lineynaya_algebra
.pdfМетодические указания по выполнению контрольных работ
В соответствии с учебным планом по дисциплине «Линейная алгебра» каждый студент должен выполнить две контрольные работы (№1 и №2) в сроки, установленные учебным графиком, по приведенным в данном учебно-методическом пособии вариантам.
По каждой контрольной работе проводится собеседование. На собеседовании выясняется, насколько глубоко усвоен пройденный материал и соответствуют ли знания студента и его навыки в решении задач качеству представленной работы. Зачет по каждой контрольной работе студенты получают лишь после успешного(прохождения собеседования.
Номер варианта любой контрольной работы определяется по
последней цифре номера личного дела студента, который совпадает с номером его зачетной книжки и студенческого билета.
Сроки представления контрольных работ на проверку указаны в индивидуальном графике студента. Для студентов трехсесионных групп эти сроки сообщаются во время установочной сессии. Однако эти сроки являются крайними. Чтобы работа была своевременно проверена, а при необходимости доработана и сдана повторно, ее надлежит представить значительно раньше указанного срока. Студентам трехсессионных групп рекомендуется свои контрольные работы выполнять (хотя бы частично) во время сессии, на которой излагается учебный материал. Это даст возможность студенту использовать свое пребывание в институте для консультаций по всем возникшим при выполнении работы вопросам. После окончания сессии в течение двух недель работу необходимо окончательно завершить, а затем представить на проверку.
Если в ходе написания работы у студента появятся вопросы или затруднения в решении задач контрольного задания, он может обратиться в институт за устной или письменной консультацией (например, по электронной почте ).
При изучении учебного материала и подготовке к контрольным работам рекомендуется использовать учебники и учебные пособия, Интернет-ресурсы, приведенные ниже в разделе «Литература», а также данную брошюру.
После проверки контрольная работа студента получает оценку «Допускается к собеседованию» или «Не допускается собеседованию».
Каждая контрольная работа содержит набор заданий, при выполнении которых необходимо соблюдать следующие правила.
1.Работа должна быть выполнена в школьной тетради, имеющей широкие (не менее 3 см) поля для замечаний рецензента.
21
2.На обложке тетради следует указать фамилию, имя, отчество (полностью), факультет, направление подготовки, курс, номер личного дела (студенческого билета), вариант контрольной (расчетноаналитической) работы, а также фамилию преподавателя, к которому направляется данная работа на проверку.
3.Перед решением каждой задачи нужно привести (распечатать) полностью ее условие.
4.Следует придерживаться той последовательности при решении задач, в какой они даны в задании, строго сохраняя при этом нумерацию примеров (задач).
5.Не допускается замена задач контрольной работы другими заданиями.
6.Решения задач должны сопровождаться развернутыми пояснениями, нужно привести в общем виде используемые формулы с объяснением употребляемых обозначений, а окончательный ответ следует выделить.
7. Чертежи к задачам (там где это возможно) должны быть выполнены в прямоугольной системе координат в полном соответствии с данными условиями задач и теми результатами, которые получены.
8.В конце работы приводится список использованной литературы (указывают автора, название, издательство, год издания), ставится дата окончания работы и подпись.
9.Если вычисления, выполняемые при решении задач, приближенные, то следует придерживаться правил приближенных вычислений, которые приведены в [3, §5.7].
Если работа получила в целом положительную оценку («Допускается к собеседованию»), но в ней есть отдельные недочеты (указанные в тетради), то нужно сделать соответствующие исправления и дополнения в той же тетради (после имеющихся решений и записи «Работа над ошибками») и предъявить доработку на собеседовании.
Если работа «Не допускается собеседованию», ее необходимо в соответствии с требованиями преподавателя частично или полностью переделать. Повторную работу надо выполнить в той же тетради (если есть место) или в новой с надписью на обложке «Повторная», указав фамилию преподавателя, которым работа была ранее не зачтена. Вместе с незачтенной работой повторную работу направить снова на проверку.
Контрольная работа не проверяется, если ее вариант не совпадает с последней цифрой номера личного дела студента или она выполнена повариантам прошлых лет.
Если контрольная работа № 1 проводится с частичным использованием КОПР, то необходимо дополнительно представить протокол ответа студента о работе с КОПР. Контрольные работы предъявляются на экзамене и не подлежат возвращению после успешной сдачи экзамена.
