lineynaya_algebra
.pdf
Контрольная работа № 1
1. Дана матрица
Найти ранг матрицы
2. По формулам Крамера решить систему:
3. Определить, имеет ли однородная система
ненулевое решение. Найти общее решение системы.
|
4. Вычислить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
r |
2 |
+ |
r |
2 |
r r r r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
c |
|
− (a,b)(a, c) , если a = (–2;1; –4); b = (1; –2; 0); c = (0; –1; 3). |
|||||||||
5. |
Даны четыре вектора |
=(– 5;5;0); ar =(8; – 16;17) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ar =(3;4; – 3); |
ar |
=(2;1; – 4); ar |
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
ar |
, ar |
, ar |
4 |
|
в некотором базисе. Показать, что векторы |
образуют базис, и |
|||||||||||||
найти координаты вектора |
ar |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
||||||
|
в этом базисе. |
|
|
|
|
|||||||||
6. |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||
Найти собственные значения и собственные векторы линейного |
||||||||||||||
|
|
|
оператора А% , заданного матрицей А= −30 |
−60 |
. |
|||||||||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
−60 |
5 |
|
|||
а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму |
||||||||||||||
f(x1, x2)=2x12+ x22–6x1x2
к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).
б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность
квадратичную форму
f(x1, x2, x3)=2x12– 5x22+8x32– 4x1x2+2x1x3+6x2x3.
31
Контрольная работа №2
1. Составить уравнения прямых, на которых лежат катеты прямоугольного равнобедренного треугольника, если вершина прямого угла находится в точке C(− 2; 5), а гипотенуза лежит на оси абсцисс. Сделать чертеж.
2. Составить уравнение окружности, проходящей через точку A(2; 6),
если ее центр совпадает с точкой C(− 1; 2). |
|
|
|
|||||||||
3. |
Определить |
вид и расположение |
кривой |
второго |
порядка |
|||||||
|
x2 − 2y2 − 2x − 8y − 16 = 0 , приведя |
ее уравнение к каноническому виду. |
||||||||||
Составить уравнение прямой, проходящей |
через ее центр параллельно |
|||||||||||
прямой 3x − y + 5 = 0 . Сделать чертеж. |
|
|
|
|||||||||
4. |
Определить, |
находятся |
ли точки |
A(1,1,1) , |
B(−4, 2,8) , |
C(−2, 0,5) , |
||||||
|
D(0, −2, 2) |
на одной |
плоскости. |
Если это так, написать уравнение этой |
||||||||
плоскости. |
|
|
|
|
|
|
||||||
5. |
Найти расстояние от точки пересечения прямых x = −2 y = − z |
и |
||||||||||
|
x − 2 |
= |
y + 1 |
= |
z + 2 |
до плоскости |
2x − y − 2z = 0 . |
|
|
|
||
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
32
ВАРИАНТ 6
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 6)
Контрольная работа № 1
1. Даны матрицы |
|
и |
. |
Установить, имеет ли матрица |
обратную. |
2. Методом обратной матрицы решить систему:
3. Решить систему линейных уравнений:
Найти какое-нибудь базисное решение. |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. Найти |
|
r |
r |
|
, если |
|
r |
|
= 5, |
|
|
|
= 4 , |
векторы a и |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
a |
+ 3b |
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|||||||||
b перпендикулярны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. Даны четыре вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ar =(– 2;1;7); |
|
ar |
=(3; – 3;8); |
ar |
=(5;4;1); |
ar |
=(18;25;1) |
||||||||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
ar , |
4 |
, ar образуют базис, и |
||||
в некотором базисе. Показать, что векторы |
ar |
||||||||||||||||||
найти координаты вектора |
ar4 в этом базисе. |
1 |
2 |
|
3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
6. Найти собственные значения и собственные векторы |
|||||||||||||||||||
линейного оператора А% , заданного матрицей А= 13 |
4 |
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
7 |
|
|
7. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму
f(x1, x2)=4x12+ x22–4x1x2
33
к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).
