходимо знать и уметь объяснить, какие системы уравнений называются

8

совместными (определенными и неопределенными) и несовместными. Надо твердо уяснить, что вопрос о разрешимости системы n линейных уравнений с n переменными устанавливается с помощью теоремы Крамера ([1, или 5, или 3, § 2.2]). Решаются же такие системы различными способами: по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса. Наиболее важен для практики метод Гаусса, имеющий по сравнению с другими способами решения ряд достоинств: он менее трудоемок, позволяет однозначно установить, является ли данная система определенной, неопределенной или несовместной, а в случае совместности системы – определить число ее линейно независимых уравнений и исключить «лишние».

Метод Жордана–Гаусса [2 или 5, § 2.3, пример 2.49] или [3, § 2.8, пример 2.44] позволяет быстрее, чем классический, решать систему уравнений и потому востребован в прикладных математических курсах. При этом следует иметь в виду, что в реальных прикладных задачах системы уравнений с достаточно большим числом уравнений и переменных решаются с помощью пакетов прикладных программ,

например, Excel, MathCAD и др.

Практический интерес в приложениях представляет случай, когда число m уравнений системы меньше числа n переменных (m < n). Рассмотрение таких систем приводит к разбиению переменных на базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные и выделению из общего числа решений системы базисных решений, в которых все свободные (неосновные) переменные равны нулю.

Согласно теореме Кронекера – Капелли система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы А равен рангу расширенной матрицы АВ , т.е. r(A) = r(A B)= r . При этом, если

достаточно применить метод Гаусса. Если хотя бы одно из уравнений системы на «прямом ходе» метода Гаусса приводится к виду 0 = bi (bi ≠ 0), то система несовместная, если к виду 0=0, то система совместная и неопределенная. В последнем случае уравнения вида 0=0 исключаются из системы, а члены уравнения с n − r свободными переменными переносятся

9

в правые части уравнений. Далее, используя «обратный ход» метода

свободных, т.е. общее решение системы (см. [1 или 5, пример 2.4], [2 или

6, пример 2.36] или [3, примеры 2.4, 2.44]).

Следует иметь ввиду, что общее число решений совместной системы линейных уравнений (m < n) бесконечно, в то время как число ее базисных решений конечно и не превосходит числа сочетаний Cnm (а точнее Cnr , где r – ранг матрицы системы).

Особенностью рассматриваемых далее систем однородных уравнений является то, что они всегда совместны, так как имеют, по крайней мере, нулевое решение (0, 0, ..., 0). Ненулевое решение такие системы имеют только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа переменных, т.е. r(A) < n , или, что то же самое, когда определитель матрицы А равен нулю: A = 0 .

Следует отметить, что матричное уравнение AX = B , к которому сводится система линейных уравнений (А – матрица системы, Х – неизвестный столбец переменных, В – столбец свободных членов) может рассматриваться и в случае, когда Х – неизвестная матрица. Вообще матричные уравнения простейшего вида с неизвестной матрицей Х имеют вид AX = B (1), XA = B (2), AXC = B (3), где А, В, С, Х – матрицы таких размеров, что все используемые операции возможны, а левые и правые части этих матричных уравнений представляют матрицы одинаковых размеров.

Решения матричных уравнений (1) и (2) соответственно X = A−1 B и X = BA−1 (если А – квадратная матрица, A ≠ 0 ), а матричного уравнения (3)

X = A−1BС−1 (если А и С – квадратные матрицы и A ≠ 0 , С ≠ 0 ).

Тема 3. Векторные пространства

Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы). Линейные операции над векторами. Коллинеарные и компланарные векторы. Координаты и длина вектора. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол между векторами. n-мерный вектор. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость векторов. Векторное (линейное) пространство; его размерность и базис. Разложение вектора по базису. Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве. Евклидово

10