22
ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
ВАРИАНТ 1
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 1)
Контрольная работа № 1
1. Даны матрицы
и Найти ранг матрицы
2.По формулам Крамера решить систему:
3.Решить систему линейных уравнений:
Найти какое-нибудь базисное решение. |
|
|
|
|||
4. |
Найти длину вектора ar + b , если a = (–1; 4; –2); b = (2; 3; –1). |
|||||
5. |
Даны четыре вектора |
|
|
|
|
|
|
ar =(2;4; – 6); |
ar =(1;3;5); a |
=(0; – 3;7); a |
=(3;2;52) |
||
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
в некотором базисе. Показать, что векторы |
a1 , a2 , a3 образуют базис, и |
|||||
найти координаты вектора |
ar4 |
в этом базисе. |
|
|||
6. |
Найти собственные значения и собственные векторы линейного |
|||||
оператора А% , заданного матрицей А= 2 |
2 |
. |
|
|||
7. |
|
|
2 |
5 |
|
|
а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму |
||||||
f(x1, x2)=2x12+5x22+4x1x2
к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат);
б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность
квадратичную форму
f(x1, x2, x3)=2x12– 3x32– 4x1x2+4x1x3–8x2x3.
Контрольная работа №2
23
1. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 5x + 2 y − 7 = 0 , 5x + 2y − 15 = 0 и уравнение его диагонали x + 2y + 1 = 0 . Составить уравнения остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника. Сделать чертеж.
2. Убедившись, что точка M (− 5; 2,25)лежит на гиперболе |
x2 |
− |
y 2 |
= 1, |
16 |
|
|||
|
9 |
|
||
определить длины отрезков MF1 и MF2, где F1 и F2 ‒ фокусы эллипса. |
|
|||
3. Центр окружности лежит на прямой x + y = 0 . Составить уравнение этой окружности, если она проходит через точки пересечения двух
окружностей (x − 1)2 + ( y + 5)2 = 50 , (x + 1)2 |
+ ( y + 1)2 = 10 . |
|
4. |
Найти расстояние от плоскости |
2x + 2 y − z = 15 до начала координат |
5. |
Найти угол между плоскостью |
y + 3z = 3 и линией пересечения |
плоскостей x − 2 = 0 иy = 4 .
ВАРИАНТ 2
24
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 2)
Контрольная работа № 1
1. Даны матрицы
и
Найти ранг матрицы 
2.Методом обратной матрицы решить систему:
3.Определить, имеет ли однородная система
ненулевое решение. Найти общее решение системы.
4. Найти длину вектора cr = 4ar + 3b , если длина вектора arравна 3, длина вектора b равна 4, угол между векторами a и b равен 1200.
5. Даны четыре вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
ar =(4;3;–1); |
ar =(5;0;4); a |
3 |
=(2;1;2); a |
4 |
=(0;12;– 6) |
|||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||
в некотором базисе. Показать, что векторы |
a1 , a2 , a3 образуют базис, и |
|||||||
найти координаты вектора |
ar4 |
в этом базисе. |
|
|
|
|||
6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного |
||||||||
оператора А% , заданного матрицей А= −17 |
6 |
. |
|
|
||||
|
|
6 |
−22 |
|
|
|
||
7. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму
f(x1, x2)= ) f(x1, x2)=3x12+ x22-x1x2 ) f(x1, x2)=x12+5x22+4x1x2
к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).
б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность
квадратичную форму
f(x1, x2, x3)=x12+ 3x22+ 4x32 +2x1x2+2x1x3 +6x2x3..
Контрольная работа №2
25
1. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину прямого угла треугольника C(4; 3) и центр описанной окружности, если координаты остальных вершин треугольника A(− 1; 9) и B(7; 5). Сделать чертеж.
2. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами равно 10.
3. Определить вид и расположение кривой второго порядка x2 + 4x − 2 y + 10 = 0 , приведя ее уравнение к каноническому виду. Составить уравнения прямой, проходящей через фокус этой кривой и точку с ординатой, равной 5.