б)По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность
квадратичную форму
f(x1, x2, x3)= 2x12+x22+3x32 +2x1x2–2x1x3 –2x2x3..
Контрольная работа №2
1. Вычислить радиус окружности, вписанной в треугольник, у которого две биссектрисы лежат на прямых x + y − 3 = 0 и 2x − y = 0 , а одна из его сторон на прямой x − 4y − 1 = 0 . Сделать чертеж.
2. Составить уравнение гиперболы, если расстояние между ее вершинами равно 24, а координаты ее фокусов F1 (− 10; 2), F2 (16; 2).
3. Определить вид и расположение кривой второго порядка y 2 − 4x − 2y + 5 = 0 , приведя ее уравнение к каноническому виду. Составить уравнения прямой, проходящей через фокус этой кривой и точку с абсциссой, равной 0.
4. Найти угол между плоскостями |
x + y + 2z = 7 и x + y = 2 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. Лежат ли прямые |
x − 1 |
= |
y − 2 |
= |
z |
, |
x − 1 |
= |
y − 2 |
= |
z |
и |
x − 1 |
= |
y − 2 |
= |
z |
|||
3 |
|
2 |
|
2 |
|
4 |
|
7 |
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|||||||||
в одной плоскости? Если да, то написать уравнение этой плоскости.
34
ВАРИАНТ 7
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 7)
Контрольная работа № 1
1. Даны матрицы
и . Найти ранг матрицы 
2. Методом обратной матрицы решить систему:
3. Установить, имеет ли однородная система
ненулевое решение. Найти общее решение системы. |
|
||||||||
r |
r |
4. Найти |
значение |
параметра |
α, при котором векторы |
a и |
|||
a |
+ α b |
перпендикулярны, если a = (6; –3; 5) и b = (–1; –3; 2). |
|
||||||
|
5. Даны четыре вектора |
|
|
|
|
|
|||
|
|
ar |
=(2;1;0); ar |
=(1;–1;2); a |
=(2;2;–1); a |
=(3;7;– 7) |
|
||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
4 |
|
|
в некотором базисе. Показать, что векторы |
|
a1 , a2 , a3 образуют базис, и |
|||||||
найти координаты вектора |
ar4 в этом базисе. |
|
|
|
|
||||
|
|
6. Найти собственные значения |
и собственные векторы линейного |
||||||
оператора А% , заданного матрицей А= 9 |
−2 |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
−2 |
6 |
|
|
|
7. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму
35
f(x1, x2)=4x12+3 x22+4x1x2
к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).
б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность
квадратичную форму
f(x1, x2, x3)= –2x12+5x22+3x32 +2x1x2–2x1x3 –2x2x3.
Контрольная работа №2
1. Точки A(− 3; − 2), B(0; − 1) и C(2; 5) являются вершинами треугольника ABC. Определить координаты точки Н – основания медианы АН треугольника АВС и составить уравнение медианы треугольника, опущенной из точки А на сторону ВС. Сделать чертеж.
2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если уравнения ее асимптот y = ± 2,4x , а расстояние между вершинами равно 48.
3. |
Составить уравнение диаметра окружности x2 + y 2 + 4x − 6y − 17 = 0 , |
|||||||
перпендикулярного к прямой 5x + 2y − 13 = 0 . |
|
|||||||
4. |
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M (2, −1, 4) и |
|||||||
линию пересечения плоскостей |
2x + 3y − z = 2 и |
x = 1 . |
||||||
5. |
Верно ли, что прямая |
|
x |
= − |
y |
= |
z |
параллельна плоскости |
4 |
|
|
||||||
|
|
2 |
3 |
|
||||
2x + y − 2z = 9 ? Если да, то найти расстояние между этими прямой и плоскостью.
36
ВАРИАНТ 8
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 8)
Контрольная работа № 1
1. Даны матрицы
и Определить, имеет ли матрица 
обратную.
2. По формулам Крамера решить систему:
3. Решить систему линейных уравнений:
Найти какое-нибудь базисное решение.
r |
4. Найти вектор cr , коллинеарный вектору a =(1; 1; –2) и такой, что |
||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(b |
,c) = −3, где b = (–3; 1; 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Даны четыре вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ar =(1;1;1); |
ar =(0;2;3); a |
3 |
=(0;1;5); a |
4 |
=(2; –1;1) |
|||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||
в некотором базисе. Показать, |
что векторы a1 , |
a2 , a3 образуют базис, и |
|||||||
найти координаты вектора |
ar4 в этом базисе. |
|
|
|
|||||
|
6.Найти собственные значения и собственные векторы линейного |
||||||||
оператора А% , заданного матрицей А= 57 |
2 |
. |
|
|
|||||
|
|
|
2 |
43 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37 |
7. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму
f(x1, x2)=–x12+3 x22+4x1x2
к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).
б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность
квадратичную форму
f(x1, x2, x3)=x12+ x22+ x32 +4x1x2+6x1x3 +4x2x3..
Контрольная работа №2
1.Вычислить площадь квадрата, если две его стороны лежат на прямых 2x − y + 2 = 0 , 2x − y − 1 = 0 .
2.Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами равно 8.
3. Вычислить площадь треугольника, образованного асимптотами
гиперболы |
x2 |
− |
y 2 |
= 1 и прямой 9x + 2y − 24 = 0 . |
4 |
|
|||
|
9 |
|
||
4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A(1, 0, 0) параллельно векторам e1 = (−1, 2, 2) и e2 = (3,1,5) .
5. Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой, проходящей через точки (2, −1, 0) и (1,1,1) .
38
ВАРИАНТ 9
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 9)
Контрольная работа № 1
1. Даны матрицы
и
Определить, имеет ли матрица
обратную.
2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:
3 Решить систему линейных уравнений.
Найти какое-нибудь базисное решение.
4. Найти длину вектора 2ar− 5b , если a = (1;3; -2);
5. Даны четыре вектора a1 =(1; –1;3); a2 =(2;0;1); ar4 =(0;0;1). в некотором базисе. Показать, что векторы базис, и найти координаты вектора a4 в этом базисе.
b = (–2;1; –1).
a3 =(3;4; –5);
a1 , ar2 , ar3 образуют
39
6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного
оператора , заданного матрицей А= |
59 |
12 |
. |
|
12 |
66 |
|
7. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму
f(x1, x2)= –2x12+5 x22–4x1x2
к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).
б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность
квадратичную форму
f(x1, x2, x3)=3x12– 3x32– 4x1x2+4x1x3–2x2x3.
Контрольная работа №2
1. Точка M (1; − 1) является центром квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой 3x + 4y − 24 = 0 . Составить уравнение прямой, на которой лежит параллельная ей сторона этого квадрата.
2. |
Убедившись, |
что |
точка M (− 4; 2,4) лежит |
на |
эллипсе |
x2 |
+ |
|
y 2 |
= 1, |
|||||||||||||||||
25 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
определить длины отрезков MF1 и MF2, где F1 и F2 ‒ фокусы эллипса. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3. |
Определить |
вид |
|
и |
расположение |
кривой |
|
второго |
|
порядка |
|||||||||||||||||
2x2 + y2 |
− 8x + 2y = 0 , приведя |
ее |
|
уравнение |
к |
каноническому |
виду. |
||||||||||||||||||||
Составить уравнение прямой, проходящей |
|
|
через |
ее |
|
|
центр |
||||||||||||||||||||
перпендикулярно прямой x + 3y − 1 = 0 . Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4. |
Найти угол между плоскостями |
3x + y + 2z = 1 и |
|
3x + y = 1 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5. Лежат ли прямые |
|
x − 1 |
= |
y − 2 |
|
= |
z |
, |
|
x − 1 |
= |
y − 2 |
= |
z |
и |
|
x − 1 |
= |
|
y − 2 |
= − z в |
||||||
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
3 |
|
4 |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
одной плоскости? Если да, то написать уравнение этой плоскости.
40