4. Найти расстояние от плоскости |
2x − y − 2z = 6 до начала координат. |
|
5. Найти угол |
между плоскостью |
y + 3z = 1 и линией пересечения |
плоскостей x = 3 и |
y = 6 . |
|
ВАРИАНТ 3
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 3)
26
Контрольная работа № 1
1. Дана матрица
Найти ранг матрицы
2.Методом обратной матрицы решить систему:
3.Определить, имеет ли однородная система
ненулевое решение. Найти общее решение системы. |
|
|||||||||||
4. |
Вычислить: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
r |
2 |
+ |
r |
2 |
r r r r |
, если a = (–2; 0; 3); b = (2; –2; 0); c = (2; –2; 3). |
|||||
|
a |
|
c |
|
− (a,b)(b,c) |
|||||||
5. |
Даны четыре вектора |
ar |
=(5;7;9); ar |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
ar |
=(1;3;5); ar =(0;2;0); |
=(0;4;16) |
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
ar , ar , |
4 |
|
|
в некотором базисе. Показать, что векторы |
ar |
образуют базис, и |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
найти координаты вектора ar4 в этом базисе. |
|
|
|
|||||||||
6. |
Найти собственные значения и собственные векторы линейного |
|||||||||||
оператора А% , заданного матрицей А= 21 |
|
−12 |
. |
|
|
|||||||
7. |
|
|
|
|
−12 |
31 |
|
|
|
|||
а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f(x1, x2)=4x12+ x22–4x1x2 |
|
|
|||
к каноническому виду |
(указать пример соответствующего преобразования |
|||||||||||
координат). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность |
|||||||||
квадратичную форму
f(x1, x2, x3)= x12+ 2x22+ 7x32 +2x1x2+2x1x3 +4x2x3.
Контрольная работа №2
1. Точки A(3; − 2), B(− 2; 1) и C(4; 0) являются вершинами треугольника ABC. Составить уравнение высоты треугольника, опущенной из точки А на
27
сторону ВС. Определить координаты точки Н – основания высоты АН треугольника АВС. Сделать чертеж.
2. Составить уравнение окружности, проходящей через точки A(1; 1),
B(1; − 1) и C(2; 0).
3. Убедившись, что точка M (10;− 5)лежит на гиперболе |
x2 |
− |
y 2 |
= 1, |
80 |
|
|||
|
20 |
|
||
составить уравнения прямых, проходящих через эту точку и фокусы гиперболы.
|
|
4. |
Определить, находятся ли точки A(2,5,1) , B(−1, −2, 0) , C(1, 2,1) |
и |
||||||
|
D(2, −7, 7) |
на одной плоскости. Если это так, написать уравнение этой |
||||||||
плоскости. |
|
y |
|
|
||||||
|
|
5. |
Найти расстояние от точки пересечения прямых x − 1 = |
= z |
и |
|||||
|
|
2 |
||||||||
|
x − 2 |
|
y − 2 |
|
z − 1 |
|
|
|
|
|
|
= |
= |
|
до плоскости 2x + 2 y + z = 0 . |
|
|
|
|||
4 |
3 |
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
ВАРИАНТ 4
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 4)
Контрольная работа № 1
28
1. Решить матричное уравнение
где
и
2.По формулам Крамера решить систему:
3.Решить систему линейных уравнений:
Найти какое-нибудь базисное решение.
4. Найти вектор cr , коллинеарный вектору a =(–1; –1; 5) и такой, что
(br,cr) = 2 , где br= (3; –2; –-2).
5.Даны четыре вектора
a1 =(2;3;7); a2 =(3;–2;4); a3 =(–1;1;–1); a4 =(1;1;3)
в некотором базисе. Показать, что векторы a1 , |
a2 , a3 образуют базис, и |
|
найти координаты вектора ar в этом базисе. |
|
|
4 |
|
|
6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного |
||
оператора А% , заданного матрицей А= 25 |
15 |
. |
15 |
−15 |
|
7. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму
f(x1, x2)=3x12–x22+4x1x2
к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).
б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность
квадратичную форму
f(x1, x2, x3)=2x12+x22+4x32 +2x1x2–4x1x3 –2x2x3.
Контрольная работа №2
29
1. Составить уравнение прямых, на которых лежат диагонали параллелограмма, если две его стороны лежат на прямых 2x − y + 3 = 0 и x + 3y − 2 = 0 , а одна из вершин параллелограмма имеет координаты (3; − 1). Сделать чертеж.
2. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси абсцисс, вершина которой находится в начале координат, проходящей через точку A(9; 6).
3. Убедившись, что точка |
|
|
5 |
|
лежит на эллипсе |
x2 |
|
y 2 |
= 1, |
|
M 2; |
− |
|
|
|
+ |
|
||||
3 |
9 |
5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
составить уравнения прямых, проходящих через эту точку и фокусы эллипса.
4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M (2, −1, 4)
и линию пересечения плоскостей |
2x + y − 4z = 2 и z = 1. |
|
||||
5. Верно |
ли, |
что |
прямая |
4x = 4 y = z |
параллельна |
плоскости |
2x + 2 y − z = 9 ? |
Если |
да, |
то найти расстояние |
между этими |
прямой и |
|
плоскостью. |
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 5
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 5)
30